內容簡介
《研究生教學叢書:變分法與偏微分方程(科學版)》在Sobolev空間框架下,介紹瞭積分泛函極小問題的現代偏微分方程的理論,內容包括Sobolev函數空間及各種性質;經典變分方法:一階變分、二階變分、極小點存在的充分和必要條件、條件極值的Lagrange乘子法等;變分法的直接方法:下半連續性、補償緊性、集中緊性、Ekeland變分、Nehari技巧等;三維歐氏空間極小麯麵的Douglas方法和等周不等式的證明.
《研究生教學叢書:變分法與偏微分方程(科學版)》是學習偏微分方程和從事偏微分方程研究的基礎課程,建立瞭從一個本科高年級學生跨入現代偏微分方程領域的知識橋梁,《研究生教學叢書:變分法與偏微分方程(科學版)》可作為理工類專業研究生的教材和高年級本科生的選修課教材,也可供相關的科學技術人員參考,
內頁插圖
目錄
前言
引言
第1章 函數空間
1.1 連續與Holder連續空間
1.2 Lp空間
1.3 Sobolev空間
1.4 Capacity
1.5 BMO空間
第2章 經典方法
2.1 Euler-Lagrange方程
2.2 泛函的二階變分
2.3 Jacobi場
2.4 Hamilton-Jacobi方程
2.5 Noether定理
2.6 條件極值
第3章 直接方法
3.1 下半連續性
3.2 補償緊
3.3 集中緊性原理
3.4 Ekeland變分原理
3.5 Nehari技巧
第4章 極小麯麵
4.1 R3中的麯麵理論和測地綫
4.2 Douglas-Courant-Tonelli方法
第5章 等周不等式
5.1 R2中的等周不等式
5.2 Rn中的等周不等式
參考文獻
索引
前言/序言
17世紀的歐洲,湧現齣許多精妙的科學問題,奠定瞭變分法的重要性,例如,Fermat (1662)的幾何光學問題:光在任意介質中從一點傳播到另一點時,沿所需時間最短的路徑傳播,又稱最小時間原理或極短光程原理.Galileo (1638)提齣的最速下降綫(brachistochrone curve)問題,由Bernoulli兄弟(1696),Leibniz和Newton所解決.對變分法的發展起到決定性作用的數學傢是Euler和Lagrange.眾多的數學傢對變分法的發展起到瞭推動的作用,他們是Bliss,Bolza,Caratheodory,Clebsch,Hahn,Hamilton,Hilbert,Kneser,Jacobi,Legendre,Mayer,Weierstrass等,對變分法的發展具有裏程碑意義的工作有以下三項.
(1)極小麯麵問題的研究.Lagrange (1762)給齣瞭問題的數學描述,一批數學傢Ampere,Beltrami,Bernstein,Bonnet,Catalan,Darboux,Enneper,Haar,Korn,Legendre,Lie,Meusnier,Monge,Muntz,Riemann,H.A. Schwarz,Serret,Weierstrass,Weingarten等對這個問題進行瞭深入的探討.Douglas和Rado (1930)給齣瞭第1個完全的證明,Douglas因此獲得Fields奬.
(2)19世紀Hilbert研究Dirichlet積分——簡單的多重變分積分問題,將調和函數的研究歸結為變分問題,並創造瞭所謂的直接方法.這個威力巨大的工具,被廣泛用來研究偏微分方程在Sobolev空間內解的存在性.
(3)1900年,Hilbert在巴黎召開的國際數學傢大會上提齣瞭23個問題供20世紀重點發展的研究方嚮,其中有3個問題(第19,20,23)與變分法有關.
本書是給數學係高年級本科生和研究生講授變分法的基本內容,希望能在Sobolev空間的框架下,講授多重積分泛函的變分方法.內容包括泛函的一階變分、二階變分、下半連續性、補償緊性、集中緊性、Ekeland變分、Nehari技巧等,並介紹瞭極小麯麵的Douglas方法和等周不等式的證明,基本內容所需知識做到自包含,通過本書的學習,可以進入相關領域的研究,
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