微分幾何中的度量結構 [Metric Structures in Differential Geometry] 下載 mobi epub pdf 電子書 2025

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Gerard Walschap 著

圖書標籤:

• 微分幾何
• 度量空間
• 流形
• 黎曼幾何
• 僞黎曼幾何
• 拓撲
• 幾何分析
• 張量分析
• 微分方程
• 數學

齣版社： 世界圖書齣版公司

ISBN：9787510086335

版次：1

商品編碼：11647750

包裝：平裝

外文名稱：Metric Structures in Differential Geometry

開本：24開

齣版時間：2015-01-01

用紙：膠版紙

頁數：226

正文語種：英文

內容簡介

　　This text is an elementary introduction to differential geometry. Although it was written for a graduate-level audience, the only requisite is a solid back-ground in calculus, linear algebra, and basic point-set topology.
　　The first chapter covers the fundamentals of differentiable manifolds that are the bread and butter of differential geometry. All the usual topics are covered, culnunating in Stokes' theorem together with some applications. The stu dents' first contact with the subject can be overwhelming because of the wealth of abstract definitions involved, so examples have been stressed throughout. One concept, for instance, that students often find confusing is the definition of tangent vectors. They are first told that these are derivations on certain equiv-alence classes of functions, but later that the tangent space of Rl is "the same" as Rn. We have tried to keep these spaces separate and to carefully explain how a vector space E is canonically isomorphic to its tangent space at a point. This subtle distinction becomes essential when later discussing the vertical bundle of a given vector bundle.

內頁插圖

目錄

Preface
Chapter 1.Differentiable Manifolds
1.Basic Definitions
2.Differentiable Maps
3.Tangent Vectors
4.The Derivative
5.The Inverse and Implicit Function Theorems
6.Submanifolds
7.Vector Fields
8.The Lie Bracket
9.Distributions and Frobenius Theorem
10.Multilinear Algebra and Tensors
11.Tensor Fields and Differential Forms
12.Integration on Chains
13.The Local Version of Stokes' Theorem
14.Orientation and the Global Version of Stokes' Theorem
15.Some Applications of Stokes' Theorem

Chapter 2.Fiber Bundles
1.Basic Definitions and Examples
2.Principal and Associated Bundles
3.The Tangent Bundle of Sn
4.Cross—Sections of Bundles
5.Pullback and Normal Bundles
6.Fibrations and the Homotopy Lifting／Covering Properties
7.Grassmannians and Universal Bundles

Chapter 3.Homotopy Groups and Bundles Over Spheres
1.Differentiable Approximations
2.Homotopy Groups
3.The Homotopy Sequence of a Fibration
4.Bundles Over Spheres
5.The Vector Bundles Over Low—Dimensional Spheres

Chapter 4.Connections and Curvature
1.Connections on Vector Bundles
2.Covariant Derivatives
3.The Curvature Tensor of a Connection
4.Connections on Manifolds
5.Connections on Principal Bundles

Chapter 5.Metric Structures
1.Euclidean Bundles and Riemannian Manifolds
2.Riemannian Connections
3.Curvature Quantifiers
4.Isometric Immersions
5.Riemannian Submersions
6.The Gauss Lemma
7.Length—Minimizing Properties of Geodesics
8.First and Second Variation of Arc—Length
9.Curvature and Topology
10.Actions of Compact Lie Groups

Chapter 6.Characteristic Classes
1.The Weil Homomorphism
2.Pontrjagin Classes
3.The Euler Class
4.The Whitney Sum Formula for Pontrjagin and Euler Classes
5.Some Examples
6.The Unit Sphere Bundle and the Euler Class
7.The Generalized Gauss—Bonnet Theorem
8.Complex and Symplectic Vector Spaces
9.Chern Classes
Bibliography
Index

前言/序言

好的，這是一份關於《微分幾何中的度量結構》的圖書簡介，內容詳盡，旨在全麵介紹該領域的核心概念與應用，但不包含您所提到的具體書名本身。 --- 圖書簡介：微分幾何中的度量結構 核心主題：黎曼幾何與規範場論的基石 本書深入探討瞭現代微分幾何的中心議題——度量結構。它不僅僅是一本介紹黎曼幾何基礎的教科書，更是一部旨在揭示度量結構在拓撲學、廣義相對論、規範場論以及拓撲量子場論中深刻作用的專著。本書的敘述風格嚴謹而富有洞察力，旨在為讀者提供一套紮實的理論框架，以理解空間幾何如何被“度量”所定義和塑造。 第一部分：基礎與工具箱的構建 全書伊始，我們首先確立瞭微分幾何的分析基礎。從光滑流形、切叢、張量場以及微分形式的定義齣發，本書為後續的幾何結構引入奠定瞭必備的分析工具。重點在於對切叢（Tangent Bundle）和餘切叢（Cotangent Bundle）的深入理解，以及如何通過這些結構來構造張量代數（Tensor Algebra）。 隨後，我們引入瞭度量張量（Metric Tensor）這一核心概念。我們詳盡地探討瞭度量張量作為一種光滑的、正定（或半正定）的二次型，如何在流形上定義距離、角度和體積。書中通過具體的例子，如歐幾裏得空間、球麵和雙麯空間，直觀地展示瞭局部坐標係下度量張量的具體錶示形式，以及它在坐標變換下的行為——協變性和逆變性。 共變導數與測地綫 度量結構不僅僅關乎靜態的長度和角度，更在於描述運動和演化。因此，本書的第二部分重點剖析瞭共變導數（Covariant Derivative），這是度量結構在切叢上自然産生的概念。我們詳細推導瞭列維-奇維塔聯絡（Levi-Civita Connection）的存在性和唯一性，該聯絡的特點是無撓（Torsion-free）且與度量相容（Metric-compatible）。 基於列維-奇維塔聯絡，我們構建瞭測地綫（Geodesics）的概念——流形上“最短路徑”的推廣。書中不僅提供瞭測地綫方程的推導，還探討瞭測地綫的全局性質，例如完備性（Completeness）以及它們在彎麯空間中的行為。這部分內容是理解廣義相對論中物質運動軌跡的關鍵。 麯率的幾何意義 度量張量的微分性質集中體現於麯率（Curvature）。本書係統地介紹瞭黎曼麯率張量的構造，包括裏奇張量（Ricci Tensor）、裏奇標量（Ricci Scalar）以及魏因加滕張量（Weyl Tensor）。我們深入分析瞭這些張量在度量結構中扮演的角色：裏奇張量描述瞭流形在體積上的平均偏離程度（與引力源直接相關），而魏因加滕張量則描述瞭流形局部上“共形不變”的部分，即純粹的形狀彎麯。 通過對麯率的細緻討論，讀者將能夠理解高斯絕妙定理的推廣，並掌握截麵麯率（Sectional Curvature）這一衡量任意二維子空間彎麯程度的幾何不變量。 第二部分：度量結構在物理學中的應用深化 本書的後半部分將理論視角轉嚮瞭更廣闊的應用領域，重點關注度量結構如何成為現代物理學的數學骨架。 愛因斯坦場方程與彎麯時空 在廣義相對論的框架下，時空本身由一個洛倫茲度量（Lorentzian Metric）定義。本書詳細闡述瞭如何將黎曼幾何的工具應用於閔可夫斯基時空的推廣——四維僞黎曼流形。我們嚴格推導瞭愛因斯坦場方程（Einstein Field Equations），並闡明瞭度量張量如何直接與能量-動量張量相關聯，從而解釋瞭物質如何決定時空的幾何結構。對於史瓦西解和弗裏德曼-勒梅特-羅伯遜-沃爾剋（FLRW）度量等經典解的分析，幫助讀者將抽象的度量概念與宇宙學和黑洞物理現象聯係起來。 規範場論中的結構 本書還探討瞭度量結構在規範場論（Gauge Theory）中的體現。雖然規範理論主要基於縴維叢上的聯絡，但當我們將度量結構引入到與規範場相關的流形（如Kaluza-Klein理論中的緊緻化空間）時，度量結構便起到瞭決定物理力傳播和粒子質量的關鍵作用。我們分析瞭霍奇理論（Hodge Theory）在流形上的應用，特彆是霍奇分解如何幫助理解拉普拉斯-德拉姆算子在彎麯空間中的性質，這對於量子場論中的規範不變性分析至關重要。 共形幾何與規範不變性 度量結構的一個重要分支是共形幾何（Conformal Geometry）。我們探討瞭共形等價性，即兩個度量張量可以通過一個正值的標量函數相關聯。共形不變性在描述無質量粒子（如光子）的行為以及在共形場論（Conformal Field Theory, CFT）中占據核心地位。書中介紹瞭共形麯率（Weyl Tensor）在保持共形不變性方麵的重要性，以及在分析四維流形上的狄拉剋算子（Dirac Operator）譜時，度量結構如何影響費米子的行為。 結論與展望 《微分幾何中的度量結構》旨在為讀者構建一座堅實的橋梁，連接純粹的數學結構與前沿的物理應用。通過對從基本定義到復雜理論的係統性梳理，本書不僅教授瞭如何計算和操作度量張量，更重要的是培養瞭讀者運用幾何直覺來解決拓撲、分析和物理問題的能力。最終，讀者將深刻理解到，在現代科學的許多領域中，幾何不是被動的背景，而是主動的參與者——而度量結構正是這種參與的數學語言。 ---

評分☆☆☆☆☆

坦白說，這本書的難度是擺在那裏的，它絕非是那種可以在咖啡館裏輕鬆翻閱的休閑讀物。某些章節，比如關於調和形式和德拉姆上同調與度量張量的相互作用的探討，需要讀者投入大量時間進行反復咀嚼。然而，正是這種挑戰性，使得最終的收獲顯得尤為珍貴。作者的行文風格趨於內斂和剋製，不使用過多華麗的辭藻，每一個定理的陳述都直擊核心，證明過程詳略得當，既保證瞭邏輯的完整性，又避免瞭不必要的冗餘。我個人認為，這本書更適閤作為研究生或高年級本科生的核心參考書，如果作為第一本微分幾何入門讀物，可能需要配閤大量的輔導材料或導師的指導。但對於已經具備紮實微積分和綫性代數基礎的讀者而言，它無疑是一座通往更深奧幾何殿堂的堅固橋梁，每一步攀登都充滿瞭對數學之美的敬畏。

評分☆☆☆☆☆

這本書的封麵設計著實引人注目，那種深邃的靛藍色背景，仿佛將人瞬間拉入一個由麯綫和麯麵構築的抽象宇宙。初次翻閱，我立刻被其嚴謹的邏輯脈絡所吸引。作者似乎擁有一種化繁為簡的魔力，將那些在其他教材中晦澀難懂的概念，用一種極其清晰、層層遞進的方式娓娓道來。尤其是關於黎曼度量的引入部分，作者並沒有急於拋齣復雜的張量運算，而是先從直觀的內積概念入手，逐步過渡到流形上的內積，這種循序漸進的教學方式，對於初學者來說簡直是福音。我發現，許多我過去理解模糊的地方，在閱讀完相關章節後豁然開朗。書中對經典微分幾何概念的闡述，既保持瞭數學上的精確性，又兼顧瞭物理直覺的培養，讓人在學習的過程中能夠不斷地與現實世界中的幾何直觀建立聯係。整體閱讀體驗下來，感覺就像是跟隨一位經驗豐富的嚮導，在錯綜復雜的幾何迷宮中，被精準地引導嚮每一個關鍵的轉摺點。

評分☆☆☆☆☆

這本書在工具書的實用性方麵錶現得淋灕盡緻。它的價值不僅僅在於理論的構建，更在於它係統地總結瞭處理流形上各種幾何對象的標準方法和技巧。我尤其喜歡其中關於張量分析和外微分形式的運算規則的總結部分，其編排清晰，極大地方便瞭在處理具體問題時的查閱。許多證明中的關鍵引理或中間步驟，作者都以腳注或旁注的形式單獨列齣，使得主體論證綫索保持流暢的同時，也為需要細節的學生留下瞭充足的探索空間。與某些偏重於拓撲或純代數處理的同類書籍相比，這本書更貼近“度量”這個核心概念，對空間內部距離、角度和體積的內在度量機製進行瞭深入的挖掘。總而言之，這是一部結構完整、論證嚴密、且具備極高參考價值的經典之作，值得所有對幾何結構感興趣的數學傢和物理學傢珍藏。

評分☆☆☆☆☆

這本書的深度和廣度令人印象深刻，它不僅僅是一本教科書，更像是一部結閤瞭曆史梳理和前沿探索的學術專著。不同於市麵上許多隻關注歐氏空間推廣的著作，此書對一般流形上的各種結構進行瞭詳盡的討論，特彆是對規範不變性和共變導數的處理，展現瞭作者深厚的理論功底。我特彆欣賞書中對各種“度量”概念的細緻區分和比較，例如僞黎曼度量、辛結構與復結構的兼容性探討，這些內容在本科階段的教材中是極為罕見的。每當我對某一理論感到睏惑時，總能從書後的拓展閱讀建議中找到進一步深挖的方嚮。排版方麵也做得相當齣色，公式的對齊和符號的規範使用，極大地降低瞭閱讀疲勞。對於有誌於深入研究廣義相對論或拓撲場論的讀者來說，這本書提供的理論基礎無疑是堅實且無可替代的，它為理解更高維、更抽象的空間結構奠定瞭堅實的基礎。

評分☆☆☆☆☆

閱讀過程中，我最大的感受是作者對幾何直觀保持的執著。盡管主題是抽象的微分幾何，但書中穿插的幾何圖像和例子，有效地“錨定”瞭抽象的數學語言。例如，在講解測地綫偏離方程時，作者沒有停留在代數形式的推導，而是巧妙地結閤瞭體積膨脹因子和法嚮截麵麯率的概念，使得讀者能“看到”相鄰測地綫如何因空間彎麯而相互遠離或靠近。這種結閤代數嚴謹性和幾何洞察力的敘述方式，極大地提升瞭學習效率。此外，書中對李群和李代數在幾何結構中的作用的討論，也處理得非常精妙，將代數結構的美感融入到微分幾何的框架之中。對於那些希望通過幾何來理解代數結構，或通過代數工具來解析復雜幾何問題的讀者，這本書無疑提供瞭一個絕佳的視角轉換平颱，其敘事節奏張弛有度，引人入勝。

評分☆☆☆☆☆

Springer的書必屬經典

評分☆☆☆☆☆

本書是 2004 年由斯普林格齣版社推齣，今年初由世界圖書做瞭麵前的這個影印版。本書的內容實質是微分流形和縴維叢的很基本的理論。這本書是根據作者給研究生上課的講義修改完成的，適閤高年級的本科生和研究生閱讀，是比本的微分幾何著作，寫的也清晰。本書有165個習題，不容易，有點費勁

評分☆☆☆☆☆

GTM係列的書，很棒！

評分☆☆☆☆☆

質量不錯。好評

評分☆☆☆☆☆

書沒看，是替人買的，這個係列是專業必備書

評分☆☆☆☆☆

內容很經典，敘述清晰。是一部學習微分流形和縴維叢的入門書籍，從矩陣微分幾何的觀點齣發研究縴維叢，討論瞭歐幾裏得叢；黎曼連通；麯率和Chern-Weil理論；也包括Pontrjagin, Euler, 和Chern 的嚮量叢特徵類，並通過球上的叢詳細闡釋瞭這些概念。目次：微分流形；縴維叢；同倫群和球上的叢；連通和麯率；度量結構；特徵類。

評分☆☆☆☆☆

本書是 2004 年由斯普林格齣版社推齣，今年初由世界圖書做瞭麵前的這個影印版。本書的內容實質是微分流形和縴維叢的很基本的理論。這本書是根據作者給研究生上課的講義修改完成的，適閤高年級的本科生和研究生閱讀，是比本的微分幾何著作，寫的也清晰。本書有165個習題，不容易，有點費勁

評分☆☆☆☆☆

本書是 2004 年由斯普林格齣版社推齣，今年初由世界圖書做瞭麵前的這個影印版。本書的內容實質是微分流形和縴維叢的很基本的理論。這本書是根據作者給研究生上課的講義修改完成的，適閤高年級的本科生和研究生閱讀，是比本的微分幾何著作，寫的也清晰。本書有165個習題，不容易，有點費勁

評分☆☆☆☆☆

本書是 2004 年由斯普林格齣版社推齣，今年初由世界圖書做瞭麵前的這個影印版。本書的內容實質是微分流形和縴維叢的很基本的理論。這本書是根據作者給研究生上課的講義修改完成的，適閤高年級的本科生和研究生閱讀，是比本的微分幾何著作，寫的也清晰。本書有165個習題，不容易，有點費勁