目 录

第1章 预备知识 1

1.1 复数与复变函数 1

1.1.1 复数的基本概念 1

1.1.2 复数的四则运算 1

1.1.3 复平面、复数的模与辐角 3

1.1.4 复数的三角表示 3

1.1.5 平面曲线的实变量复值函数表示 4

1.1.6 复变函数的概念 5

1.1.7 复变函数的极限与连续性 5

1.2 解析函数 6

1.2.1 复变函数的导数 6

1.2.2 解析函数的概念与求导法则 7

1.2.3 解析函数的一个充分必要条件 8

1.3 复变函数的积分 9

1.3.1 复积分的定义与计算 9

1.3.2 复积分的基本性质 11

1.3.3 柯西积分定理 11

1.3.4 柯西积分公式 13

本章小结 14

习题1 15

第2章 解析函数的级数表示 17

2.1 复数项级数 17

2.1.1 复数序列的极限 17

2.1.2 复数项级数 17

2.2 复变函数项级数 19

2.2.1 复变函数项级数 19

2.2.2 幂级数 20

2.3 泰勒级数 23

2.4 洛朗级数 26

本章小结 31

习题2 31

第3章 留数及其应用 33

3.1 孤立奇点 33

3.1.1 孤立奇点的分类 33

3.1.2 函数的零点与极点的关系 36

3.2 留数 38

3.2.1 留数的概念及留数定理 38

3.2.2 函数在极点的留数 41

3.3 留数在定积分计算中的应用 43

3.3.1 形如的积分 43

本章小结 45

习题3 46

第4章 傅里叶变换 47

4.1 傅里叶变换的概念 47

4.1.1 傅里叶级数 47

4.1.2 傅氏积分与傅氏变换 50

4.2 单位冲激函数(-函数) 54

4.2.1 单位冲激函数的概念及其性质 54

4.2.2 -函数的傅氏变换 56

4.3 傅里叶变换的性质 57

4.3.1 基本性质 57

4.3.2 卷积与卷积定理 61

4.4 综合举例 62

本章小结 66

习题4 66

第5章 拉普拉斯变换 68

5.1 拉普拉斯变换的概念 68

5.1.1 拉普拉斯变换的定义 68

5.1.2 拉氏变换与傅氏变换的关系 70

5.2 拉普拉斯变换的性质 71

5.2.1 线性性质与尺度变换 71

5.2.2 平移性质 72

5.2.3 微分性质 73

5.2.4 积分性质 75

5.2.5 卷积与卷积定理 76

5.3 拉普拉斯变换的应用 78

5.3.1 留数方法计算拉氏逆变换 78

5.3.2 求解常微分方程（组） 79

5.3.3 求解积分方程 83

5.3.4 求偏微分方程 84

5.3.5 使用MATLAB求解拉氏变换 84

本章小结 85

习题5 86

附录1 傅氏变换简表 88

附录2 拉氏变换简表 91

部分习题参考答案 96

习题1 96

习题2 96

习题3 97

习题4 98

习题5 99

名词索引 101

参考文献 102