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齣版社： Cambridge University Press

ISBN：9780521534291

商品編碼：1039959646

  詳情信息：

  Product Details 基本信息

ISBN-13 書號:9780521534291

Author 作者:Fokas, Athanssios S.

齣版社:Cambridge University Press

Publication Date 齣版日期:2003-04-28

Product Dimensions 商品尺寸:90.8x60.8x14.4cm

Shipping Weight 商品重量:0.196kg

Shipping Weight Language 語種:English

pages 頁數:647

《數學分析：核心概念與應用》 作者： [此處填寫作者姓名] 齣版社： [此處填寫齣版社名稱] ISBN： [此處填寫ISBN] 圖書定價： [此處填寫定價] --- 內容簡介 《數學分析：核心概念與應用》旨在為學習者提供一個紮實、深入且富有啓發性的數學分析基礎。本書嚴格遵循嚴謹的數學邏輯，同時注重概念的直觀理解和實際應用，力求在理論的深度與教學的廣度之間找到完美的平衡點。本書麵嚮高等院校數學、物理、工程學以及相關交叉學科的學生和研究人員，是理解微積分後續高級主題的基石。 全書共分為十二章，結構清晰，層層遞進。從最基礎的實數係統和序列、級數收斂性的嚴格定義齣發，逐步過渡到函數空間、連續性、微分和積分理論，最終觸及勒貝剋積分的初步思想。 第一部分：基礎構建與極限理論 第一章：實數係統與拓撲基礎 本章詳盡地迴顧瞭實數係統的完備性公理，這是所有後續分析學理論的邏輯起點。我們深入探討瞭 $mathbb{R}$ 上的基本拓撲概念，包括開集、閉集、緊集（Heine-Borel定理的詳細證明及其意義）和可數集的概念。重點強調瞭極限點的定義及其在序列收斂中的決定性作用，為後續的連續性與一緻收斂奠定堅實的集閤論基礎。 第二章：序列與級數 本章的核心在於對極限過程的嚴格處理。我們詳細分析瞭有界閉集上的函數序列的收斂性問題。單調有界定理、Cauchy收斂準則被作為基本工具進行闡述。在級數部分，我們不僅復習瞭傳統判彆法（比值檢驗、根值檢驗），更引入瞭更強大的收斂性工具，如Abel引理和Dirichlet判彆法。特彆地，我們對絕對收斂與條件收斂進行瞭深入辨析，並通過Riemann重排定理展示瞭條件收斂的微妙特性。 第三章：函數序列與函數項級數 本章標誌著分析學從對數值序列的分析轉嚮對函數空間的分析。我們詳細區分瞭逐點收斂和一緻收斂的本質區彆。一緻收斂的判定標準（如Weierstrass M檢驗法）被用來證明連續函數序列的極限仍保持連續性，而逐點極限則不然。本章的重點是通過實例展示一緻性在保持微分、積分等運算連續性方麵的關鍵作用。 第二部分：連續性、微分與泰勒理論 第四章：連續函數 連續性的定義被提升到拓撲層麵，使用 $epsilon-delta$ 語言進行精確描述。本章深入研究瞭連續函數的性質：有界性、最值定理和介值定理。對於緊集上的連續函數，我們給齣瞭其性質的完整描述。此外，還引入瞭一緻連續性的概念，並證明瞭在緊區間上連續函數必然一緻連續的定理。 第五章：導數與微分 本章聚焦於函數變化率的精確描述。導數的定義嚴格建立在極限之上。我們詳細討論瞭微分的代數性質，並給齣瞭高階導數的定義。中值定理（Rolle定理、均值定理）的證明被置於核心地位，因為它們是後續積分理論和級數展開的基礎。我們對費馬定理、柯西中值定理進行瞭詳盡的推導。 第六章：導數的應用與泰勒定理 本章利用導數的工具解決實際問題。我們分析瞭函數的單調性、極值點和凹凸性，並使用二階導數來確定拐點。本章的高潮是泰勒定理及其各種形式（包括Lagrange餘項和Cauchy餘項），這為將復雜函數近似錶示為多項式提供瞭精確的框架。我們詳細討論瞭冪級數（如指數函數、三角函數）的收斂區間與精確錶示。 第三部分：黎曼積分理論的構建 第七章：黎曼可積性 本章是傳統微積分與現代分析學的橋梁。我們引入瞭上和、下和的概念，並明確定義瞭黎曼可積性。對可積函數的特徵性描述（即黎曼可積當且僅當不連續點集的勒貝格測度為零）將作為本章的關鍵結論。我們分析瞭連續函數、單調函數的可積性，並討論瞭不連續函數（如Dirichlet函數）的不可積性。 第八章：積分的性質與微積分基本定理 本章闡述瞭定積分的綫性性、保序性以及對區間的可加性。核心內容是微積分基本定理的兩個部分，我們對其進行瞭嚴謹的證明，闡明瞭微分與積分之間的對偶關係。此外，本章還引入瞭廣義黎曼積分（Improper Integrals），並給齣瞭其收斂性的判彆準則。 第九章：黎曼積分的收斂性 本章關注函數序列的積分與極限的交換問題。我們探討瞭在何種條件下可以將極限符號和積分符號進行交換。對於一緻收斂的函數序列，我們證明瞭可以交換（逐點收斂下則不一定）。本章為下一部分過渡到更強大的積分理論（勒貝剋積分）埋下伏筆，解釋瞭黎曼積分的局限性。 第四部分：多元微積分與初步分析 第十章：多變量函數與偏導數 本章將一元分析的概念擴展到高維空間。我們定義瞭多變量函數的極限、連續性以及偏導數。對可微性的討論精確區分瞭其與偏可微性的區彆。我們詳細推導瞭鏈式法則在高維空間中的形式，並引入瞭梯度、散度和鏇度的概念，為後續的嚮量分析做準備。 第十一章：多元函數的極值與條件極值 本章利用Hessian矩陣來判彆多元函數的局部極值點，並詳細分析瞭二階偏導數在極值判斷中的作用。核心內容是拉格朗日乘數法，該方法被用於解決帶約束條件的優化問題。我們通過幾何直觀和代數推導，清晰展示瞭乘數法背後的原理。 第十二章：積分的推廣與勒貝格積分的展望 作為對傳統分析的補充和展望，本章簡要介紹瞭重積分（二重積分和三重積分）的定義、計算方法（Fubini定理）以及坐標變換（如極坐標、柱麵坐標、球麵坐標）的應用。最後，本章引入瞭勒貝格測度和勒貝格積分的基本思想，簡要闡述瞭為何勒貝格積分在處理更廣泛的函數類和極限交換問題時更具優勢，為讀者未來深入學習泛函分析和測度論指明方嚮。 --- 本書特色 1. 嚴謹性與直觀性的結閤： 所有核心定理均提供完整、細緻的證明，同時配有豐富的圖形和物理/幾何例子來幫助讀者建立直觀理解。 2. 強調概念辨析： 對一緻收斂與逐點收斂、可微性與偏可微性、絕對收斂與條件收斂等關鍵概念進行瞭深入的對比和剖析。 3. 豐富的習題集： 每章末尾附有不同難度層次的習題，包括概念驗證題、計算題和理論推導題，以鞏固學習效果。 4. 現代視角： 盡管以經典分析為核心，但章節編排中融入瞭拓撲和測度論的初步思想，確保讀者接觸到當代數學分析的視野。

評分☆☆☆☆☆

我嘗試用它來輔助解決一些涉及到拉普拉斯方程邊值問題的應用題時，發現它提供的理論支撐非常給力。書中的最後部分關於留數定理的應用實例，選取的案例非常具有代錶性，涵蓋瞭從物理學中的勢流到工程中的傅裏葉級數求和等多個方麵。這些實例的推導過程詳略得當，既展示瞭最終結果的美妙，也清晰地勾勒齣瞭從原問題到復平麵分析再迴歸實際問題的完整路徑。與其他隻停留在純數學證明的著作相比，這本書的應用導嚮性極強，它讓人清晰地認識到，復變函數不僅僅是數學理論本身，更是解決許多實際科學問題的強有力工具。因此，對於那些希望將理論知識轉化為解決實際問題能力的讀者來說，這本書的價值無可替代。

評分☆☆☆☆☆

打開內頁，第一個映入眼簾的是排版。不得不說，作者和齣版社在版式設計上花瞭不少心思。公式的編號清晰明瞭，即使是長串的積分或復雜的柯西-黎曼方程，也能保持極高的可讀性，這一點對於處理復變函數這種對符號要求極高的學科來說至關重要。圖錶的繪製也相當精細，特彆是那些用於說明共形映射和黎曼麵的插圖，綫條流暢，標注準確，極大地輔助瞭抽象概念的理解。我尤其欣賞它在正文穿插的那些小注釋，它們並非簡單的腳注，而是對某個定理曆史背景的簡短迴顧，或是對某個概念在不同數學分支中應用的側重分析，這種細微之處的打磨，讓閱讀過程不再枯燥，更像是一場知識的探索之旅，而不是簡單的信息輸入。

評分☆☆☆☆☆

這本書的封麵設計著實吸引人，那種帶著年代感的深藍色配上燙金的字體，讓人立刻聯想到那些經典的老教材，沉甸甸的，仿佛裏麵藏著數學的深邃智慧。我拿到手的時候，首先注意到的是它的紙張質量，那種略帶粗糙卻又不失質感的紙張，握在手裏有一種踏實的觸感，這對於需要長時間閱讀和翻閱的數學書籍來說，無疑是一個巨大的加分項。裝幀也十分講究，即使是平裝本，也感覺非常牢固，不用擔心翻開太多次就會散架。整體上，這本書的外觀傳遞齣一種嚴謹而又不失優雅的學術氣息，讓人充滿期待，想要立刻沉浸到那些復雜的變量世界中去探索一番。它給我的第一印象是，這是一本為真正想要深入研究而不是僅僅應付考試的讀者準備的“硬通貨”。

評分☆☆☆☆☆

在對柯西積分定理及其推論的闡述部分，這本書的處理顯得尤為獨到和深刻。很多教材隻是將這個定理當作一個工具來使用，但本書卻花瞭大篇幅探討瞭其拓撲學基礎，清晰地解釋瞭“單連通區域”在復積分中的核心作用。作者並沒有迴避那些復雜的拓撲學名詞，而是用非常清晰的語言將它們與復變函數自身的性質緊密聯係起來，比如如何通過修改路徑來解決路徑依賴問題。我特彆喜歡其中一個證明，它巧妙地結閤瞭實分析中的均勻收斂性，將高深的復變函數理論和讀者可能已經掌握的實分析知識點進行瞭完美的嫁接，這種跨學科的視野，讓整個證明的邏輯鏈條顯得異常堅固且易於把握，真正體現瞭數學思想的統一性。

評分☆☆☆☆☆

內容的前幾章主要集中在復數的幾何意義和解析函數的初步概念上。作者的處理方式非常“慢熱”且紮實。他沒有急於拋齣那些令人望而生畏的定理，而是花瞭大量的篇幅來建立直觀的幾何模型。例如，在介紹嚮量場鏇轉和麵積微元變化時，作者使用瞭非常生動的類比，這對於我這種偏嚮幾何直覺的讀者來說，幫助太大瞭。相比一些上來就用高維綫性代數語言定義復數的教材，這本書的引入更像是循序漸進的引導，它讓你先“感覺”到復分析的必要性，然後再係統地構建起嚴密的理論框架。這種“先體驗，後證明”的教學思路，極大地降低瞭初學者的入門門檻，讓人感覺自己是主動在學習，而不是被動地接受灌輸。