发表于2024-12-23
畅销著作《思考的乐趣》作者顾森最新力作 数学之趣与文字之美的完美融合 256道精选趣题带你畅游数学的海洋 让你在苦思冥想后产生恍然大悟的惊叹
《浴缸里的惊叹:256道让你恍然大悟的趣题》源自阿基米德的那句“Eureka”,是那种苦思冥想后恍然大悟的奇妙感觉。本书精选自作者顾森十余年来精心收集的数学趣题,广泛包含了几何、组合、行程、数字、概率、逻辑、博弈、策略等诸多类别。其中既有小学奥数当中的经典题目,又有世界级的著名难题。多数题目都很简单,基本不需要繁复的计算或者艰深的专业知识,只需动脑或动手就可以想出答案,但想出所有答案也不是那么容易,有利于激发读者进一步探索数学问题的兴趣。
作者顾森中文专业的背景在这本书中体现得淋漓尽致,本书完美地融合了数学之趣与文字之美,不仅能让数学爱好者耳目一新,也能让文科生们大开眼界。
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1 几何问题 8个两两接触的四面体以及其他26个与几何有关的问题
2 组合问题 哪种颜色的小方块更多以及其他22个与组合有关的问题
3 行程问题 在哪里系鞋带以及其他13个与行程有关的问题
4 时钟问题 有歧义的表盘以及其他7个与时钟有关的问题
5 数字问题 1+2+3=1×2×3以及其他19个与数字有关的问题
6 序列问题 2554563768以及其他13个与序列有关的问题
7 算账问题 谁支付了啤酒钱以及其他7个与算账有关的问题
8 概率问题 另类的俄罗斯轮盘赌以及其他14个与概率有关的问题
9 逻辑问题 蓝眼睛岛上的故事以及其他5个与逻辑有关的问题
10 博弈问题 违反直觉的旅客困境以及其他14个与博弈有关的问题
11 策略问题 最少需要多少通电话以及其他31个与策略有关的问题
12 语言问题 哪句话的结构不一样以及其他17个与语言有关的问题
13 情境问题 怎样安全到达地面以及其他25个与情境有关的问题
14 以及其他30个问题
谁支付了啤酒钱
据说,曾经在某一段时间里,美国和加拿大的货币汇率出了问题:把9美元带到加拿大去,可以换成10个加元;把9加元带到美国去,可以换成10个美元。于是,就出现了这么一个往返于美加边境的酒鬼:他用10美元在美国买了杯1美元的啤酒,把找回来的9个美元带到加拿大去,换成10加元;然后在加拿大又买了1加元的啤酒,把找回来的9个加元带到美国,再换成10美元……如此反复,他就可以不花一分钱,免费喝到无穷多的啤酒!问题出现了:究竟是谁支付了啤酒钱?
答案:他用自己的劳动支付了啤酒。他以一个贸易商的角色往返于两地之间,并把赚到的钱花在了啤酒上。不要老想着货币汇率的问题了,其实整个过程的实质很简单,就相当于他从美国买了很多特产带到加拿大去卖,再在加拿大买了很多特产带到美国去卖,如此反复并不断获利,再用赚来的钱买啤酒罢了。
另类的俄罗斯轮盘赌
俄罗斯轮盘赌是史上最酷的决斗方式之一。左轮手枪的转轮中有六个弹槽。在其中一个弹槽中放入一颗子弹,然后快速旋转转轮,再把它合上。参与决斗的两个人轮流对准自己的头部扣动扳机,直到其中一方死亡。这是一场真男人游戏,双方胜负的概率各占50%,游戏没有任何技巧可言,命运决定了一切。
为了让游戏更加刺激,这一回我们稍微改变一下游戏规则。在转轮的连续三个弹槽中放入子弹,然后旋转并合上转轮。这一次,你是打算先开枪还是后开枪呢?
你应该选择后开枪,因为后开枪的人幸存的概率更高。为了算出双方存活的概率,我们只需要考虑所有6种可能的子弹位置即可。不妨用字母B来表示有子弹的弹槽,用字母E来表示空的弹槽。我们便能列出下面这张表:
B B B E E E → 先开枪者死B B E E E B → 先开枪者死B E E E B B → 先开枪者死E E E B B B → 后开枪者死E E B B B E → 先开枪者死E B B B E E → 后开枪者死可见,先开枪者死亡的概率高达2/3,是后开枪者死亡概率的两倍。
可以算出,当转轮里位置相连的子弹数分别为1、2、3、4、5、6时,先开枪者死亡的概率分别为1/2、2/3、2/3、5/6、5/6、1。看来,并不是所有游戏都是先下手为强啊。
蓝眼睛岛上的故事
某座岛上有200个人,其中100个人的眼睛是蓝色的,另外100个人的眼睛是棕色的。所有人都不知道自己眼睛的颜色,也没法看到自己眼睛的颜色。他们可以通过观察别人的眼睛颜色,来推断自己的眼睛颜色;除此之外,他们之间不能有任何形式的交流。每天午夜都会有一艘渡船停在岛边,所有推出自己眼睛颜色的人都必须离开这座岛。所有人都是无限聪明的,只要他们能推出来的东西,他们一定能推出来。岛上的所有人都非常清楚地知道上面这些条件和规则。
有一天,一位大法师来到了岛上。他把岛上所有人都叫来,然后向所有人宣布了一个消息:岛上至少有一个人是蓝色的眼睛。
接下来的每一个午夜里,都会有哪些人离开这座岛?
答案:从第1个午夜到第99个午夜,没有任何人离开这座岛;到第100个午夜,所有100个蓝眼睛将会同时离开。
为什么?大家不妨先这样想:什么情况下第一天就会有人离开这座岛?很简单。假如岛上只有一个蓝眼睛,那么当他听说岛上至少有一个蓝眼睛之后,他就知道了自己一定就是那个蓝眼睛,因为他看到的其他所有人都是棕色的眼睛。因而,当天夜里他就会离开这座岛。好了,如果岛上只有两个蓝眼睛呢?他们在第一天都无法立即推出自己是蓝眼睛,但在第二天,每个人都发现对方还在,就知道自己一定是蓝眼睛了。这是因为,每个人都会这么想:如果我不是蓝眼睛,那么对方昨天就会意识到他是蓝眼睛,对方昨天夜里就应该消失,然而今天竟然还在这儿,说明我也是蓝眼睛。最后,这两个人将会在第二天夜里一并消失。
类似地,如果岛上有三个蓝眼睛,那么每个人到了第三天都发现另外两个人还没走,便能很快推出,这一定是因为自己是蓝眼睛。所以,这三个蓝眼睛将会在第三个午夜集体离开。不断地这样推下去,最终便会得出,如果岛上有100个蓝眼睛,那么每个人都会在第100天意识到自己是蓝色的眼睛,于是他们将会在第100个午夜集体离开。
很多人都会对这段解释非常满意,然而细心的朋友却会发现一个问题:在大法师出现之前,每个人都能看见99个蓝眼睛,因此每个人都知道“岛上至少有一个人是蓝色的眼睛”这件事情。那么,大法师的出现究竟有什么用呢?这是一个很好的问题。它的答案是:大法师的行为,让“岛上至少有一个人是蓝色的眼睛”的消息成为了共识。
在生活当中,我们经常会遇到与共识有关的问题。让我们来看这么一段故事。A、B两人有事需要面谈,他们要用短信的方式约定明天的见面时间和地点。不过,两人的时间都非常宝贵,只有确信对方能够出席时,自己才会到场。A给B发短信说,“我们明天10:00在西直门地铁站见吧”。不过,短信发丢了是常有的事情。为了确信B得知了此消息,A补充了一句,“收到请回复”。B收到了之后,立即回复:“已收到,明天10:00不见不散”。不过,B也有他自己的担忧:A不是只在确认我要去了之后才会去吗?万一对方没有收到我的确认短信,届时没有到场让我白等一中午怎么办?因此B也附了一句:“收到此确认信请回复”。A收到确认信之后,自然会回复“收到确认信”。但A又产生了新的顾虑:如果B没收到我的回复,一定会担心我因为没收到他的回复而不去了,那他会不会也就因此不去了呢?为了确保B收到了回复,A也在短信末尾加上了“收到请回复”。这个过程继续下去,显然是没完没了。其结果是,A、B两人一直在确认对方的信息,但却始终无法达成这么一个共识:“我们都将在明天10:00到达西直门地铁站”。
有的人或许会说,那还不简单,A给B打个电话不就行了吗?在生活当中,这的确是上述困境的一个最佳解决办法。有意思的问题出来了:打电话和发短信有什么区别,使得两人一下就把问题给解决了?主要原因可能是,打电话是“在线”的,而发短信是“离线”的。在打电话时,每个人都能确定对方在听着,也能确定对方确定自己在听着,等等,因此两人说的任何一句话,都将会立即成为共识:不但我知道了,而且我知道你知道了,而且我知道你知道我知道了……
大法师当众宣布“岛上至少有一个蓝眼睛”,就是让所有人都知道这一点,并且让所有人都知道所有人都知道这一点,并且像这样无限嵌套下去。这就叫做某条消息成为大家的共识。让我们来看一下,如果这个消息并没有成为共识,事情又会怎样。
为了简单起见,我们还是假定岛上只有两个蓝眼睛。这两个人都能看见对方是蓝眼睛,因而他们都知道“岛上至少有一个蓝眼睛”。但是,由于法师没有出现,因此他俩都不知道,对方是否知道“岛上有蓝眼睛”这件事。所以,到了第二天的时候,之前的推理就无法进行下去了——每个人心里都会想,对方没有离开完全有可能是因为对方不知道“岛上有蓝眼睛”这件事。
类似地,如果岛上有三个蓝眼睛,那么除非他们都知道,所有人都知道所有人都知道了“岛上有蓝眼睛”这件事,否则第三天的推理是不成立的——到了第三天,会有人觉得,那两个人没走仅仅是因为他们不知道对方也知道“岛上有蓝眼睛”这件事罢了。继续扩展到100个蓝眼睛的情形,你会发现,“互相知道”必须得嵌套100层,才能让所有推理能顺利进行下去。
实际上,我们的题目条件也是不完整的。“岛上的所有人都非常清楚地知道上面这些条件和规则”这句话应该改为“上面这些条件和规则是岛上所有人的共识”,或者说“岛上所有人都知道上面这些条件和规则,并且所有人都知道所有人都知道,等等等等”。如果没有这个条件,刚才的推理也是不成立。比方说,虽然所有人都是无限聪明的,但是如果大家不知道别人也是无限聪明的,或者大家不知道大家知道别人也是无限聪明的,推理也会因为“昨晚他没走仅仅是因为他太笨了没推出来”之类的想法而被卡住。下一章的博弈问题当中,共识的概念也会起到很大的作用。
这是一道非常经典的问题,网络漫画网站XKCD把它称作是“世界上最难的逻辑谜题”。我至少见过这个问题的四种不同的版本。John Allen Paulos的Once Upon A Number里写过一个大女子主义村的故事:村子里有50个已婚妇女,每个妇女都不知道自己的男人是否有外遇,但却可以观察到其他妇女的男人是否有外遇。规定,只要哪个妇女推出了自己的男人有外遇,当晚她就必须把自己的男人杀死。有一天,村子里来了一位女族长。女族长宣布,岛上至少有一个妇女,他的男人有外遇。实际上,每个妇女的男人都有外遇。那么最后究竟会发生什么呢?村子里的人将会度过49个平静的晚上,到第50天则会出现彻彻底底的大屠杀。
另一个与疯狗有关的版本也大致如此:村子里每个人都养了一条狗,每个人都不知道自己的狗是不是疯了,但都可以观察到别人家的狗是不是疯狗。只要推出自己的狗是疯的,当天晚上就必须用枪把它杀死。有一天,村里来了一个人,宣布了至少有一条疯狗的消息,然后前2天平安无事,第3天夜里出现了一阵枪响,问村子里实际上有多少疯狗?答案是,3条。
最后还有一个戴帽子的版本。老师给5个小孩儿每个人头上都戴了一顶黑帽子,然后告诉大家,至少有一个人头上戴着的是黑色的帽子。接下来,老师向大家提问:“知道自己戴着黑帽子的请举手”,连问四次没有反应,到了第五次则齐刷刷地举手。有的地方把“戴着黑帽子”换成“额头上点了一个墨点”,然后老师让大家推测自己额头上是否有墨点。这本质上也是一样的。
……
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评分不错的书,质量很好。
评分很好,编写很用心,,,,,,
评分简单看了一下,还是挺有意思的。
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评分好不错吧 还没看 慢慢来
评分昨天晚上收到的,快递小哥还没有晚上送过呢,以前都是白天送的,看到最近真是快递多。内容很好,深入浅出,比较有意思。做为开阔视野、增长知识是很好的。
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