現代數學基礎叢書：Littlewood-Paley理論及其在流體動力學方程中的應用 下載 mobi epub pdf 電子書 2024

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內容簡介

　　《現代數學基礎叢書：Littlewood-Paley理論及其在流體動力學方程中的應用》內容涉及Littlewood-Paley理論及其在流體動力學方程中的應用兩大部分。其一包含瞭頻率空間的局部化、Besov空間的Littlewood-Paley刻畫、Bony的仿積分解及仿綫性化技術、新型的Bemstein不等式等，其二在Littlewood-Paley理論的框架下，建立輸運擴散方程解的時空正則性估計、頻譜層次的正則性估計及零階Besov空間的log-型估計，給齣瞭既包含對流，也包含擴散現象的流體動力學問題的統一處理方法，在這個新的框架下，重點討論瞭不可壓的Euler方程與Navier-Stol（es方程、Boussinesq方程、臨界Quasi-Geostrophic方程及可壓的Navier-Stokes方程等。
　　《現代數學基礎叢書：Littlewood-Paley理論及其在流體動力學方程中的應用》的特點是將現代調和分析理論，諸如：頻率空間的分析、Fourier局部化技術、Bony的仿積分解及仿綫性化技術等和傳統的連續模方法、DeGiorgi-Nash-Moser迭代技術相結閤，充分利用與開發流體動力學方程內在的幾何與代數結構、正交結構、消失條件來研究相應的非綫性相互作用，達到在自然臨界空間研究流體動力學方程的目的，《現代數學基礎叢書：Littlewood-Paley理論及其在流體動力學方程中的應用》可供理工科大學數學係、應用數學係的高年級本科生、研究生、教師以及相關的科學工作者閱讀參考。

內頁插圖

目錄

前言/序言

　　Littlewood-Paley理論最重要的作用之一就是頻率空間的局部化。眾所周知，Fourier變換將物理空間中的微分運算轉化成頻率空間中的代數運算，Littlewood-Paley分解將緩增分布形式地寫成在頻率空間意義下幾乎正交的光滑函數的和，從而實現在不同頻段上求導與微分運算的代數化。Littlewood-Paley理論在偏微分方程研究中的輝煌成就當屬Bony的仿積分解理論，它是Bony在研究雙麯型方程解的奇性傳播時引入的，經過Meyer等數學傢發展後廣泛地應用到偏微分方程的研究。隨著其他重要的分析工具，諸如：振蕩積分理論、Fourier限製性估計與Strichartz估計、Profiles分解與集中緊原理等方法的發展與使用，進一步突顯瞭Littlewood-Paley理論的框架性、普適性、靈活性等特徵，從而使這一理論逐步成為研究非綫性發展方程的基本工具。
　　本書的主旨就是Littlewood-Paley理論及其在各種流體動力學方程中的應用。Littlewood-Paley理論的基本思想就是頻率空間分析與局部化理論，其優勢包括幾個主要方麵：其一是微分算子或一般的Fourier乘子算子作用到Fourier變換具有環形支集（或球形支集）的分布上等價數乘運算（或被數乘估計控製）。其二是將函數或緩增分布分解成一係列在頻率空間上幾乎正交的光滑函數的和式，展示瞭內在的幾何與代數結構，以便給齣非綫性相互作用的精確分析。特彆地，Bony的仿積分解與仿綫性化技術為非綫性估計提供瞭強有力的武器。其三是Littlewood-Paley理論不僅給齣瞭一般可微函數空間（研究偏微分方程的載體）的完美刻畫，同時也提供瞭研究偏微分方程的基本工具。已有的關於輸運方程與擴散方程的研究框架基本上處於相互獨立的狀況，因此，它們各自的經典研究方式並不適用於對方。許多物理模型特彆是流體動力學問題中均涉及對流和擴散兩種現象，發展一種同時適應對流和擴散兩種現象的研究框架是很有意義的。它豐富瞭輸運擴散方程的研究，給齣瞭一個統一的框架與研究方法。與此同時，Fourier局部化方法不僅適用於不可壓模型，也可以應用到可壓的流體動力學問題。
　　第1章從頻率空間上的局部化齣發，通過經典Bernstein不等式與頻率空間上的單位分解定理，給齣齊次與非齊次型的Littlewood-Paley分解理論，在Littlewood-Paley理論的框架下，討論Besov空間理論，特彆是Besov空間的各種不同刻畫之間的等價關係等，作為Littlewood-Paley理論的重要組成部分，著重介紹Bony的仿積分解及仿綫性化技術。作為應用，著重討論瞭新型的Bernstein不等式，它是建立分數階耗散算子在局部化空間（如：Besov空間、分數階Sobolev空間等）正性估計的基礎，在研究分數階發展型方程中起著重要的作用。
　　第2章主要通過Fourier局部化方法建立輸運擴散方程的解在Besov空間框架下的一緻性估計。需要指齣的是，輸運項中的嚮量場可以不滿足不可壓條件，因此它不僅適閤於不可壓的流體動力學方程，同時可以應用到可壓的流體動力學問題。鑒於Besov空間、Triebel-Lizorkin空間的局部化特徵，我們討論瞭各種形式的局部化估計與交換子估計，另一方麵，充分利用輸運擴散方程的Lagrange形式，將對流項的估計轉化為平坦空間中的Laplace算子與非平坦空間中的Laplace算子所派生的交換子估計，因此可以通過二次微局部化的過程來處理含交換子型擾動項的熱傳導方程。
　　第3章首先在Besov空間的框架下，給齣d維空間不可壓Euler方程的Cauchy問題的局部適定性與Blow-up準則。作為Beale-Kato-Majda準則特例，就直接推齣二維不可壓Euler方程Cauchy問題光滑解的整體適定性，其次，通過建立Vishik的“衰減型正交性”及log-型估計，證明二維不可壓Euler方程的Cauchy問題在臨界空間中的整體適定性。3.3節詳細討論具有軸對稱無鏇的三維不可壓Euler方程，利用其特殊的幾何結構、渦度場不同分解的“衰減正交性”等證明瞭具有軸對稱無鏇的三維不可壓Euler方程的Cauchy問題在臨界與次臨界空間中的整體適定性。最後，還詳細研究二維不可壓Navier-Stokes方程在Besov空間Bp1中的無黏性極限問題，其中p≥2的情形源於Hmidi-Keraani〔HK3〕，p〈2的情形是本書中首次給齣。
　　第4章集中討論具部分黏性的二維Boussinesq方程的Cauchy問題的整體適定性。4.1節主要基於用能量估計與log-型不等式，建立具部分黏性的二維Boussinesq方程的Cauchy問題光滑解的整體適定性。4.2節利用Fourier局部化方法及相應的輸運擴散方程在Besov型空間中的正則性估計、頻譜層次上的正則性估計等，在臨界空間中建立具部分黏性的二維Boussinesq方程的Cauchy問題的整體適定性。4.3節利用Boussinesq方程組自身的耦閤結構與對稱化的理念，在適當的條件下，證明瞭具有軸對稱初值的三維Boussinesq方程的Cauchy問題的整體適定性。
　　第5章著力於臨界Quasi-Geostrophic方程。5.1節給齣瞭在臨界空間的局部適定性與Blow-up機製，同時還介紹瞭這一方程的研究曆史。5.2節主要介紹Kiselev-Nazarov-Volberg的連續模方法，它主要基於如下重要觀察：奇異積分算子雖然不能保持連續模，但它對連續模的破壞也不大。5.3節主要討論Caffarelli-Vasseur方法，這是一個普適性的方法，基本思想是采用調和擴張及DeGiorgi-Nash-Moser迭代技術建立Leray-Hopf弱解的正則性。
　　第6章主要介紹作者采用Littlewood-Paley理論研究可壓縮Navier-Stokes方程的一個結果，這是一個新的嘗試。首先給齣瞭一個綫性化的雙麯拋物耦閤係統的基本解，通過Fourier局部化方法，分析此係統在不同的頻率空間中錶現的不同效應，從而引入瞭適閤高低頻演化的Hybrid-Besov空間這一新的框架。為瞭剋服高頻時對流項作為擾動項帶來的關於密度的導數損失，引入瞭頻譜層次上的Lagrange坐標，從而得到瞭具有高振蕩初值（即某種意義上的大初值）的整體適定性。
　　最後，在附錄中給齣瞭經典的不可壓Navier-Stokes方程的研究進展，以方便讀者參考使用。內容涉及Leray-Hopf弱解、光滑解的局部適定性、Kato的雙模方法、時空正則性與單模方法、Lp-方法及無條件唯一性等，主要取材於文獻〔Chem3〕，〔Cal〕，〔Lem1〕及〔MiZ〕。
　　本書的初稿始於在北京大學國際數學中心、香港中文大學數學研究所、北京應用物理與計算數學研究所等講座與課程的講稿，後經認真修改、增刪而成，在本書形成過程中，得到瞭田剛院士、辛周平教授的大力支持，作者深錶感謝，本書的部分內容與張恭慶院士、洪傢興院士、陸善鎮教授進行瞭交流，得到瞭鼓勵與支持，在此錶示由衷的感謝。作者感謝周毓麟院士、郭柏靈院士等長期的指導與幫助，以及對本書提齣的許許多多的建設性意見。
　　最後，作者還要感謝年輕同事與學生：陳瓊蕾副研究員、徐桂香副研究員、原保全教授、苑佳博士、吳剛博士、張軍勇博士及博士生薛留堂、鄭孝信、程星、鄭繼強、夏素霞、張謙、徐夫義、楊建偉、王大衛、路靜等，他們為本書的校對做瞭許多有益的工作。
　　本書得到國傢科學技術學術著作齣版基金、國傢傑齣青年基金、國傢自然科學基金、北京應用物理與計算數學研究所“學習、創造、提高”活動的資助。
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