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同济大学数学系 编

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• 微积分
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• 极限
• 导数
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出版社： 高等教育出版社

ISBN：9787040266382

版次：3

商品编码：11714603

包装：平装

丛书名： 面向21世纪课程教材

开本：16开

出版时间：2009-06-01

用纸：胶版纸

页数：363

字数：440000

正文语种：中文

内容简介

　　《微积分（第三版 上册）》参照新修订的“工科类本科数学基础课程教学基本要求”，结合当前的教学实际，在原书第二版的基础上修订而成。在保持同济编教材优秀传统的同时，努力贯彻教学改革的精神，加强对微积分的基本概念、理论、方法和应用实例的介绍，突出微积分的应用。《微积分（第三版 上册）》结构严谨，逻辑清晰，文字表述详尽通畅，平易近人，易教易学，改编后的内容编排也更利于教学的组织和安排。所选用的习题突出数学基本能力的训练而不过分追求技巧，既有传统的优秀题目，又从国外教材中吸取或改编了一些有较高训练效能的新颖习题。
　　通过数学实验将微积分与数学软件的应用有机结合起来是《微积分（第三版 上册）》的一个特色，经过改编，数学实验与教学内容的结合更加紧密，有利于培养学生的数学建模能力。书中有些内容用楷书排印或加了“*”号，教师可灵活掌握。《微积分（第三版 上册）》可作为工科和其他非数学类专业的高等数学（微积分）教材或参考书。
　　《微积分（第三版 上册）》分上、下两册出版。上册的内容为函数、极限与连续，一元函数微分学，一元函数积分学和微分方程，四个与一元函数微积分相关的数学实验，附录中有数学软件Mathematica的简介。下册内容为向量代数与空间解析几何，多元函数微分学，重积分，曲线积分与曲面积分，无穷级数，三个与多元微积分和级数有关的数学实验。书末附有习题答案与提示。

内页插图

目录

预备知识
一、集合
二、映射
三、一元函数
习题

第一章 极限与连续
第一节 微积分中的极限方法
第二节 数列的极限
一、数列极限的定义
二、数列极限的性质
习题1-2
第三节 函数的极限
一、函数极限的定义
二、函数极限的性质
习题1-3
第四节 极限的运算法则
一、无穷小与无穷大
二、极限的运算法则
习题1-4
第五节 极限存在准则与两个重要极限
一、夹逼准则
二、单调有界收敛准则
习题1-5
第六节 无穷小的比较
一、无穷小的比较
二、等价无穷小
习题1-6
第七节 函数的连续性与连续函数的运算
一、函数的连续性
二、函数的间断点
三、连续函数的运算
习题1-7
第八节 闭区间上连续函数的性质
一、最大值最小值定理
二、零点定理与介值定理
习题1-8
总习题一

第二章 一元函数微分学
第一节 导数的概念
一、导数概念的引出
二、导数的定义
三、函数的可导性与连续性的关系
习题2-1
第二节 求导法则
一、函数的线性组合、积、商的求导法则
二、反函数的导数
三、复合函数的导数
习题2-2
第三节 隐函数的导数和由参数方程确定的函数的导数
一、隐函数的导数
二、由参数方程确定的函数的导数
三、相关变化率
习题2-3
第四节 高阶导数
习题2-4
第五节 函数的微分与函数的线性逼近
一、微分的定义
二、微分公式与运算法则
三、微分的意义与应用
习题2-5
第六节 微分中值定理
习题2-6
第七节 泰勒公式
习题2-7
第八节 洛必达法则
一、未定式
二、未定式
三、其他类型的未定式
习题2-8
第九节 函数单调性与曲线凹凸性的判别法
一、函数单调性的判别法
二、曲线的凹凸性及其判别法
习题2-9
第十节 函数的极值与最大、最小值
一、函数的极值及其求法
二、最大值与最小值问题
习题2-10
第十一节 曲线的曲率
一、平面曲线的曲率概念
二、曲率公式
习题2u
第十二节 一元函数微分学在经济中的应用
总习题二

第三章 一元函数积分学
第一节 不定积分的概念及其性质
一、原函数和不定积分的概念
二、基本积分表
三、不定积分的性质
习题3-1
第二节 不定积分的换元积分法
一、不定积分的第一类换元法
二、不定积分的第二类换元法
习题3-2
第三节 不定积分的分部积分法
习题3-3
第四节 有理函数的不定积分
习题3-4
第五节 定积分
一、定积分问题举例
二、定积分的定义
三、定积分的性质
习题3-5
第六节 微积分基本定理
一、积分上限的函数及其导数
二、牛顿-莱布尼茨公式
习题3-6
第七节 定积分的换元法与分部积分法
一、定积分的换元法
二、定积分的分部积分法
习题3-7
第八节 定积分的几何应用举例
一、平面图形的面积
二、体积
三、平面曲线的弧长
习题3-8
第九节 定积分的物理应用举例
一、作功
二、水压力
三、引力
习题3-9
第十节 平均值
一、函数的算术乎均值
二、函数的加权乎均值
三、函数的均方根平均值
习题3-10
第十一节 反常积分
一、无穷限的反常积分
二、无界函数的反常积分
三、厂函数
习题3-11
总习题三

第四章 微分方程
第一节 微分方程的基本概念
习题4-1
第二节 可分离变量的微分方程
习题4-2
第三节 一阶线性微分方程
习题4-3
第四节 可用变量代换法求解的一阶微分方程
一、齐次型方程
二、可化为齐次型的方程
三、伯努利方程
习题4-4
第五节 可降阶的二阶微分方程
一、y'=f（x）型的微分方程
二、y'=f（J，y'）型的微分方程
三、y'=f（y，y'）型的微分方程
四、可降阶二阶微分方程的应用举例
习题4-5
第六节 线性微分方程解的结构
习题4-6
第七节 二阶常系数线性微分方程
一、二阶常系数齐次线性微分方程
二、二阶常系数非齐次线性微分方程
三、二阶常系数线性微分方程的应用举例
习题4-7
第八节 高阶变系数线性微分方程解法举例
一、解二阶变系数线性微分方程的常数变易法
二、解欧拉方程的指数代换法
习题4-8
总习题四
实验
实验1 数列极限与生长模型
实验2 泰勒公式与函数逼近
实验3 方程近似解的求法
实验4 定积分的近似计算
附录
附录一 数学软件Mathcmatica简介
附录二 几种常用的曲线
习题答案与提示
记号说明

《微积分（第三版 上册）》图书简介 本书为《微积分》（第三版）的上册，旨在为学习微积分的读者打下坚实的基础，并为后续更深入的学习铺平道路。本册内容涵盖了微积分的核心概念和基本工具，力求通过清晰的理论阐述、丰富的例题解析和精心设计的练习题，帮助读者理解微积分的精妙之处，并掌握其解决实际问题的能力。 核心内容概览： 极限与连续性（Limits and Continuity）： 函数的概念（Concept of a Function）： 本章首先回顾并深化了函数的概念，包括定义域、值域、函数的图像、奇偶性、单调性等基本性质。我们将介绍常见的基本函数类型，如多项式函数、有理函数、指数函数、对数函数以及三角函数和反三角函数，并讨论它们的性质和图像特征。 极限的直观理解与严谨定义（Intuitive Understanding and Rigorous Definition of Limits）： 极限是微积分的基石。本章将从直观的“无限接近”概念出发，引导读者理解极限的意义。随后，我们将引入ε-δ语言，精确地定义函数在一点的极限和在无穷远处的极限，并讨论极限的保号性等重要性质。 极限的计算（Computation of Limits）： 学习了极限的定义后，我们将重点介绍计算极限的各种方法和法则，包括代数方法（如因式分解、有理化）、夹逼定理、以及利用已知极限（如 $lim_{x o 0} frac{sin x}{x} = 1$）来计算复杂极限。 无穷小与无穷大（Infinitesimals and Infinites）： 本章将详细阐述无穷小和无穷大的概念，它们是理解极限行为的关键。我们将讨论无穷小的比较，并学习如何利用无穷小来简化极限计算。 函数的连续性（Continuity of Functions）： 基于极限的概念，本章将定义函数在一点连续和在区间连续的条件。我们将分析不同类型的间断点，并探讨连续函数的性质，例如介值定理和最值定理，这些定理在分析函数行为和求解问题时至关重要。 导数（Derivatives）： 导数的概念（Concept of the Derivative）： 导数是描述函数变化率的强大工具。本章将从切线的斜率和瞬时速度等实际情境出发，引出导数的定义——函数在一点的瞬时变化率。我们将学习如何用差商的极限来计算导数。 导数的几何意义与物理意义（Geometric and Physical Interpretations of the Derivative）： 深入探讨导数的几何意义（切线斜率）和物理意义（速度、加速度等）。理解这些解释有助于读者将抽象的数学概念与现实世界联系起来。 求导法则（Differentiation Rules）： 为了高效地计算导数，本章将系统地介绍各种求导法则，包括基本初等函数的导数公式、常数倍法则、和差法则、乘积法则、除法法则以及链式法则。链式法则是计算复合函数导数的关键，我们将提供大量的练习来帮助读者熟练掌握。 高阶导数（Higher-Order Derivatives）： 在介绍了一阶导数后，我们将进一步学习二阶导数、三阶导数以及更高阶导数。高阶导数在研究函数的凹凸性、拐点以及泰勒展开等方面有着重要应用。 隐函数求导与参数方程求导（Implicit Differentiation and Derivatives of Parametric Equations）： 针对不能显式表示为 $y=f(x)$ 的函数，我们将介绍隐函数求导的方法。同时，对于用参数方程表示的曲线，也将学习如何求导。 导数的应用（Applications of Derivatives）： 导数在分析函数性质方面有着广泛的应用。本章将介绍如何利用导数来判断函数的单调性、求函数的极值（局部最大值和最小值），以及利用导数来分析函数的凹凸性和求拐点。这些内容为后续绘制函数图像打下了基础。 微分（Differentials）： 微分的概念（Concept of Differentials）： 微分是导数的一种近似计算方法，并且在积分和数值计算中有重要应用。本章将介绍微分的定义，以及它与函数增量之间的关系。 微分的计算与性质（Computation and Properties of Differentials）： 学习如何计算微分，并了解微分的线性性质。 微分在近似计算中的应用（Applications of Differentials in Approximations）： 利用微分作为函数增量的线性近似，可以方便地进行一些近似计算，本章将通过具体例子展示其应用。 本书特色： 循序渐进的教学方法： 内容组织上，我们遵循从基本概念到复杂应用的逻辑顺序，确保读者能够逐步建立对微积分知识体系的理解。 理论与实践相结合： 既深入讲解了微积分的理论基础，又提供了大量的应用案例和例题，帮助读者将理论知识转化为解决实际问题的能力。 丰富的例题与练习： 每节内容都配有精心设计的例题，覆盖了从基础计算到综合应用的各种题型。章节末尾的习题集包含了不同难度和类型的题目，供读者进行巩固和提高。 清晰的数学语言： 力求使用准确、清晰、易于理解的数学语言来阐述概念和定理，避免不必要的复杂化。 结构化排版： 采用清晰的章节结构、标题和小标题，配合图示，使读者阅读更加便捷。 适读对象： 本书适合高等院校、大学专科、职业技术院校等各层次的数学、物理、工程、经济、计算机科学等专业的学生。同时也适用于需要系统学习或复习微积分的广大读者。 通过学习《微积分（第三版 上册）》，读者将能够： 深刻理解极限、导数和微分的核心概念。 熟练掌握各种函数的求导方法和技巧。 运用导数分析函数的性质，绘制函数图像。 初步认识到微积分在解决科学技术问题中的强大力量。 我们相信，本书将成为您学习微积分旅程中的得力助手。

评分☆☆☆☆☆

坦白说，自从我开始接触“微积分（第三版 上册）”以来，我的学习方式发生了显著的改变。我不再仅仅满足于死记硬背那些公式和定理，而是开始尝试去理解它们背后的推导过程和几何意义。书中所提供的例题，设计得非常巧妙，它们不仅能够帮助我巩固所学的知识点，更能引导我思考问题的新角度。有些题目，初看之下似乎无从下手，但经过一番演算和联想，总能豁然开朗，那种解题的成就感，是任何其他事物都无法比拟的。

评分☆☆☆☆☆

这本书给我的最大感受，是它所传达出的严谨性。在数学的世界里，丝毫的含糊不清都可能导致谬误。“微积分（第三版 上册）”正是以其严谨的逻辑和精确的定义，让我对数学有了更深的敬畏。每一个定理的证明，每一个公式的推导，都显得那么无可辩驳，这让我对其内容的可靠性深信不疑。

评分☆☆☆☆☆

我清楚地记得，在我第一次拿到“微积分（第三版 上册）”的时候，我被它厚实的份量所震撼。然而，随着时间的推移，我发现这份厚重并非负担，而是知识的沉淀。书中包含的知识点非常丰富，涵盖了微积分的核心内容，同时又具有一定的深度。我喜欢它在介绍每个章节主题时，所进行的背景介绍，这让我能够更好地理解这些数学概念产生的历史和意义，从而产生更强的学习动力。

评分☆☆☆☆☆

毫无疑问，“微积分（第三版 上册）”是我学习生涯中一本极具价值的参考书。它的内容编排非常有条理，从基础概念到高级应用，层层递进，能够很好地满足不同阶段学习者的需求。即使是多年以后，当我遇到与微积分相关的难题时，我仍然会毫不犹豫地翻开这本书，它总能提供给我最权威、最准确的解答。

评分☆☆☆☆☆

我始终认为，一本优秀的教材，其价值不仅仅体现在它所包含的知识点，更在于它能够培养读者独立思考和解决问题的能力。“微积分（第三版 上册）”在这方面做得非常成功。书中提出的问题，往往能够激发我去主动探索，而不是被动接受。这种学习方式，对于我日后的学习和工作，都产生了深远的影响。

评分☆☆☆☆☆

每一次当我感到在学习微积分的道路上有些迷茫时，翻阅“微积分（第三版 上册）”总能给我带来新的启发。书中的插图和图表，对于理解一些抽象的概念尤为重要。它们不仅仅是文字的辅助，更是直观的解释，帮助我把那些抽象的符号转化为具象的图像，从而加深了我的理解。我特别喜欢书中对函数图像变化的分析，那种细腻的刻画，让我能够清晰地感受到导数和积分所代表的意义。

评分☆☆☆☆☆

我常常会和同学、朋友们讨论书中的一些难点，而“微积分（第三版 上册）”的书页上，早已留下了我无数次的思考痕迹，包括一些重要的公式标注、概念解释的补充，甚至是一些疑问的草稿。这本书陪伴我度过了许多个挑灯夜读的夜晚，也见证了我从一个对微积分一知半解的门外汉，逐渐成长为一个能够理解并运用这些强大工具的学习者。

评分☆☆☆☆☆

我一直对数学，特别是高等数学领域怀有浓厚的兴趣，而“微积分（第三版 上册）”这本书，在我的求学过程中扮演了一个至关重要的角色。初次接触这本书时，我对于其中涉及的抽象概念感到一丝畏惧，毕竟，导数、积分这些概念，对于初学者来说，确实需要一段时间的消化和理解。但是，随着我深入阅读，我逐渐被书中清晰的逻辑和详实的讲解所吸引。作者在引入每一个新概念时，都力求从最基本的直观理解出发，循序渐进地构建起严谨的数学体系。

评分☆☆☆☆☆

这本书在我书架上已经静静地躺了一段时间了，但我每次翻开它，内心都会涌起一股复杂的情绪。首先，这本书的装帧设计确实是相当考究的，纸张的触感细腻，印刷字体清晰，即使是在光线不佳的环境下阅读，也不会感到费力。我尤其喜欢它封面所采用的那种深邃的蓝色，仿佛蕴含着无限的数学奥秘，每次看到它，都能激发我想要探索未知的渴望。

评分☆☆☆☆☆

我一直认为，一本好的教科书，不仅要传授知识，更要能够点燃读者的学习热情。“微积分（第三版 上册）”在这方面做得相当出色。书中不乏一些令人惊叹的数学思想和应用场景，这些内容让我看到了微积分在现实世界中的巨大力量。例如，它在物理学中描述物体运动、在工程学中计算曲面面积、在经济学中分析市场趋势等方面的应用，都让我觉得数学不再是枯燥的符号游戏，而是解决实际问题的强大工具。

评分☆☆☆☆☆

这是一本很不错的辅助教材。

评分☆☆☆☆☆

回购产品，物美价廉，值得信赖，大赞！

评分☆☆☆☆☆

教材书，不错。。。。。。。。。。

评分☆☆☆☆☆

很不错，价格也给力，五星好评！

评分☆☆☆☆☆

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评分☆☆☆☆☆

给孩子买来进步的，不错

评分☆☆☆☆☆

不是非常喜欢

评分☆☆☆☆☆

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