共形几何的若干问题 下载 mobi epub pdf 电子书 2024

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内容简介

微分算子，通常讨论的是非线性偏微分方程。除了在微分几何方面的重要性之外，共形几何在理论物理，超弦理论方面也有重要应用。由于其变分泛函不满足紧性条件，通常的变分方法不再适用，而为了获得紧性条件，必须考虑所研究几何对象的几何结构、拓扑结构等等，在知识上涉及面广泛，在方法上技巧高超，是艰深而又有趣的。

目录

部分Ⅰ 背景材料
第一章 黎曼几何要略
第一节 微分流形
一、拓扑流形微分流形
二、切空间与余切空间
三、张量场与外微分式
四、外微分式的积分
第二节 Riemann流形
一、Riemann度量
二、仿射联络
三、Levi-Civita联络
四、流形上的微分算子
第三节 曲率
一、曲率张量
二、Ricci曲率数量曲率
第四节 指数映射
一、平移
二、指数映射
三、测地法坐标系
四、Jacolbi场
第五节 共形不变张量
一、Weyl张量
二、Schouten张量Cotten张量
三、共形度量
四、Weyl张量的共形不变性
五、局部共形平坦
第二章 索伯列夫空间
第一节 Lebesgue积分
一、流形上的Lebesgue积分
二、空间Lp(M)
三、Lorentz空间Lp，q(M)
第二节 Sobolev空间及相关不等式
一、Sobolev嵌入定理
二、最佳Sobolev不等式
三、直交性Aubin不等式
四、Moser-Aubin不等式

部分Ⅱ 共形数量曲率的分析方法
第三章 共形度量的数量曲率
第一节 经典Yamabe问题
一、历史上的Yamabe问题
二、Aubin定理BN.模型
三、Schoen定理
四、Yamabe方程解的集合
五、Aubin定理的影响
第二节 设定共形数量曲率
一、存在性与Euler示性数
二、存在性与Yamabe不变量
三、Brezis-Kato正则化
第三节 Yamabe流
一、Yamabe流
二、Sn上的Yamabe流
三、指数收敛
四、关于Yamabe不变量
第四章 对称性与NIR.问题
第一节 Nirenberg问题
一、问题
二、Kazdan-Warner恒等式
第二节 分析方法
一、非线性Fredholm型定理
二、具对称性的问题
第三节 Aubin不等式的另一种形式
一、Chang-Yang的结论
二、用次临界逼近
三、不等式的建立

部分Ⅲ Nirenberg问题的拓扑方法
第五章 代数拓扑方法
第一节 Bahri-Coron定理
一、变分问题
二、Rn上的Bahri-Coron模型
第二节 (P.S.)序列的行为
一、Struwe-Bahri-Coron引理
二、用粒子逼近及余项
三、导算子在粒子上的作用
第三节 梯度流及其走向
一、梯度流
二、从W(p，?)(p≥2)出发的下降流
三、从W(1，?)出发的下降流
四、构建形变引理
第四节 拓扑论证
一、代数拓扑准备
二、拓扑论证
第五节 积分估计补充
一、粒子与余项间的作用
二、粒子间的相互作用
三、J(u)的展开式
第六章 拓扑度方法
第一节 张一杨摄动定理
一、张-杨映射
二、张-杨摄动定理
三、指标记数条件与拓扑度条件
第二节 共形参数解
一、带Lagrange乘数的共形解
二、Qp(u)的一阶与二阶导数
三、极小解的唯一性与连续性
第三节 G(P，t)的渐近性质
一、拓扑度相等的映射
二、极值函数的存在性
三、摄动条件下的积分估计
第四节 G的渐近展式及其它
一、其它结论
二、庥成?
第七章 低维Nirenberg问题
第一节 解的上下界
一、共形参数解
二、(?-*)条件
第二节 逐点估计
一、迹零Ricci张量
二、拉回映射
三、逐点估计
第三节 整体拓扑度
一、摄动常数量曲率
二、拓扑度的计算
第四节 二维情形的结论
一、Chang-Gursky-Yang定理
二、张恭庆刘嘉荃定理

部分Ⅳ 高阶共形曲率
第八章 高阶共形曲率
第一节 Q曲率及相关问题
一、Paneitz算子
二、Q-Yamabe问题
三、一个极小极大方案
第二节 k-Yamabe问题
一、髃-曲率
二、髃-Yamabe问题
三、变分法
四、Kazdan-Wamer型恒等式
附录A 变分原理
一、泛函三定理及收敛
二、映射的微分
三、极值问题
四、形变引理
附录B 拓扑度理论
一、Brouwer度
二、Leray-Scshauder度
附录C 凝聚紧性原理
一、P.-L.ions引理
二、Sobolev函数列
三、Struwe-Bahri型引理
附录D Sn上的Laplace算子
一、球极投影
二、特征值与特征函数
三、球面调和函数
参考文献
符号索引
内容索引
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