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内容简介

　　《基础代数学选讲》定位在“抽象代数”的基础之上，对相对基础的“多项式代数”和“线性代数”作出高观点和高能力下的审视，给出必要的、自然的、适当的加宽和加深，以夯实学生的知识基础，提高学生的数学素养。《基础代数学选讲》共分8讲，内容包括：数域上的多项式，（并涉及由其定义的）多项式函数，线性相关性（线性代数的核心概念），关于线性空间和线性变换的其他基本事项（联系更一般的模和模同态概念），线性空间的直和分解（模的特殊情形），初等变换，初等矩阵与矩阵的等价标准形的应用开发，矩阵分块运算的应用开发，自然数集与数学归纳法，非Klein意义上的“高观点下的初等数学”。全书语言简练，逻辑严密，注重培养学生的逻辑推理和抽象思维能力。
　　《基础代数学选讲》可作为高等院校数学类专业师生的教材，也可供其他科研工作者参考。

内页插图

目录

前言
第1讲 数域上的多项式，（并涉及由其定义的）多项式函数
1．1 关于不可约多项式的一个基本事实与若干特殊的不可约多项式
1．1．1 基本事实
1．1．2 一类特殊的不可约多项式
1．1．3 另一类特殊的不可约多项式
1．1．4 矩阵的最小多项式
1．2 非负多项式的一个特征
1．3 关于多项式的Fermat大定理的一个初等证明
1．3．1 关于整数的Fermat大定理
1．3．2 关于多项式的Fermat大定理
1．4 关于一元多项式的若干注记
1．4．1 带余除法
1．4．2 余数定理的几种证明方法
1．4．3 零点-因子定理及其应用
1．4．4 多项式的最大（小）公因（倍）式
1．5 对称与初等对称多元多项式
1．5．1 多元多项式
1．5．2 对称和初等对称多项式
习题1

第2讲 线性相关性（线性代数的核心概念）
2．1 涉及线性相关性的几组基本事实
2，2替换定理及其等价刻画
2．3 涉及线性变换（线性映射）的线性相关性
2．4 涉及内积的（即Euclid空间里的）线性相关性
2．5 关于矩阵秩概念的开发（I）
2．6 从向量组的线性相关性到子空间组的线性相关性（详见第4讲）
习题2

第3讲 关于线性空间和线性变换的其他基本事项（联系更一般的模和模同态概念）
3．1 模（线性空间）公理间的独立性及其他
3．1．1 模公理间的独立性
3．1．2 模的Abel群
3．1．3 线性空间上的线性变换
3．2 线性空间关于线性变换的不变子空间
3．3 n维线性空间中n-无关无限子集的若干特征及其存在性
3．4 n变数可逆线性齐次代换的两种几何解释及其联系
3．4．1 解释为域F上n维线性空间上的线性变换
3．4．2 A可逆时，式（3．5 ）又可解释为域F上n维线性空间上的坐标变换
3．4．3 A可逆时，式（3．5 ）的上两种解释的联系
3．5 线性映射（函数）与其表示矩阵（向量）（“矩阵秩概念的开发（Ⅱ）”，用线性函数给出3．3 节的一个补充）
3．5．1 线性映射与其表示矩阵
3．5．2 矩阵秩概念的开发（儿）
3．5．3 用线性函数给出3．3 节的一个补充
3．6 对偶空间与“矩阵秩概念的开发（III）”
3．6．1 对偶空间与对偶基底
3．6．2 对偶线性映射与矩阵秩概念的开发（III）
3．6．3 空间与其对偶空间的对偶性
3．6．4 线性空间与其对偶空间的联系
3．7 对称双线性度量空间与线性方程组可解的几何解释
3．8 Euclid空间与线性方程组的最小二乘法
3．8．1 Euclid空间的基本概念和基本事实
3．8．2 向量到子空间的距离与线性方程组的最小二乘法
3．9 具有对角形表示矩阵的线性变换
3．10 多重线性函数和行列式的（一种）公理化定义
3．10．1 d-行列式的定义及性质
3．10．2 d-行列式恰为通常的行列式
3．10．3 d-行列式（作为行列式的公理化定义）的直接应用
3．11 多重线性函数和Binet-Cauchy公式
3．12 若干例题
习题3

第4讲 线性空间的直和分解（模的特殊情形）
4．1 线性空间的（内）直和与外直和
4．1．1 线性空间的（内）直和与外直和
4．1．2 用直和给出3．3 节的另外两个补充
4．2 线性空间涉及线性变换的若干直和结构
……
第5讲 初等变换，初等矩阵与矩阵的等价标准形的应用开发
第6讲 矩阵分块运算的应用开发
第7讲 自然数集与数学归纳法
第8讲 非Klein意义上的“高观点下的初等数学”
参考文献
索引

前言/序言

　　高校数学类专业为该专业本科生高年级开设的“代数学选讲”课程，平行于“分析学选讲”和“几何学选讲”等非传统课程。据悉，国内各类高校中的大多数数学类专业已稳定开设此类课程二十余年，中国科学技术大学龚舁教授生前就曾开设过“微积分学选讲”和“线性代数选讲”等课程；哈尔滨工业大学吴从炘教授也多次为本科生高年级开设“分析学选讲”课程（科学出版社2011年出版的《一元微积分深化引论》就是他开设此类课程的结晶之一），海外高校数学类本科的“××一学文献选读”类课程早已是本科高年级的传统课程，其内容除自编外，还有引自相关文献的，学生也承担某些内容的报告，这类课程强调课堂讨论。笔者认为，上述海内外两种课程的共性，就应该是我们本书的写作“宗旨”。本书为叶“数学选讲”课程所编著，其素材大部分来源于作者在兰州大学、云南大学和西南大学开设“代数学选讲”十余次的手稿，其中也有部分内容是在国内近五十所院校为青年教师、研究生和七个数学基地班的学生，以及五次全国性高校教学研讨班做过的系列演讲内容。该课程位于若干代数学基础课程（诸如“高等代数”“抽象代数”）之后。它的开设宗旨定位在，对相对基础的内容做出高观点和高能力下的审视，给出必要的、自然的、适当的加宽和加深，以夯实学生的知识基础，提高学生的数学修养（特别是逻辑推理能力和抽象思维能力，这两种能力是代数学尤其善于承担培养的修养侧面），这对学生步入社会工作，或者继续深造，都至关重要。
　　“基础代数学选讲”主要涉及代数学中最基础的“多项式代数”和“线性代数”（联系到上述宗旨，这里的审视是在“抽象代数学”观点下的）。目前，所见到的选讲类教材多局限于习题的分类解答，仅有微观处理，并无宏观审视，有浓厚的考研应试教育色彩，不吻合于上述宗旨。这里除了紧扣我们的宗旨，在内容上也处处展示着我们几十年来在代数学教学上的研究成果，对内容的加宽和加深也本着必要、自然和适当的原则，在内容的整合过程中，“高等代数”教材里的已有事实，在需要时，也予以罗列，但一般地，不再提供证明过程，凡此种种，读者皆能从本书各讲、节的标题上见其一斑。
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