復分析/中國科學院大學研究生教材係列下載 mobi epub pdf 電子書 2026

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崔貴珍，程濤著

圖書標籤:

復分析
數學分析
高等數學
研究生教材
中國科學院大學
數學
復變函數
解析函數
數學教材
理工科

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齣版社：科學齣版社

ISBN：9787030414380

版次：1

商品編碼：11519709

包裝：平裝

叢書名：中國科學院大學研究生教材係列

開本：16開

齣版時間：2014-08-01

用紙：膠版紙

頁數：184

字數：240000

正文語種：中文

具體描述

內容簡介

　　《復分析/中國科學院大學研究生教材係列》主要講授復分析理論的基礎知識與基本方法，同時兼顧近代復分析的一些重要進展，《復分析/中國科學院大學研究生教材係列》共分9章，《復分析/中國科學院大學研究生教材係列》的目的在於為學習過大學復變函數的讀者提供更進一步的知識，為從事復分析及相關課題研究的讀者打下良好的基礎。《復分析/中國科學院大學研究生教材係列》是在作者使用多年講義的基礎上編寫而成，選材精煉，重點突齣，文字敘述簡潔，通俗易懂。

內頁插圖

第1章正規族與Riemann映射定理
1.1 連續函數的正規族
1.2 解析函數的正規族
1.3 Riemann 映射定理
習題

第2章 Riemann麯麵與覆蓋麯麵
2.1 Riemann 麯麵
2.2 覆蓋麯麵
習題

第3章 Schwarz引理及其應用
3.1 分式綫性變換、交比與Schwarz導數
3.2 Poincar′e度量與Schwarz-Pick引理
3.3 超雙麯度量
3.4 平麵區域上的Poincar′e度量
3.5 相對Schwarz引理
3.6 Schwarz-Ahlfors 定理的應用
3.7 Riemann麯麵的Thick-Thin分解
習題

第4章單葉函數
4.1 經典的偏差定理與單葉性問題
4.2 單葉函數序列
4.3 Grunsky不等式與Golusin不等式
4.4 Loewner 方程
習題

第5章多連通區域上的共形映射
5.1 多連通區域到平行割綫區域的映射
5.2 多連通區域到圓域的共形映射
5.3 有限連通區域上共形映射的分解與單葉函數的Schwarz導數
5.4 素端與極限
5.5 素端定理的應用
習題

第6章調和函數
6.1 Poisson 公式
6.2 極值原理
6.3 調和函數序列與Harnack原理
6.4 次調和函數
6.5 Perron 族
6.6 Dirichlet 問題
6.7 Green 函數
6.8 調和測度
習題

第7章極值長度與模
7.1 極值長度
7.2 環域和拓撲四邊形的模
7.3 Weierstrass-P 函數
7.4 極值度量
7.5 極值長度與調和函數
7.6 Kahn-Lyubich 引理
習題

第8章容量和超限直徑
8.1 超限直徑
8.2 勢
8.3 容量與超限直徑的關係
8.4 圓周的子集
習題

第9章單值化定理
9.1 Riemann 麯麵的分類
9.2 單值化定理的證明
習題
參考文獻

前言/序言

復分析（中國科學院大學研究生教材係列）引言復分析，作為數學中一門基礎且極具深度的分支，其研究對象是定義在復數域上的復變函數。它不僅在理論上擁有著精妙的結構和深刻的洞察，更在物理學、工程學、信號處理、流體力學、量子力學等眾多科學技術領域展現齣強大的應用價值。本書旨在為中國科學院大學的數學專業研究生提供一套係統、深入的復分析教材，幫助學生建立堅實的理論基礎，並初步領略復分析在解決實際問題中的魅力。本書的編寫力求嚴謹、邏輯清晰，內容循序漸進，既注重理論的完整性，也兼顧方法的實用性。第一章復數與復變函數初步本章將為讀者打下堅實的復數基礎，並引入復變函數的概念。復數的代數與幾何錶示：迴顧復數的定義、運算（加、減、乘、除）、共軛、模長、輻角等基本概念。重點介紹復數在復平麵上的幾何意義，如點的錶示、嚮量的意義，以及復數運算的幾何解釋。將引入復數的指數形式，強調其在乘法和冪運算中的便利性，並介紹棣莫弗定理。復數的幾何軌跡：探討復數所形成的各種幾何圖形，如直綫、圓、圓心角、弧等。通過復數的方程形式，分析其在復平麵上的幾何對應，為後續理解復變函數的幾何性質奠定基礎。復變函數的概念：定義復變函數，即從復數集閤到復數集閤的映射。介紹函數的定義域、值域、圖像等概念在復數域中的對應。討論函數的幾種基本錶示法：顯式、隱式、參數式。復變函數的極限與連續：嚴格定義復變函數的極限，並討論其性質，如唯一性、算術性質等。引入復變函數在一點的連續性定義，並推廣到區域上的連續性。通過epsilon-delta語言，幫助學生理解抽象的極限和連續概念。復變函數的幾何變換：介紹一些基本的復變函數變換，如平移、鏇轉、伸縮、反演等，並分析這些變換如何作用於復平麵上的點集，以及它們在幾何上産生的效果。第二章解析函數解析函數是復分析的核心概念之一，其定義和性質是理解整個學科的關鍵。復微分的概念：定義復變函數的導數，並給齣導數的計算規則，包括四則運算、鏈式法則等。強調復微分與實微分的聯係與區彆。柯西-黎曼方程：引入柯西-黎曼方程，這是復變函數可導的充要條件。詳細推導柯西-黎曼方程，並解釋其幾何意義。通過實例，演示如何利用柯西-黎曼方程判斷一個函數是否可導，以及如何求導。解析函數的定義與性質：定義解析函數（或稱全純函數、正則函數），即在區域內處處可導的函數。討論解析函數的幾個重要性質，如解析函數的和、差、積、商仍是解析函數，以及復閤函數求導法則。初等解析函數：詳細介紹幾種重要的初等解析函數，包括冪函數 $z^n$、指數函數 $e^z$、三角函數 $sin z$、$cos z$ 等。推導它們的導數，並研究它們的性質，如周期性、單調性等。調和函數：定義調和函數，即滿足拉普拉斯方程的實值函數。證明解析函數的實部和虛部都是調和函數，並探討調和函數的性質。引入共軛調和函數，並討論如何由一個調和函數求齣其共軛調和函數。第三章復積分復積分是復分析中另一項核心工具，它在理論和應用上都占有極其重要的地位。復積分的定義：定義沿復數域上麯綫的復積分（綫積分），包括參數化麯綫和分段光滑麯綫的情況。討論復積分的性質，如綫性性質、路徑依賴性等。不定積分與牛頓-萊布尼茨公式：引入復變函數的不定積分概念，並推廣牛頓-萊布尼茨公式，使得計算某些復積分變得可行。柯西積分定理：詳細闡述柯西積分定理，這是復分析中最基本且最重要的定理之一。定理指齣，解析函數在簡單閉閤麯綫上的積分處處為零。證明該定理，並探討其廣泛的應用。柯西積分公式：介紹柯西積分公式，它是柯西積分定理的直接推論。該公式錶明，解析函數在閉閤麯綫內部的點上的值可以通過該函數在麯綫上的積分來確定。推導該公式，並分析其在恢復函數信息方麵的強大能力。高階導數的積分公式：基於柯西積分公式，推導齣解析函數高階導數的積分公式。這些公式對於計算解析函數的導數，以及研究解析函數的性質至關重要。分部積分與變量代換：介紹復積分中的分部積分法和變量代換法，提供更靈活的積分計算技巧。第四章級數與收斂級數在復分析中扮演著重要角色，它提供瞭描述函數、分析函數性質的有力工具。復數項級數的收斂性：定義復數項級數的收斂性，並介紹幾種常見的收斂判彆法，如比較判彆法、比值判彆法、根值判彆法等。冪級數：詳細研究冪級數，這是復變函數最常見的級數形式。確定冪級數的收斂半徑和收斂域，並討論冪級數的性質，如收斂域內的連續性、可微性、可積性。泰勒級數：介紹泰勒級數，將解析函數在一點附近的局部展開為冪級數。證明泰勒展開的存在性和唯一性，並討論泰勒級數的性質，如收斂域。洛朗級數：引入洛朗級數，將函數在圓環區域內展開為冪級數，其中包含負整數次冪。研究洛朗級數的收斂域和展開式，並分析其在處理非解析點附近函數性質時的重要性。解析函數與級數的關係：探討解析函數與各種級數之間的深刻聯係，例如，解析函數在收斂域內可以唯一地展開為泰勒級數或洛朗級數。第五章孤立奇點與留數奇點是復變函數研究中的一個重要課題，理解奇點的性質對於分析函數的行為至關重要。奇點的分類：定義孤立奇點，並根據洛朗級數的係數將其分為可去奇點、極點和本質奇點。詳細分析每種奇點的性質和判彆方法。留數的概念：定義留數，它是洛朗級數中 $(z-z_0)^{-1}$ 項的係數。介紹計算留數的常用方法，特彆是對於極點的情況。留數定理：闡述留數定理，它是復積分計算和求值的重要工具。定理指齣，函數在閉閤麯綫上的積分等於麯綫內所有奇點留數之和的 $2pi i$ 倍。留數定理的應用：詳細介紹留數定理在計算定積分、無窮積分、判斷級數收斂性等方麵的廣泛應用。通過大量實例，展示留數定理的強大計算能力。亞純函數：定義亞純函數，即在區域內隻有有限個極點的解析函數。研究亞純函數的性質，並探討留數定理在亞純函數研究中的作用。第六章解析延拓與單值函數解析延拓是擴展函數定義域、發現函數新性質的重要方法。解析延拓的概念：定義解析延拓，即在保留函數解析性的前提下，將其定義域擴張到更大的區域。單值解析延拓：討論單值解析延拓的定義和性質，以及其可能遇到的問題，如多值性。黎曼麯麵：引入黎曼麯麵的概念，它是處理多值函數的一種有效幾何工具。解釋黎曼麯麵如何使得多值函數在局部成為單值函數。一些初等函數的黎曼麯麵：以 $sqrt{z}$ 和 $log z$ 為例，構造並解釋它們的黎曼麯麵，理解其多值性的來源和幾何錶示。解析函數的單值化：探討如何通過解析延拓或黎曼麯麵將多值函數轉化為單值函數，從而更好地進行分析。第七章留數定理的應用舉例本章將通過具體的例子，進一步展示留數定理在解決實際問題中的強大威力。計算定積分：演示如何利用留數定理計算形如 $int_{-infty}^{infty} f(x) dx$ 和 $int_{-infty}^{infty} f(x) cos(ax) dx$, $int_{-infty}^{infty} f(x) sin(ax) dx$ 的積分。計算無窮級數求和：展示如何利用留數定理求某些無窮級數的和。復變方法在流體力學中的應用：介紹如何利用復變函數和共形映射來求解二維不可壓縮、無鏇流動的問題，如計算流函數、速度勢等。復變方法在電磁學中的應用：探討如何利用復變函數處理一些二維靜電場或穩恒磁場的問題。復變方法在信號處理中的應用：簡要介紹拉普拉斯變換和傅裏葉變換與復變函數的聯係，以及復變分析在係統分析和濾波器設計中的應用。結論復分析是一門博大精深的學科，本書所涵蓋的內容僅是其基礎部分。通過對復數、解析函數、復積分、級數、奇點以及留數等核心概念的深入學習，讀者將能夠掌握分析復變函數的基本工具和方法。希望本書能夠激發同學們對復分析的濃厚興趣，為今後的深入研究和解決實際問題打下堅實的基礎。在未來的學習中，還可以進一步探索復分析在其他分支領域（如復微分幾何、復微分方程、復調和分析等）的更廣泛應用。

用戶評價

評分☆☆☆☆☆

這本書的編寫風格非常嚴謹，每一步的推導都力求完整和精確，這對於我這樣希望深入理解理論根源的學生來說，無疑是一大福音。我尤其欣賞它在闡述基本概念時所展現齣的邏輯嚴密性，例如在介紹柯西積分定理時，作者並沒有直接給齣結論，而是從柯西-黎曼方程的性質齣發，層層遞進，最終證明瞭積分路徑無關性，這種嚴謹的論證過程，讓我對復變函數的可積性有瞭深刻的理解。書中對於一些經典定理的證明，例如黎曼映射定理，雖然篇幅較長，但邏輯清晰，步驟詳盡，即使是初學者，也能跟隨作者的思路一步步理解其精髓。此外，本書在某些章節中還穿插瞭對一些重要概念的幾何解釋，這極大地幫助瞭我建立直觀的認識。例如，在講解保角映射時，書中不僅給齣瞭數學定義，還配有大量的圖示，直觀地展示瞭映射如何保持角度不變，以及它在幾何變換中的應用。這本書的練習題也是一大亮點，難度適中，既有鞏固基礎的題目，也有一些挑戰性的問題，能夠有效檢驗我對知識的掌握程度。我常常會花很多時間去鑽研這些題目，每次解決一個難題，都會有一種成就感油然而生。

評分☆☆☆☆☆

這本《復分析》從教材係列的定位來看，果然沒有讓我失望，它仿佛是一條精心鋪設的橋梁，將抽象的復數世界展現在我眼前。最初接觸復分析時，腦海裏浮現的常常是那些彎彎繞繞的函數圖像和一些看似難以捉摸的理論，但翻開這本書，我立刻被其清晰的邏輯和循序漸進的講解所吸引。開篇從復數的幾何意義和代數性質入手，用生動形象的語言解釋瞭復數的加減乘除如何對應於平麵上的平移、鏇轉和縮放，這對於我這樣一個對幾何直觀要求較高的人來說，簡直是醍醐灌頂。接著，作者花費瞭大量篇幅深入淺齣地闡述瞭復變函數的概念，包括解析函數、柯西-黎曼方程等核心內容，並將其與微分和積分運算巧妙地聯係起來，展現瞭復變函數在分析學中的獨特魅力。書中大量的例題和習題，覆蓋瞭從基本概念的鞏固到復雜問題的求解，每一道題的解析都鞭闢入裏，讓我能夠真正理解解題思路，而非死記硬背。特彆是關於路徑積分和留數定理的部分，作者用通俗易懂的比喻和詳盡的推導，將原本抽象的概念具象化，讓我豁然開朗，對積分的應用有瞭全新的認識。這本書不僅是一本教材，更像是一位循循善誘的良師益友，引領我一步步探索復分析的奧秘。

評分☆☆☆☆☆

這是一本非常具有啓發性的復分析教材，它不僅僅是知識的堆砌，更注重培養讀者的數學思維和解決問題的能力。我非常喜歡書中對一些概念的引入方式，往往會先提齣一個實際問題或者一個直觀的現象，然後引齣相關的數學理論來解釋和解決它，這種方式讓我在學習過程中充滿瞭探索的樂趣。比如，在介紹級數展開時，作者並沒有直接給齣泰勒級數和洛朗級數的公式，而是先討論瞭函數逼近的問題，然後自然而然地引齣瞭級數展開的重要性。這種“問題導嚮”的學習方式，讓我覺得學習過程更加主動和有意義。書中還包含瞭一些曆史背景的介紹，講述瞭復分析發展過程中一些重要的數學傢和他們的貢獻，這讓我對這個領域有瞭更宏觀的認識，也體會到瞭數學發展的艱辛與魅力。我特彆喜歡書中對一些高級概念的解釋，例如解析延拓，作者通過一個生動的例子，將這個看似抽象的概念變得容易理解，讓我看到瞭復分析在數學研究中的廣泛應用潛力。這本書也鼓勵我獨立思考，在遇到睏難時，它提供的提示和引導，而不是直接給答案，讓我學會瞭如何分析問題，並找到解決的途徑。

評分☆☆☆☆☆

坦白說，在接觸這本書之前，我對復分析的印象總是停留在一些復雜的公式和符號上，感覺離自己的實際應用有些遙遠。然而，這本書徹底改變瞭我的看法。它以一種非常實用的視角來介紹復分析，不僅僅是理論的講解，更強調瞭其在物理、工程等領域中的應用。書中穿插瞭大量的應用實例，例如在電磁場理論、流體力學中的應用，這些生動的例子讓我看到瞭復分析的強大威力，也激發瞭我深入學習的興趣。我尤其喜歡書中關於傅立葉變換和拉普拉斯變換與復分析之間聯係的章節，通過對積分變換的復變函數解釋，我更加深刻地理解瞭這些變換的本質和意義。書中還介紹瞭一些數值計算方法，雖然篇幅不多，但足夠讓我對如何利用計算機求解復變函數問題有一個初步的認識。總的來說，這本書讓我覺得復分析不再是孤立的數學理論，而是解決實際問題的有力工具。它的內容設置非常全麵，涵蓋瞭復分析的許多重要分支，讓我對這個學科有瞭更深入和全麵的瞭解。

評分☆☆☆☆☆

我必須說，這本書的語言風格非常獨特，既有學術教材的嚴謹，又不失文學的韻味。作者在講解過程中，常常會使用一些巧妙的比喻和形象的描述，讓原本枯燥的數學概念變得生動有趣。例如，在講解復數在復平麵上的運動時，作者將其比作微小的“探險傢”，在復平麵上進行各種“旅行”，這種形象化的語言，讓我一下子就抓住瞭復數運算的幾何意義。書中對於一些深刻的數學定理的闡述，也並沒有顯得晦澀難懂，作者會用一種循序漸進的方式，一點點地揭示定理的內在邏輯，讓我感覺自己仿佛在和一位經驗豐富的數學傢進行對話。我特彆欣賞書中在介紹一些證明方法時，所展現齣的靈活性和創造性，作者不僅會展示一種標準的證明方法，有時還會提供其他的思路和角度，這讓我對數學的理解更加多元化。此外，書中還包含瞭一些引人深思的哲學思考，例如關於數學的本質和人類認識世界的局限性，這些內容讓我對學習數學有瞭更深的感悟。總而言之，這是一本讓我既學到知識，又獲得精神啓迪的書籍。

評分☆☆☆☆☆