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周治国 编

图书标签:

• 组合数学
• 离散数学
• 数学建模
• 算法
• 图论
• 排列组合
• 计数原理
• 数学分析
• 高等数学
• 应用数学

出版社： 哈尔滨工业大学出版社

ISBN：9787560332888

版次：1

商品编码：10978150

包装：平装

丛书名： ACM-ICPC程序设计系列

开本：16开

出版时间：2012-03-01

页数：200

正文语种：中文

编辑推荐

《组合数学及应用》结合一些ACM-ICPC竞赛的经典试题，以程序设计思想和方法为主线，介绍了ACM-ICPC中所需要的组合数学基础知识和基本理论，重点地、系统地介绍和ACM-ICPC竞赛密切相关的概念、定理以及算法。

内容简介

《组合数学及应用》属于ACM-ICPC程序设计竞赛数学基础丛书。《组合数学及应用》以程序设计思想和方法为主线，由浅入深地介绍组合数学的基础知识，并以经典的ACM-ICPC竞赛题目为例讲解组合数学在竞赛中的具体应用问题。
全书共分6章，分别介绍了排列组合、母函数、容斥原理与鸽巢原理、群和Polya定理、组合计数与编码、线性规划的基本知识及其应用。
《组合数学及应用》既可以作为组合数学的人门教程，也可作为参加ACM-ICPC程序设计竞赛的培训教材，还可供ACM-ICPC程序设计竞赛培训教师或相关专业研究人员参考。

目录

第1章 排列组合
1.1 排列与组合
1.2 两个基本计数原理
1.2.1 加法原理
1.2.2 乘法原理
1.3 特殊排列组合
1.3.1 重复排列
1.3.2 重复组合
1.3.3 不全相异的全排列
1.3.4 圆周排列
1.4 排列的生成算法
1.4.1 序数法
1.4.2 字典序法
1.4.3 邻位互换法
1.5 组合的生成
1.6 练习题

第2章 母函数
2.1 普通母函数
2.2 整数的拆分
2.3 Ferrers图像
2.4 指数型母函数
2.5 递推关系
2.6 斐波那契数列
2.7 Stirling数
2.8 Catalan数
2.9 练习题

第3章 容斥原理与鸽巢原理
3.1 容斥原理
3.1.1 De Morgan定理
3.1.2 容斥原理的定义
3.2 容斥原理的应用
3.2.1 错排问题
3.2.2 棋盘多项式与有禁区的排列
3.3 Mobius反演定理
3.4 鸽巢原理
3.5 Ramsey数
3.5.1 Ramsey问题
3.5.2 Ramsey数
3.6 应用实例
3.7 练习题

第4章 群和Polya定理
4.1 等价关系、群与置换群
4.1.1 等价关系
4.1.2 群和置换群
4.2 循环与对换
4.3 Burnside引理
4.3.1 共扼类
4.3.2 k不动置换类和等价类
4.3.3 Burnside引理
4.4 Polya定理
4.5 Polya定理应用举例
4.6 练习题

第5章 组合计数与编码
5.1 均衡不完全区组设计
5.1.1 均衡不完全区组设计
5.1.2 基本性质
5.1.3 由对称BIBD构造BIBD
5.2 拉丁方
5.2.1 拉丁方的定义
5.2.2 拉丁方的构造
5.2.3 正交拉丁方
5.3 Hadamard矩阵
5.3.1 Hadamard矩阵
5.3.2 由Hadamard矩阵构造SBIBD （4t-1 ,2t-1,t-1)
5.4 编码理论基础
5.4.1 基本概念
5.4.2 Hamming码
5.5 应用实例
5.6 练习题

第6章 线性规划
6.1 线性规划问题及其表示
6.1.1 线性规划问题
6.1.2 线性规划问题的一般形式
6.1.3 线性规划问题的标准形式
6.1.4 一般形式向标准形式的转化
6.2 单纯性算法
6.2.1 松弛变量技术
6.2.2 线性规划定理
6.2.3 单纯性算法
6.2.4 特殊情况的处理
6.2.5 算法流程
6.2.6 算法实现
6.3 练习题
附录：参考程序
参考文献

前言/序言

组合数学及应用：导读与探寻 本书聚焦于现代数学的基石之一——组合学，并深入探讨其在各个领域的广泛应用。本书旨在为读者提供一个全面、深入且富有洞察力的学习体验，不仅传授核心的计数原理、图论基础和组合设计，更强调如何利用这些工具解决现实世界中的复杂问题。 第一部分：计数世界的基石——组合数学的原理与方法 本书的开篇将读者引入组合数学的宏大殿堂，从最基本的计数原理出发，逐步构建起解决复杂排列组合问题的理论框架。 第一章：基础计数原理的精妙 本章详细阐述了加法原理、乘法原理的直观理解与严谨应用。我们不仅讨论简单的排列与组合公式，更着重于“捆绑法”、“插空法”等高级技巧，用以处理包含限制条件或重复元素的计数问题。例如，如何精确计算一个特定长度的密码中，至少包含一个数字和至少一个字母的不同组合方式。此外，容斥原理作为处理“或”关系的利器，将通过一系列经典的鸽巢原理（抽屉原理）的应用实例，展示其强大的穿透力，例如在网络路由延迟分析中的应用。 第二章：生成函数的魔力 生成函数被誉为组合数学的“微积分”。本章系统地介绍了普通生成函数（OGF）和指数生成函数（EGF）的构建方法、性质及其在解决递推关系中的核心作用。我们将展示如何利用生成函数来求解斐波那契数列、Catalan数以及Stirling数的显式公式，并探讨它们在概率论中对独立随机变量之和分布的描述能力。内容深入到利用其在母函数理论中对特定组合结构进行编码。 第三章：递归关系的深入剖析 递推关系是描述系统动态演化的核心语言。本章将分类讨论线性常系数齐次与非齐次递推关系，并教授如何利用特征方程法、母函数法求解这些关系。重点关注如何将实际问题（如资源分配、棋盘覆盖问题）准确地转化为数学上的递归模型，并进行有效的求解和验证。对于非线性递推关系，则会引入近似解法和迭代分析。 第四章：恒等式与证明艺术 组合恒等式是连接不同计数公式的桥梁。本章集中探讨几种重要的组合恒等式，如著名的Vandermonde恒等式。更重要的是，本章将全面介绍组合证明的艺术，包括直接计数法、双边计数法（双黑天鹅定理）以及消极归纳法。通过对这些证明方法的细致剖析，培养读者从不同角度审视和验证数学结论的能力。 第二部分：结构之美——图论的广阔视野 图论是组合数学中研究离散结构关系最重要分支。本书将图论的基础概念提升至理论研究和实际建模的高度。 第五章：图论基础与连通性分析 本章从图的定义、表示方法（邻接矩阵、关联矩阵）入手，详细阐述了子图、路径、回路、连通性等基本概念。我们将深入探讨欧拉图、哈密顿图的判定定理及其在交通网络、物流路径优化中的应用。对树（Tree）的结构特性，如生成树的计数（利用Kirchhoff矩阵树定理），将给予重点的讲解。 第六章：图的着色与匹配理论 图的着色问题是组合优化中的经典难题。本章介绍图着色多项式及其应用，探讨四色定理的历史背景和现代意义。在匹配理论方面，本书详细阐述了二分图的最大匹配（Hopcroft–Karp算法）和一般图的最大匹配（Edmonds' Blossom 算法的原理概述）。这些内容直接关联到任务分配和资源调度等实际问题。 第七章：图的流与网络优化 网络流理论是图论在运筹学中最直接的体现。本章系统介绍最大流最小割定理、Ford-Fulkerson算法及其高效实现（如Dinic算法）。我们会通过讲解如何将运输问题、最小成本流问题转化为标准的网络流模型，展示其在供应链管理和数据传输中的决定性作用。 第三部分：设计的智慧——组合设计与编码理论的交汇 本部分将组合学的理论应用于构建高效、平衡的系统结构。 第八章：有限域与平衡不完全区组设计（BIBD） 本章将组合设计理论与代数基础相结合。在介绍有限域（伽罗瓦域）的基本运算后，我们将重点研究平衡不完全区组设计（BIBD）的存在性条件和构造方法，例如Kirkman的“十五行人问题”。这些设计在农业试验、统计抽样和试验设计中具有无可替代的价值。 第九章：正交阵列与实验设计 正交阵列（Orthogonal Arrays）是处理多因素实验的强大工具。本书解释了正交阵列的定义、特性，以及如何利用它们在最少的实验次数下，有效地评估多个因子对实验结果的影响。我们将通过工业质量控制和工程优化案例，说明如何利用正交性原理减少冗余试验。 第十章：组合与编码理论的桥梁 本章探讨组合数学在信息论中的前沿应用。我们将介绍分组码的基础概念，包括汉明距、校验和的构建。重点讲解费诺平面与线性码（如Hamming码）的构造，展示如何利用组合结构来设计具有纠错能力的信道编码方案，确保数据在传输过程中的可靠性。 第四部分：应用前沿与计算挑战 第十一章：组合优化与NP完全性 本章将组合数学的建模能力推向优化领域。我们介绍经典的组合优化问题，如旅行商问题（TSP）、背包问题和最大割问题。重点讨论P类与NP类的区别，对NP完全性问题进行深入的剖析，并介绍近似算法和启发式算法（如模拟退火法）在处理不可行精确求解问题时的策略。 第十二章：离散概率与随机组合模型 本书的最后一部分将组合学的计数能力与概率论相结合。我们探讨随机图（Erdos-Rényi模型）的性质，分析大数定律和中心极限定理在随机组合结构中的体现。重点分析组合随机过程，如随机搜索算法的效率分析和随机排列的逆序数分布等，为读者理解现代复杂系统的随机行为打下坚实基础。 总结： 本书不仅是一本理论教材，更是一本解决问题的工具箱。通过严谨的数学推导和丰富的工程实例，读者将掌握从微观的计数技巧到宏观的系统设计，运用组合数学的智慧，有效应对当代科学、工程、管理等领域中的复杂挑战。

评分☆☆☆☆☆

当我第一眼看到这本书的时候，它的标题就引起了我的好奇心。虽然我并不是数学专业的背景，但我一直对事物之间奇妙的“组合”关系充满了兴趣。生活中有太多的事情，看起来是随机发生的，但背后却可能隐藏着某种规律性的组合。比如，如何最优地安排旅行路线，如何在有限的空间内摆放最多的物品，甚至是如何组建一个高效的团队。我希望这本书能够用通俗易懂的语言，解释清楚组合数学的基本原理，并且通过一些贴近生活的例子，让我明白这些看似高深的理论，实际上是如何指导我们解决现实生活中的问题的。我不想看到那些晦涩难懂的公式和证明，而是希望能够从中获得一些启发，理解事物运作的内在逻辑，并且能够运用这些知识去解决一些实际的困惑。

评分☆☆☆☆☆

这本书的出版，对于我这样一名在教育领域工作的教师来说，无疑是一个福音。我一直在思考如何将抽象的数学概念以更加生动有趣的方式呈现给我的学生们，尤其是在推广数学思维和培养逻辑能力方面。组合数学，尤其是其在解决实际问题中的应用，常常能激发学生的学习兴趣。我希望这本书能够提供丰富的教学案例，比如如何利用组合的原理来解决一些简单的趣味问题，或者如何通过排列组合来理解概率的计算。另外，我也非常关心书中是否有关于如何设计组合数学相关的课程内容或者习题集。一个好的教材，不仅要内容充实，更要易于教师理解和应用，能够真正地帮助学生建立起对数学的信心和兴趣。我很期待这本书能够成为我教学上的得力助手，帮助我将组合数学的魅力带给更多的学生。

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计就吸引了我。它采用了深邃的蓝色背景，上面点缀着一些抽象的几何图形，好像是星辰大海的缩影，又像是某种复杂的数学结构。书名“组合数学及应用”用一种简洁但很有力量的字体印刷，给人一种严谨而又充满探索感的印象。我是一名对抽象思维和逻辑推理颇感兴趣的业余爱好者，平时也喜欢阅读一些科普读物，而这本书的装帧风格恰好触动了我对知识的向往。收到书的那一刻，我迫不及待地翻开，虽然还没深入阅读，但那种期待感已经油然而生。我希望这本书能像它封面所展现的那样，带我进入一个充满逻辑美和奇妙联系的数学世界，让我能够领略到组合数学的魅力，并对它在现实生活中的应用有更深入的理解。我期待着书中能够有清晰的讲解、生动的例子，让我这个非专业人士也能逐步领悟那些看似高深的理论。

评分☆☆☆☆☆

作为一名在校的计算机科学专业的学生，我一直在寻找能够拓展我知识边界的辅助读物。这次有幸接触到这本书，虽然我还没有来得及仔细研读，但从目录和扉页的介绍来看，它似乎涵盖了许多我感兴趣的领域。我一直觉得，在计算机科学中，算法的设计、数据结构的优化，乃至许多问题的求解，都与组合数学有着千丝万缕的联系。例如，图论中的路径查找、排列组合在程序计数中的应用，还有概率在算法分析中的作用，都让我觉得组合数学是一个非常重要的理论基础。我希望这本书能够帮助我更系统地梳理这些知识点，提供一些更深入的视角和更严谨的证明。如果书中能有相关的算法示例或者编程实现的讨论，那对我来说将是莫大的帮助。我对这本书寄予厚望，希望能它能成为我学习道路上的一块坚实的垫脚石。

评分☆☆☆☆☆

这本书的外观设计给我一种现代感和专业感。它没有花哨的装饰，而是以一种沉稳的风格展现。我一直在关注科技发展的趋势，尤其是在人工智能、大数据等领域，我深知组合数学的重要性。很多算法的效率、很多模型的建立，都离不开对组合问题的分析。例如，在机器学习中，特征的选择和组合，就是典型的组合问题；在网络优化中，路径的寻找和计算，也离不开组合数学的工具。我希望这本书能够深入探讨组合数学在这些前沿科技领域的具体应用，提供一些具有实际指导意义的分析方法和理论框架。我期待书中能够包含一些最新的研究成果和技术进展，让我能够对这些领域有更深刻的认识，并且了解组合数学是如何推动这些领域不断进步的。

评分☆☆☆☆☆

一般

评分☆☆☆☆☆

很喜欢:..林徽因1.林徽因等，他的每一本书几本上都有，这本双语译林世纪才女诗文锦集很不错，你是一树一树的花开，是燕在粱问呢喃。——你是爱，是暖是诗的一篇。你是人间的四月天120世纪初的中国文坛群星闪烁，众多女性的加入更是增添了这一光芒，苏雪林，庐隐，石评梅，冰心，林徽因，陆小曼，萧红，丁玲她们反抗封建礼教，挣脱时代的束缚，她们追求自由，追求爱情，追求思想，追求生活，她们一身诗意，满腔热血，她们是那个时代的一道不可不看的风景。双语译林世纪才女诗文锦集选辑了林徽因、苏雪林、陆小曼等八位20世纪中国女作家的经典诗文，英汉对照。选文或热情奔放，或轻柔感伤，代表了不同女作家的独特风格。世纪才女诗文锦集中的每篇译文之后附有详细解析，阅读鉴赏之余亦能体验译事之妙，感受两种语言转换的乐趣。那天船到码头，他真的是简单得很，只带了一位秘书叫，是一个年轻小伙子，我们只好把他领到旅馆里去开了一个房间，因为那间印度式房间只可以住一个人。谁知这位老诗人对我们费了许多时间准备的房子倒并不喜欢，反而对我们的卧室有了好感。他说我爱这间饶有东方风味、古色古香的房间，让我睡在这一间罢！真有趣！他是那样地自然、和蔼，一片慈爱地抚着我的头管我叫小孩子。他对我特别有好感，我也觉得他那一头长长的白发拂在两边，一对大眼睛晶光闪闪的含着无限的热忱对我看着，真使我感到一种说不出的温暖。。他的声音又是那样好听，英语讲得婉转流利，我们三人常常谈到深夜不忍分开。虽然我们相聚了只有短短两三天，可是在这个时间，我听到了许多不易听到的东西，尤其是对英语的进步是不可以计算了。他的生活很简单，睡得晚，起得早，不愿出去玩，爱坐下清谈，有时同志摩谈起诗来，可以谈几个钟头。他还常常把他的诗篇读给我听，那一种音调，虽不是朗诵，可是那低声的喃喃吟唱，更是动人，听得你好像连自己的人都走进了他的诗里边去了，可以忘记一切，忘记世界上还有我。那一种情景，真使人难以忘怀，至今想起还有些儿神往，比两个爱人喁喁情话的味儿还要好多呢！’在这几天中，志摩同我的全副精神都融化在他一个人身上了。这也是我们婚后最快活的几天。泰戈尔对待我俩像自己的儿女一样地宠爱。有一次，他带我们去赴一个他们同乡人请他的晚餐，都是印度人。他介绍我们给他的乡亲们，却说是他的儿子媳妇，真有意思！在这点上可以看出他对志摩是多么喜爱。说到这儿，我又想起一件事不妨提一提，就是在一九四九年，我接到一封信，是泰戈尔的孙子写来的，他管我叫，他在北大留学，研究中文，他说他寻了我许久，好不容易才寻到我的地方，他说他祖父已经死了，他要我给他几本志摩的诗、散文，他们的图书馆预备拿它翻译成印度文。可巧那时

评分☆☆☆☆☆

挺好的书，但是太简陋了

评分☆☆☆☆☆

参加信息学竞赛参考书，很好。

评分☆☆☆☆☆

不错，这套书真是值得！

评分☆☆☆☆☆

专门练习ACM的组合数学这块，我要好好学学

评分☆☆☆☆☆

专门练习ACM的组合数学这块，我要好好学学

评分☆☆☆☆☆

一般

评分☆☆☆☆☆

内容很多，，，让我这个菜鸟也能钻研一阵了。。