當代七彩數學：迭代·渾沌·分形 下載 mobi epub pdf 電子書 2026

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李忠 著

圖書標籤:

• 數學
• 混沌
• 分形
• 迭代
• 非綫性動力係統
• 復雜性科學
• 數學建模
• 可視化
• 科學計算
• 高等數學

齣版社： 科學齣版社

ISBN：9787030178848

版次：1

商品編碼：10121953

包裝：平裝

齣版時間：2007-03-01

用紙：膠版紙

頁數：112

字數：52000

內容簡介

　　本書是一本為大學生寫的數學通俗讀物，它以淺顯的語言，通過函數迭代，特彆是復變函數的迭代，介紹動力係統中渾沌現象的産生及其數學含義，介紹復興迭代中所産生的復雜幾何圖形——分形，並以介紹受到廣泛關注的Mandelbrot集閤。
　　本書讀者對象為理工科及師範院校的大學、研究生、教師及一般科技工作者。具有微積分基本知識的人能讀懂書中的大部分內容。

作者簡介

　　李忠，北京大學數學科學學院教授，博士生導師。1936年8月齣生。1960年畢業於北京大學數學力學係，之後一直在北京大學任教。其研究領域為基礎數學復分析，對擬共形映射與黎曼麯麵的模空間理論有係統的研究，其研究成果曾獲得國傢教委科技進步奬(一等奬)，並兩次獲得國傢自然科學奬(三等奬)。1991年被國傢人事部與國傢教委評為“有突齣貢獻的中青年專傢”。1993年被國傢教委評為“國傢優秀教師”。

　　李忠教授曾任北京大學數學係主任，中國數學會常務理事兼秘書長及北京數學會理事長。

目錄

1　為什麼要研究迭代
§1　迭代及其軌道
§2　Logistics方程
§3　什麼是動力係統
§4　軌道行為的復雜性
§5什麼是渾沌
練習一
2　有趣的復迭代
§1　Cayley問題
§2　Fatou與Julia的研究
§3　美麗多樣的Julia集
§4　周期軌道
§5　Julia集上的渾沌現象
§6　穩定域
練習二
3　什麼是分形
§1　Hausdorff維數
§2　Hausdorff維數的計算
§3　自相似的分形
§4　Julia集與分形
練習三
4　Mandelbrot集中的奧秘
§1　什麼是Mandelbrot
§2　Mandelbrot集與二次式的迭代
§3　雙麯分支與雙麯猜想
§4　Mandelbrot集的連通性與外射綫
§5　Mandelbrot集的邊界
練習四
參考書目

前言/序言

當代七彩數學：迭代·混沌·分形 導言 數學，一門古老而又常新的學科，它不僅是邏輯與抽象的藝術，更是理解宇宙運行規律的有力工具。長久以來，數學以其嚴謹的推理和精妙的結構，構建瞭我們認知世界的宏偉圖景。然而，隨著科學技術的飛速發展和人類探索邊界的不斷深入，一些看似“邊緣”的數學概念，如今正以前所未有的力量，滲透到我們生活的方方麵麵，揭示著隱藏在紛繁復雜現象背後深刻的數學本質。 《當代七彩數學：迭代·混沌·分形》並非一本傳統的數學教科書，它不緻力於傳授一套固定的公式體係或證明技巧，而是將讀者引入一個更廣闊、更生動的數學視野。本書聚焦於當代數學中三個極具影響力且相互關聯的概念——迭代、混沌與分形。這三個概念共同描繪瞭一個充滿動態、不可預測但又內含著驚人秩序的數學世界，它們深刻地挑戰瞭我們對確定性、簡單性和規律性的傳統認知。 本書的“七彩”之名，寓意著數學的豐富多彩，以及這些數學概念在不同學科領域中所展現齣的斑斕色彩。從自然界的鬼斧神工到經濟係統的波動起伏，從生物體的生長發育到信息網絡的傳播演化，迭代、混沌與分形的身影無處不在，它們以獨特的視角，幫助我們理解那些曾經被視為“難以捉摸”的現象，並為解決復雜問題提供瞭全新的思路和方法。 第一章：迭代的魔法——從簡單規則到復雜行為 迭代，簡單來說，就是重復應用一個過程或函數。這個概念看似平凡，卻蘊含著強大的生成能力。在一開始，我們或許會認為，重復相同的操作隻會帶來相同的結果，或者最多是綫性的增長。然而，《當代七彩數學：迭代·混沌·分形》將帶領讀者，通過一係列引人入勝的例子，深入探索迭代過程中蘊含的驚人潛力。 我們將從最基礎的迭代形式開始，例如簡單的數列生成，如斐波那契數列，它通過簡單的加法規則，卻能展現齣與黃金分割比例的奇妙聯係。接著，我們會探討更為復雜的迭代過程，例如在計算機科學中廣泛應用的算法，它們依靠無數次的迭代計算來解決復雜的優化問題或生成精美的圖形。 本書將重點關注迭代如何成為構建復雜係統的基石。想象一下，一個簡單的細胞分裂過程，每一次分裂都遵循一套基本的生物化學規則。經過無數次的迭代，一個單細胞最終可以演變成一個龐大而精密的生物體。同樣，在經濟模型中，個體的理性決策每一次都會影響市場價格，而市場價格的變化又會反過來影響個體的決策，這種迭代反饋循環，構成瞭經濟係統的動態演化。 我們還將觸及迭代在圖形生成中的應用。著名的“謝爾賓斯基三角形”和“科赫雪花”等分形圖形，正是通過簡單的迭代規則，從一個基本的幾何形狀齣發，經過不斷地復製、縮放和組閤，最終生成齣具有無限細節和自相似性的迷人圖案。這些例子將直觀地展示，看似簡單的數學規則，在迭代的“魔法”下，能夠創造齣何等豐富和意想不到的復雜性。 通過本章的學習，讀者將深刻理解迭代不僅是數學運算的基本手段，更是理解自然界和人類社會中許多動態過程的核心驅動力。它揭示瞭“小”可以如何孕育“大”，簡單如何生成復雜，並為我們理解後續章節中更為深奧的概念奠定瞭基礎。 第二章：混沌的魅影——確定性係統中的不可預測性 混沌理論，這個聽起來充滿矛盾的名稱，描述的是這樣一種現象：在一個完全確定的動力學係統中，初始條件的微小差異，經過一段時間的演化後，可能導緻結果的巨大偏差，從而使得係統的長期行為變得難以預測。這似乎與我們對“確定性”的理解背道而馳，但《當代七彩數學：迭代·混沌·分形》將以清晰易懂的方式，剝開混沌的神秘麵紗。 本章將從“蝴蝶效應”這一膾炙人口的例子切入，解釋為何一個發生在巴西的蝴蝶扇動翅膀，理論上可能引起遠在德剋薩斯州的龍捲風。我們將探討混沌係統的關鍵特徵，例如對初始條件的敏感依賴性（敏感依賴性）和不可周期性。這意味著，即使我們能夠精確地知道係統的每一個參數，並且知道係統的演化規則，隻要我們在測量初始狀態時存在任何一點點誤差，都會在一段時間後導緻預測的失敗。 本書將深入剖析一些經典的混沌模型，例如洛倫茲吸引子。洛倫茲是一位氣象學傢，他試圖簡化大氣運動的數學模型，結果卻意外地發現瞭混沌現象。洛倫茲吸引子圖形呈現齣一種優美的三維形狀，但其軌跡卻永不重復，並且對初始條件的微小擾動極其敏感。我們將解析為什麼這樣的係統，盡管其方程是完全確定的，其長期行為卻錶現齣如此強的不可預測性。 此外，我們還會探討混沌理論在各個領域的應用。在氣象預報中，正是由於大氣係統的混沌特性，纔使得長期天氣預報如此睏難。在金融市場中，股價的波動也常常錶現齣混沌的特徵，使得精確預測市場走嚮成為一項艱巨的任務。在生物學中，心髒搏動的節律、大腦神經元的放電模式，都可能與混沌動力學有關。 本章將引導讀者認識到，不可預測性並非一定源於隨機性。在一個確定性的框架內，也可以湧現齣強大的混沌行為。這不僅改變瞭我們對“決定論”的理解，也讓我們更加深刻地認識到，在復雜的係統中，局部信息的精確度往往難以保證全局結果的可控性。它將挑戰我們對“規律”的狹隘理解，並為我們開啓理解復雜世界的新視角。 第三章：分形的奇境——無限細節與自相似的藝術 分形，這個詞匯本身就充滿瞭數學的詩意。它描述的是一種幾何形狀，其局部和整體具有相似的結構，並且在任意尺度下都展現齣無限的細節。分形的美學價值和科學意義同樣巨大，《當代七彩數學：迭代·混沌·分形》將引領讀者進入一個充滿想象力的分形世界。 本書將從經典的分形例子開始，如曼德爾布羅集和硃利亞集。我們將通過迭代函數，一步步揭示這些圖案的生成過程，並驚嘆於其錶麵下隱藏的無限復雜性。你會發現，無論你將畫麵放大多少倍，總能看到新的、與整體相似的圖案不斷湧現。這種“自相似性”是分形最核心的特徵。 我們將進一步探討分形在自然界中的廣泛存在。海岸綫的麯摺、雪花的精美、樹枝的生長、血管網絡的分布、甚至雲朵的形狀，都具有分形的特徵。本書將結閤具體的實例，說明分形如何成為描述這些自然現象的有力工具，並解釋為何分形能夠如此高效地填充空間，或者如此有效地進行物質傳輸。 在數學層麵，我們將介紹分形維度（也稱為豪斯多夫維度）。與我們熟悉的整數維度（如點的一維、綫的一維、麵的二維、體的三維）不同，分形可以擁有非整數的維度，這恰恰反映瞭它們在填充空間時的“效率”和“粗糙度”。例如，一個海岸綫的長度，如果以越來越小的尺子去測量，會發現其長度趨於無窮大，這錶明它的分形維度大於一，但小於二，因為它雖然比一條綫復雜，但並沒有完全“填滿”一個二維平麵。 本書還將深入探討分形在科學和工程領域的應用。在計算機圖形學中，分形被用來生成逼真的自然景觀，如山脈、樹木和雲朵。在醫學影像分析中，分形特徵可以幫助識彆病竈。在通信領域，分形天綫的設計可以實現更小的體積和更寬的頻帶。在材料科學中，分形結構可以影響材料的性能，如多孔材料的吸附能力。 通過本章的探索，讀者將擺脫對傳統歐幾裏得幾何的束縛，認識到自然界和許多復雜現象的真實幾何形態往往是分形的。分形的美，在於其復雜中的秩序，在於無限的重復中蘊含的簡潔規則，在於局部與整體的和諧統一。它將讓我們以全新的視角審視我們身處的世界，發現隱藏在平凡事物中的非凡數學之美。 結語 《當代七彩數學：迭代·混沌·分形》是一次關於數學思想的旅程，一次對隱藏在日常現象背後深刻數學原理的探索。迭代、混沌與分形並非孤立的概念，它們相互關聯，共同揭示瞭一個更加豐富、動態且充滿秩序的數學世界。 迭代是生成復雜性的引擎；混沌是確定性係統中不可預測性的根源；分形是無限細節與自相似的美妙展現。這三者共同構建瞭當代數學的一個重要分支，深刻地影響著物理學、生物學、經濟學、計算機科學、工程學乃至藝術等眾多領域。 本書的目的是激發讀者對數學的好奇心，展示數學的活力與創造力，以及它解決現實世界問題的強大能力。希望通過這次“七彩”的數學之旅，讀者能夠跳齣傳統的思維模式，以更加開放和深刻的視角去理解我們所生活的這個復雜而迷人的世界。數學不再是冰冷的符號和抽象的公式，而是連接萬物、洞察本質的生動語言。

評分☆☆☆☆☆

在閱讀過程中，我最大的感受是作者對於“跨學科視野”的執著追求。這本書的厲害之處在於，它巧妙地搭建瞭一座座連接看似不相乾領域的橋梁。例如，它會毫不突兀地將理論應用到自然現象的觀察，或者探討其在現代工程設計中的潛在影響。這種廣闊的視角極大地拓寬瞭我對“數學”這個概念的傳統認知，不再覺得它僅僅是計算或邏輯的工具，而更像是一種理解世界萬物運行規律的通用語言。每一次理論的引入，都伴隨著清晰的現實世界案例支撐，這種理論與實踐的緊密結閤，讓學習過程充滿瞭即時反饋的滿足感，也讓讀者能夠真切體會到這些復雜數學分支在當代科技和社會發展中的核心驅動力。

評分☆☆☆☆☆

這本書的裝幀設計著實讓人眼前一亮，那種大膽的色彩運用和富有張力的幾何圖形排版，讓人在書架上就能感受到一股撲麵而來的現代氣息。初次翻開，我就被它那種近乎藝術品的視覺呈現所吸引，仿佛它不僅僅是一本探討數學理論的書籍，更是一件可以把玩的現代藝術品。內頁的紙張質感也非常考究，印刷清晰，排版疏密有緻，即便是麵對那些復雜的圖錶和公式，閱讀體驗也保持瞭極高的舒適度。而且，書中的插圖選擇非常精妙，它們不僅僅是枯燥公式的視覺輔助，更是將抽象概念具象化的絕佳範例，讓那些原本可能讓人望而生畏的數學模型，瞬間變得生動有趣起來，這對於非專業背景的讀者來說，無疑是極大的友好信號，讓人願意沉下心來，細細品味每一個章節。

評分☆☆☆☆☆

這本書的敘事脈絡處理得極其高明，它沒有像傳統教科書那樣按部就班地堆砌知識點，而是更像一位經驗豐富的嚮導，帶著讀者進行一場充滿探索欲的智力漫遊。作者的筆觸非常流暢自然，即便在討論一些前沿或深奧的數學概念時，也能找到絕佳的類比和生活化的切入點，使得晦澀的原理變得觸手可及。我特彆欣賞作者在處理曆史背景和理論起源時的細膩，這不僅僅是知識的簡單羅列，更是將數學思想的發展融入到人類文明進步的大背景中去審視，讓人在理解公式的同時，也感受到瞭數學傢們在思維突破時的那種心路曆程和掙紮，這種人文關懷讓整本書的厚度大大增加，從一本純粹的學術著作升華為一部思想史的側記。

評分☆☆☆☆☆

這本書的論述風格是那種非常自信且富有洞察力的，它不迎閤初學者的淺薄理解，但也不會因此而故作高深。作者在關鍵概念的闡釋上，展現齣一種近乎哲學的思辨深度，鼓勵讀者去質疑既有的框架，去探索更多可能性。尤其是一些關於“無限”和“結構”的討論部分，其邏輯推演層層遞進，每一次深入都像剝開洋蔥一樣，揭示齣更深層次的美感與秩序。對於那些已經有一些基礎的讀者來說，這本書無疑是一劑強效的“思想興奮劑”，它提供的不是標準答案，而是更深刻的問題。它迫使你停下來，不僅僅是“知道”某個定理如何運作，而是要“理解”它為什麼必須以這種方式存在，這是一種非常高級的智力訓練。

評分☆☆☆☆☆

這本書的結構安排體現瞭一種高超的節奏控製能力，使得閱讀過程張弛有度，讀起來毫不拖遝。作者似乎深知讀者的注意力是有限的，因此在引入大量復雜信息之後，總會穿插一些精煉的小結或引人深思的段落來幫助消化和沉澱。整體來看，它成功地營造齣一種“漸進式揭秘”的氛圍，每一章的內容都好像是上一章的自然延伸和深化，而不是孤立的知識點集閤。這種環環相扣的編排，極大地增強瞭閱讀的連貫性和整體性，讓人在閤上書本之後，依然能清晰地勾勒齣整個數學分支的內在邏輯骨架，而非一堆零散的知識碎片，這對於知識的長期記憶和內化是非常有益的。

評分☆☆☆☆☆

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評分☆☆☆☆☆

如果拋開具體的物理現象不談，單從數學上看，渾沌與分形的産生並不是一種很特彆的事：一個簡單的二次式的迭代就可能導緻渾沌與分形．早在1920年前後，數學傢Fatou與Julia就係統地研究瞭復的多項式或有理函數的迭代．他們彼此獨立地對這種復迭代在其不穩定集閤(後來人們稱之為Julia集)上的行為作瞭完整深刻的刻畫．根據他們的研究結果，復迭代在其Julia集閤上的復雜行為實際上就是當今被廣泛談論的渾沌．在他們的研究工作的60年之後，Julia集被人們用電子計算機畫成瞭圖形．這些Julia集的圖形齣入意外的復雜和多樣，並且十分美麗．絕大多數Julia集的圖形都是分形，現在成瞭分形理論中的“經典”例子．這樣，在20世紀80年代初，在D．Sullivan等人工作的影響下，關於復迭代的研究一下子又熱乎起來，吸引瞭不少數學傢進一步研究，並取得瞭重要進展．..

評分☆☆☆☆☆

自轉方嚮（球的切綫方嚮）的成分。進一步說，奇點將在史瓦西球麵上相

評分☆☆☆☆☆

本書是非綫性科學叢書中的一種，介紹迭代和迭代

評分☆☆☆☆☆

一旦進入黑洞就絕對倒退不齣來瞭，飛往中心的奇點的路徑已經被限

評分☆☆☆☆☆

量、電荷以及角動量等三種。除此以外，我們無法進行黑洞.. A如此如此、

評分☆☆☆☆☆

定性、光滑性、解析性、對稱性及特徵理論。本書可供理工

評分☆☆☆☆☆

些說，在.. 20世紀.. 60年代之前，黑洞不過是個數學玩具。在弄清楚黑洞的

評分☆☆☆☆☆

這本小冊子共分4章．第1章討論關於一般映射的迭代，介紹什麼是渾沌，通過若乾簡單實例介紹非綫性迭代怎樣導緻渾沌．第2章介紹Fatou與Julia關於復迭代的基本結果及Sullivan的定理．第3章闡述分形的定義和Hausdorff維數的計算．第4章討論與二次迭代有深刻聯係的Mandelbrot集閤，介紹Douady與Hubbard的研究結果和尚未解決的問題．