高观点下的经典微分几何/普通高等院校省级规划教材 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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☆☆☆☆☆

黄保军 著

图书标签:

• 微分几何
• 经典几何
• 高等数学
• 规划教材
• 省级教材
• 数学分析
• 曲线曲面
• 几何学
• 拓扑学
• 数学

出版社： 中国科学技术大学出版社

ISBN：9787312036798

版次：1

商品编码：11674415

包装：平装

丛书名： 高等院校数学专业教材 ，

开本：16开

出版时间：2015-02-01

用纸：胶版纸

页数：272

字数：325000

正文语种：中文

内容简介

　　《高观点下的经典微分几何/普通高等院校省级规划教材》是作者根据多年的微分几何课程的教学经验，并参考国内外的微分几何著作，为本科生编写的微分几何教材.该教材已被列为安徽省省级规划教材.《高观点下的经典微分几何/普通高等院校省级规划教材》主要讲述经典微分几何的曲线论和曲面论，全书共7章，内容包括：预备知识、标架场、空间曲线的Euclid几何、曲面上的微积分、形状算子、R3中的曲面几何、曲面的内蕴几何学.
　　《高观点下的经典微分几何/普通高等院校省级规划教材》力图用近代微分几何的研究方法去处理经典微分几何问题，目的是让读者能够实现从学习经典微分几何到学习近代微分几何的自然过渡.《高观点下的经典微分几何/普通高等院校省级规划教材》阐述具体，条理清晰，突出几何理念，便于读者理解和掌握，
　　《高观点下的经典微分几何/普通高等院校省级规划教材》可作为综合性大学和师范院校数学与应用数学和理论物理等专业本科生的微分几何教材，也可作为其他相关专业的教学参考书，

内页插图

目录

前言

第1章 预备知识
1.1 Euclid空间
1.2 切向量
1.3 方向导数
1.4 R3中的曲线
1.5 1-形式
1.6 微分形式
1.7 映射

第2章 标架场
2.1 基本概念
2.2 Frenet公式
2.3 一般曲线
2.4 协变导数
2.5 标架场
2.6 联络形式
2.7 结构方程

第3章 空间曲线的Euclid几何
3.1 R3上的等距变换
3.2 等距的切映射
3.3 定向保持等距
3.4 空间曲线的Euclid几何特征
3.5 曲线的叠合

第4章 曲面上的微积分
4.1 R3中的曲面
4.2 卡的性质
4.3 可微函数与切向量
4.4 曲面上的微分形式
4.5 曲面映射
4.6 形式的积分
4.7 曲面的拓扑性质
4.8 流形

第5章 形状算子
5.1 MR∈R3的形状算子
5.2 法曲率
5.3 Gauss曲率
5.4 计算技巧
5.5 隐式情形
5.6 曲面上的特殊曲线
5.7 旋转曲面

第6章 R3中的曲面几何学
6.1 基本方程
6.2 形式运算
6.3 某些整体定理
6.4 等距与局部等距
6.5 R3中曲面的内在几何
6.6 正交坐标
6.7 积分和定向
6.8 全曲率
6.9 曲面的叠合

第7章 曲面的内蕴几何学
7.1 几何曲面
7.2 Gauss曲率
……
参考文献

前言/序言

好的，这是一份针对您提到的图书之外，专门为一本关于基础拓扑学和分析几何的教材撰写的详细简介，旨在涵盖其核心内容，同时避免提及任何关于微分几何的特定概念，字数约1500字。 --- 《空间探秘：从欧几里得到拓扑的几何学基础》 图书简介 本书《空间探秘：从欧几里得到拓扑的几何学基础》旨在为高等院校的数学、物理学、工程学以及相关交叉学科的学生提供一套严谨、直观且富有启发性的基础几何学入门教程。全书聚焦于现代几何学与分析学相交汇的早期核心概念，构建一个从直观的直观空间感迈向抽象数学结构的坚实桥梁。我们致力于清晰地阐述度量空间、连续性、完备性以及基础的拓扑结构，而非侧重于微分结构或流形理论。 全书分为四个主要部分：基础度量空间理论、拓扑空间的引入、连续性的拓扑刻画以及完备性与收敛性。 第一部分：度量空间的基础框架 本部分从我们最熟悉的欧几里得空间 $mathbb{R}^n$ 出发，系统地引入“距离”这一核心概念，并将其推广到抽象的度量空间。 第一章：欧几里得空间的直观几何与代数 我们首先回顾并严谨论证欧几里得空间 $mathbb{R}^n$ 中距离的性质，包括三角不等式、对称性与非负性。重点讨论开球和闭球的定义及其在 $mathbb{R}^2$ 和 $mathbb{R}^3$ 中的几何直观。通过对线性结构（向量加法和标量乘法）与度量结构的相互作用进行分析，为后续抽象化打下基础。特别强调通过范数诱导出度量，并讨论一些非标准的范数（如 $L_1$ 范数和切比雪夫范数）对几何形状的影响。 第二章：抽象度量空间 本章将概念提升至一般集合 $X$ 上的任意度量 $d$。详细阐述度量空间 $(X, d)$ 的定义、公理以及构造实例，例如离散度量、函数空间中的均匀度量（或称为上确界度量），以及由内积诱导的度量。我们深入探究开集和闭集的定义，证明它们是度量空间中最基本的结构元素，并探讨它们如何依赖于所选取的度量。开集的并集仍是开集，闭集的交集仍是闭集等拓扑性质的度量化证明是本章的重点。 第三章：收敛性与邻域 在度量空间中，点的收敛性是分析学不可或缺的基石。本章详细定义了序列的收敛性，并展示如何利用 $epsilon-N$ 语言严格证明收敛。此外，我们引入邻域的概念，将其定义为包含某个开球的集合，并阐明邻域结构是描述点周围“局部环境”的关键工具。讨论极限点、聚点与孤立点的区别，强调极限点与聚点在度量空间中的等价性。 第二部分：拓扑空间的抽象构建 此部分旨在剥离度量的具体形式，专注于描述空间结构的核心——开集族。 第四章：拓扑空间的公理化 本章引入拓扑空间 $(X, mathcal{T})$ 的核心概念。我们不再依赖于度量，而是直接规定一组满足特定公理（空集和全集是开集；有限个开集的交集是开集；任意多个开集的并集是开集）的子集族 $mathcal{T}$ 作为开集。通过实例展示非度量诱导的拓扑（如密着拓扑和反密着拓扑），揭示拓扑学比度量理论更为宽泛的适用范围。 第五章：基、相对拓扑与子空间 介绍拓扑基（Base for the Topology）的概念，即一组“基本开集”，它们的线性组合可以生成整个拓扑。这为我们提供了一种更简洁的方式来描述复杂的拓扑结构。随后，我们讨论子空间拓扑。当 $Y$ 是 $X$ 的子集时，如何在 $Y$ 上继承 $X$ 的拓扑结构？我们定义相对拓扑，并证明其开集恰好是 $X$ 中开集与 $Y$ 的交集。这一概念对于处理我们感兴趣的局部性质至关重要。 第三部分：连续性的拓扑视角 本部分将分析学中最核心的概念——连续性——提升到拓扑的层面，使其摆脱对度量和数值大小的依赖。 第六章：拓扑空间的连续映射 经典分析中，函数 $f: mathbb{R} o mathbb{R}$ 在某点连续，意味着“原像中小邻域映射到像中小邻域”。在本章中，我们将这一直觉转化为拓扑语言：函数 $f: (X, mathcal{T}_X) o (Y, mathcal{T}_Y)$ 连续，当且仅当对于 $Y$ 中的任意开集 $V$，其原像 $f^{-1}(V)$ 在 $X$ 中是开集。这一定义简洁而强大。我们将展示所有度量空间上的连续函数都满足此拓扑定义，并给出仅依赖拓扑结构才能证明的连续性例子。 第七章：拓扑保持的性质 探讨连续映射对拓扑性质的保持能力。重点讨论开集、闭集、序列的极限点在连续映射下的像是否保持不变。我们详细分析闭区间 $[a, b]$ 在连续映射下的像——紧致性——以及开区间 $(a, b)$ 在连续映射下的像——连通性，为后续章节的深入奠定基础。 第四部分：完备性、紧致性与连通性 这三者是现代分析和拓扑学中描述空间“质量”的关键属性。 第八章：度量空间中的完备性 我们重新回到度量空间，引入柯西序列的概念，并定义完备度量空间：所有柯西序列都在该空间中收敛的空间。本章证明了 $mathbb{R}^n$ 的完备性，并展示了为什么非完备空间（如有理数集 $mathbb{Q}$ 带有标准度量）在处理极限问题时会产生困难。引入巴拿赫不动点定理（收缩映射原理）作为完备性在解决方程中的重要应用实例。 第九章：紧致性的概念 紧致性是有限性在拓扑空间中的推广。本章从开复盖的有限子覆盖定义出发，详细讨论了紧致性的等价刻画，特别是对于度量空间，它等价于“每个序列都有一个收敛子序列”（即列紧性）。我们会证明 Heine-Borel 定理的推广思想，并展示紧致性在证明函数极值存在性中的核心作用。 第十章：连通性与路径 连通性描述了空间是否可以被“分割”。本章首先定义拓扑空间的连通性（不可分解性）。随后，引入更强的概念——路径连通性，即空间中任意两点之间存在一条连续曲线连接。我们证明路径连通性蕴含连通性，并在 $mathbb{R}^n$ 中证明两者等价。本部分将通过实例对比分离拓扑和连通空间的区别，巩固对空间整体结构的理解。 --- 本书的特色与目标读者： 本书的叙述风格注重逻辑的严密性与数学直觉的培养相结合。我们力求在抽象定义与具体的几何图像之间架起清晰的桥梁。本书不包含微分结构、黎曼度量或曲率的概念，而是专注于奠定现代分析和拓扑学所需的最坚实基础。它适合于初次接触抽象拓扑和分析几何的本科生，以及需要系统性回顾这些基础概念的研究生先修课程。通过对度量空间到一般拓扑空间的平滑过渡，读者将能更好地理解后续更高级几何分支的定义和动机。

评分☆☆☆☆☆

老实说，拿到这本书的时候，我其实是有些忐忑的。毕竟“高观点”这几个字，就已经预示着内容的深度和广度。但阅读下去之后，我发现这种“高”并不是高高在上，而是站在一个更高的视角去审视那些我们熟悉的概念。这本书最让我赞赏的一点，在于它对基础概念的严谨性把握。它没有回避那些在初学时容易被忽略的细节，而是通过细致入微的讲解，帮助读者建立起牢固的数学根基。比如，在介绍切空间、切向量时，书中不仅仅给出了定义，还深入剖析了这些概念的几何意义，以及它们在描述局部几何性质中的关键作用。这对于理解后续更复杂的微分流形理论至关重要。书中对于流形概念的引入也处理得非常巧妙，它从熟悉的空间（如球面）出发，逐步引导读者理解流形的局部欧氏性质，以及整体拓扑结构的不可忽视。这种由浅入深、循序渐进的教学方式，让我这个初学者也能逐渐适应和掌握。而且，书中穿插的许多历史背景介绍，也让我在学习数学知识的同时，了解到这些理论是如何一步步发展起来的，这无疑增加了学习的趣味性和人文关怀。

评分☆☆☆☆☆

作为一个在科研一线摸爬滚打多年的研究者，我对于数学工具的实用性和理论的深刻性都有着非常高的要求。这本书，在某种意义上，填补了我过去学习中的一些空白。《高观点下的经典微分几何/普通高等院校省级规划教材》给我最直观的感受是，它不仅仅是一本纯理论的书，而是真正能够指导实际应用的。书中对于张量分析、微分形式等工具的介绍，可以说是非常扎实且有条理。我尤其喜欢书中关于度量张量和联络的讲解，这为理解黎曼几何中的曲率张量奠定了坚实的基础。当书中将这些抽象的数学工具与曲面弯曲、测地线偏离等具体的几何现象联系起来时，我仿佛看到了数学在描述现实世界中的强大力量。那些看似复杂的公式，在特定的几何背景下，立刻变得鲜活起来，充满了物理和几何的意义。书中还涉及了一些现代物理学（如广义相对论）中微分几何的应用案例，这对于我这种希望将数学理论与物理研究相结合的人来说，无疑是极大的启发。它让我看到了微分几何这门古老而又年轻的学科，其在解决当代科学难题中的重要地位。

评分☆☆☆☆☆

我曾阅读过不少关于微分几何的书籍，但《高观点下的经典微分几何/普通高等院校省级规划教材》给我带来的震撼是前所未有的。它的“高观点”体现在对数学本质的深刻把握，以及对知识体系的系统性构建。这本书不是简单地罗列公式和定理，而是致力于让读者理解这些概念背后的思想和逻辑。作者在介绍一些经典定理时，总能追溯其历史渊源，并揭示其核心思想，这对于建立完整的数学认知体系非常有帮助。书中对于微分流形理论的讲解，尤其是我认为的亮点。它并没有止步于曲面，而是将概念推广到更高维度的流形，并详细阐述了微分流形在现代数学和物理学中的广泛应用。从代数拓扑到李群，再到广义相对论，这本书都进行了精彩的串联。它让我认识到，微分几何并非孤立的学科，而是连接着数学的各个分支，是理解现代科学的重要钥匙。阅读这本书的过程，就像是在攀登一座知识的高峰，虽然过程需要付出努力，但最终的视野和收获，绝对是值得的。

评分☆☆☆☆☆

这本书简直是为我量身打造的！作为一名对数学充满热情但又常常感到基础不够扎实的本科生，我一直在寻找一本能够引导我深入理解那些“高屋建瓴”的数学思想，同时又不至于让我望而却步的书。市面上的很多教材，要么过于注重技巧和计算，让我只知其然而不知其所以然；要么过于抽象，让我在概念的海洋里迷失方向。《高观点下的经典微分几何/普通高等院校省级规划教材》的出现，无疑点亮了我学习的道路。它不仅仅是一本教材，更像是一位循循善诱的老师，用清晰的逻辑和丰富的例子，将那些原本“高大上”的微分几何概念，变得触手可及。开篇的引入就非常精彩，作者并没有急于进入复杂的公式推导，而是从几何直觉出发，引导读者去感受曲线和曲面的内在性质。那些关于曲率、挠率的解释，不再是冰冷的数字，而是变成了描述物体形状变化的生动语言。尤其让我印象深刻的是，书中对于测地线概念的阐述，从欧氏空间的直线推广到黎曼流形上的“最短路径”，这种思想的升华和几何意义的挖掘，让我第一次真正体会到数学的优雅和力量。即使是一些我之前接触过但感觉模糊的概念，在这本书里也得到了清晰的梳理和深刻的阐释，感觉整个知识体系都被搭建起来了。

评分☆☆☆☆☆

这本书的写作风格非常独特，它既有严谨的数学论证，又不乏诗意的几何描述。作者仿佛是一位艺术家，用数学的语言描绘出几何世界的精妙绝伦。《高观点下的经典微分几何/普通高等院校省级规划教材》在处理一些经典问题时，视角非常新颖，总能从意想不到的角度给出深入的洞察。例如，对于极小曲面的讨论，书中不仅仅给出了其定义和一些著名的例子，更重要的是，它深入剖析了极小曲面存在的深刻几何意义，以及与之相关的变分原理。这种从“是什么”到“为什么”的深入挖掘，让我对极小曲面的理解上升到了一个新的高度。此外，书中对于一些拓扑概念与微分几何的融合处理，也让我耳目一新。它并没有将拓扑和微分几何割裂开来，而是巧妙地将它们联系在一起，展示了微分几何在研究拓扑性质方面的强大能力。读这本书，我常常会有一种豁然开朗的感觉，仿佛那些一直萦绕在我脑海中的数学难题，在这本书的引导下，都变得清晰明了。

评分☆☆☆☆☆

还没看过，不过看标题就觉得应该很有意思

评分☆☆☆☆☆

不错

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好书，作者不愧为大家，推荐阅读

评分☆☆☆☆☆

很好！

评分☆☆☆☆☆

Goooooooooooooooooooood

评分☆☆☆☆☆

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评分☆☆☆☆☆

非常好的书，清晰易读，值得借鉴参考！

评分☆☆☆☆☆

很好！

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