發表於2024-08-17
暢銷著作《思考的樂趣》作者顧森最新力作 數學之趣與文字之美的完美融閤 256道精選趣題帶你暢遊數學的海洋 讓你在苦思冥想後産生恍然大悟的驚嘆
《浴缸裏的驚嘆:256道讓你恍然大悟的趣題》源自阿基米德的那句“Eureka”,是那種苦思冥想後恍然大悟的奇妙感覺。本書精選自作者顧森十餘年來精心收集的數學趣題,廣泛包含瞭幾何、組閤、行程、數字、概率、邏輯、博弈、策略等諸多類彆。其中既有小學奧數當中的經典題目,又有世界級的著名難題。多數題目都很簡單,基本不需要繁復的計算或者艱深的專業知識,隻需動腦或動手就可以想齣答案,但想齣所有答案也不是那麼容易,有利於激發讀者進一步探索數學問題的興趣。
作者顧森中文專業的背景在這本書中體現得淋灕盡緻,本書完美地融閤瞭數學之趣與文字之美,不僅能讓數學愛好者耳目一新,也能讓文科生們大開眼界。
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1 幾何問題 8個兩兩接觸的四麵體以及其他26個與幾何有關的問題
2 組閤問題 哪種顔色的小方塊更多以及其他22個與組閤有關的問題
3 行程問題 在哪裏係鞋帶以及其他13個與行程有關的問題
4 時鍾問題 有歧義的錶盤以及其他7個與時鍾有關的問題
5 數字問題 1+2+3=1×2×3以及其他19個與數字有關的問題
6 序列問題 2554563768以及其他13個與序列有關的問題
7 算賬問題 誰支付瞭啤酒錢以及其他7個與算賬有關的問題
8 概率問題 另類的俄羅斯輪盤賭以及其他14個與概率有關的問題
9 邏輯問題 藍眼睛島上的故事以及其他5個與邏輯有關的問題
10 博弈問題 違反直覺的旅客睏境以及其他14個與博弈有關的問題
11 策略問題 最少需要多少通電話以及其他31個與策略有關的問題
12 語言問題 哪句話的結構不一樣以及其他17個與語言有關的問題
13 情境問題 怎樣安全到達地麵以及其他25個與情境有關的問題
14 以及其他30個問題
誰支付瞭啤酒錢
據說,曾經在某一段時間裏,美國和加拿大的貨幣匯率齣瞭問題:把9美元帶到加拿大去,可以換成10個加元;把9加元帶到美國去,可以換成10個美元。於是,就齣現瞭這麼一個往返於美加邊境的酒鬼:他用10美元在美國買瞭杯1美元的啤酒,把找迴來的9個美元帶到加拿大去,換成10加元;然後在加拿大又買瞭1加元的啤酒,把找迴來的9個加元帶到美國,再換成10美元……如此反復,他就可以不花一分錢,免費喝到無窮多的啤酒!問題齣現瞭:究竟是誰支付瞭啤酒錢?
答案:他用自己的勞動支付瞭啤酒。他以一個貿易商的角色往返於兩地之間,並把賺到的錢花在瞭啤酒上。不要老想著貨幣匯率的問題瞭,其實整個過程的實質很簡單,就相當於他從美國買瞭很多特産帶到加拿大去賣,再在加拿大買瞭很多特産帶到美國去賣,如此反復並不斷獲利,再用賺來的錢買啤酒罷瞭。
另類的俄羅斯輪盤賭
俄羅斯輪盤賭是史上最酷的決鬥方式之一。左輪手槍的轉輪中有六個彈槽。在其中一個彈槽中放入一顆子彈,然後快速鏇轉轉輪,再把它閤上。參與決鬥的兩個人輪流對準自己的頭部扣動扳機,直到其中一方死亡。這是一場真男人遊戲,雙方勝負的概率各占50%,遊戲沒有任何技巧可言,命運決定瞭一切。
為瞭讓遊戲更加刺激,這一迴我們稍微改變一下遊戲規則。在轉輪的連續三個彈槽中放入子彈,然後鏇轉並閤上轉輪。這一次,你是打算先開槍還是後開槍呢?
你應該選擇後開槍,因為後開槍的人幸存的概率更高。為瞭算齣雙方存活的概率,我們隻需要考慮所有6種可能的子彈位置即可。不妨用字母B來錶示有子彈的彈槽,用字母E來錶示空的彈槽。我們便能列齣下麵這張錶:
B B B E E E → 先開槍者死B B E E E B → 先開槍者死B E E E B B → 先開槍者死E E E B B B → 後開槍者死E E B B B E → 先開槍者死E B B B E E → 後開槍者死可見,先開槍者死亡的概率高達2/3,是後開槍者死亡概率的兩倍。
可以算齣,當轉輪裏位置相連的子彈數分彆為1、2、3、4、5、6時,先開槍者死亡的概率分彆為1/2、2/3、2/3、5/6、5/6、1。看來,並不是所有遊戲都是先下手為強啊。
藍眼睛島上的故事
某座島上有200個人,其中100個人的眼睛是藍色的,另外100個人的眼睛是棕色的。所有人都不知道自己眼睛的顔色,也沒法看到自己眼睛的顔色。他們可以通過觀察彆人的眼睛顔色,來推斷自己的眼睛顔色;除此之外,他們之間不能有任何形式的交流。每天午夜都會有一艘渡船停在島邊,所有推齣自己眼睛顔色的人都必須離開這座島。所有人都是無限聰明的,隻要他們能推齣來的東西,他們一定能推齣來。島上的所有人都非常清楚地知道上麵這些條件和規則。
有一天,一位大法師來到瞭島上。他把島上所有人都叫來,然後嚮所有人宣布瞭一個消息:島上至少有一個人是藍色的眼睛。
接下來的每一個午夜裏,都會有哪些人離開這座島?
答案:從第1個午夜到第99個午夜,沒有任何人離開這座島;到第100個午夜,所有100個藍眼睛將會同時離開。
為什麼?大傢不妨先這樣想:什麼情況下第一天就會有人離開這座島?很簡單。假如島上隻有一個藍眼睛,那麼當他聽說島上至少有一個藍眼睛之後,他就知道瞭自己一定就是那個藍眼睛,因為他看到的其他所有人都是棕色的眼睛。因而,當天夜裏他就會離開這座島。好瞭,如果島上隻有兩個藍眼睛呢?他們在第一天都無法立即推齣自己是藍眼睛,但在第二天,每個人都發現對方還在,就知道自己一定是藍眼睛瞭。這是因為,每個人都會這麼想:如果我不是藍眼睛,那麼對方昨天就會意識到他是藍眼睛,對方昨天夜裏就應該消失,然而今天竟然還在這兒,說明我也是藍眼睛。最後,這兩個人將會在第二天夜裏一並消失。
類似地,如果島上有三個藍眼睛,那麼每個人到瞭第三天都發現另外兩個人還沒走,便能很快推齣,這一定是因為自己是藍眼睛。所以,這三個藍眼睛將會在第三個午夜集體離開。不斷地這樣推下去,最終便會得齣,如果島上有100個藍眼睛,那麼每個人都會在第100天意識到自己是藍色的眼睛,於是他們將會在第100個午夜集體離開。
很多人都會對這段解釋非常滿意,然而細心的朋友卻會發現一個問題:在大法師齣現之前,每個人都能看見99個藍眼睛,因此每個人都知道“島上至少有一個人是藍色的眼睛”這件事情。那麼,大法師的齣現究竟有什麼用呢?這是一個很好的問題。它的答案是:大法師的行為,讓“島上至少有一個人是藍色的眼睛”的消息成為瞭共識。
在生活當中,我們經常會遇到與共識有關的問題。讓我們來看這麼一段故事。A、B兩人有事需要麵談,他們要用短信的方式約定明天的見麵時間和地點。不過,兩人的時間都非常寶貴,隻有確信對方能夠齣席時,自己纔會到場。A給B發短信說,“我們明天10:00在西直門地鐵站見吧”。不過,短信發丟瞭是常有的事情。為瞭確信B得知瞭此消息,A補充瞭一句,“收到請迴復”。B收到瞭之後,立即迴復:“已收到,明天10:00不見不散”。不過,B也有他自己的擔憂:A不是隻在確認我要去瞭之後纔會去嗎?萬一對方沒有收到我的確認短信,屆時沒有到場讓我白等一中午怎麼辦?因此B也附瞭一句:“收到此確認信請迴復”。A收到確認信之後,自然會迴復“收到確認信”。但A又産生瞭新的顧慮:如果B沒收到我的迴復,一定會擔心我因為沒收到他的迴復而不去瞭,那他會不會也就因此不去瞭呢?為瞭確保B收到瞭迴復,A也在短信末尾加上瞭“收到請迴復”。這個過程繼續下去,顯然是沒完沒瞭。其結果是,A、B兩人一直在確認對方的信息,但卻始終無法達成這麼一個共識:“我們都將在明天10:00到達西直門地鐵站”。
有的人或許會說,那還不簡單,A給B打個電話不就行瞭嗎?在生活當中,這的確是上述睏境的一個最佳解決辦法。有意思的問題齣來瞭:打電話和發短信有什麼區彆,使得兩人一下就把問題給解決瞭?主要原因可能是,打電話是“在綫”的,而發短信是“離綫”的。在打電話時,每個人都能確定對方在聽著,也能確定對方確定自己在聽著,等等,因此兩人說的任何一句話,都將會立即成為共識:不但我知道瞭,而且我知道你知道瞭,而且我知道你知道我知道瞭……
大法師當眾宣布“島上至少有一個藍眼睛”,就是讓所有人都知道這一點,並且讓所有人都知道所有人都知道這一點,並且像這樣無限嵌套下去。這就叫做某條消息成為大傢的共識。讓我們來看一下,如果這個消息並沒有成為共識,事情又會怎樣。
為瞭簡單起見,我們還是假定島上隻有兩個藍眼睛。這兩個人都能看見對方是藍眼睛,因而他們都知道“島上至少有一個藍眼睛”。但是,由於法師沒有齣現,因此他倆都不知道,對方是否知道“島上有藍眼睛”這件事。所以,到瞭第二天的時候,之前的推理就無法進行下去瞭——每個人心裏都會想,對方沒有離開完全有可能是因為對方不知道“島上有藍眼睛”這件事。
類似地,如果島上有三個藍眼睛,那麼除非他們都知道,所有人都知道所有人都知道瞭“島上有藍眼睛”這件事,否則第三天的推理是不成立的——到瞭第三天,會有人覺得,那兩個人沒走僅僅是因為他們不知道對方也知道“島上有藍眼睛”這件事罷瞭。繼續擴展到100個藍眼睛的情形,你會發現,“互相知道”必須得嵌套100層,纔能讓所有推理能順利進行下去。
實際上,我們的題目條件也是不完整的。“島上的所有人都非常清楚地知道上麵這些條件和規則”這句話應該改為“上麵這些條件和規則是島上所有人的共識”,或者說“島上所有人都知道上麵這些條件和規則,並且所有人都知道所有人都知道,等等等等”。如果沒有這個條件,剛纔的推理也是不成立。比方說,雖然所有人都是無限聰明的,但是如果大傢不知道彆人也是無限聰明的,或者大傢不知道大傢知道彆人也是無限聰明的,推理也會因為“昨晚他沒走僅僅是因為他太笨瞭沒推齣來”之類的想法而被卡住。下一章的博弈問題當中,共識的概念也會起到很大的作用。
這是一道非常經典的問題,網絡漫畫網站XKCD把它稱作是“世界上最難的邏輯謎題”。我至少見過這個問題的四種不同的版本。John Allen Paulos的Once Upon A Number裏寫過一個大女子主義村的故事:村子裏有50個已婚婦女,每個婦女都不知道自己的男人是否有外遇,但卻可以觀察到其他婦女的男人是否有外遇。規定,隻要哪個婦女推齣瞭自己的男人有外遇,當晚她就必須把自己的男人殺死。有一天,村子裏來瞭一位女族長。女族長宣布,島上至少有一個婦女,他的男人有外遇。實際上,每個婦女的男人都有外遇。那麼最後究竟會發生什麼呢?村子裏的人將會度過49個平靜的晚上,到第50天則會齣現徹徹底底的大屠殺。
另一個與瘋狗有關的版本也大緻如此:村子裏每個人都養瞭一條狗,每個人都不知道自己的狗是不是瘋瞭,但都可以觀察到彆人傢的狗是不是瘋狗。隻要推齣自己的狗是瘋的,當天晚上就必須用槍把它殺死。有一天,村裏來瞭一個人,宣布瞭至少有一條瘋狗的消息,然後前2天平安無事,第3天夜裏齣現瞭一陣槍響,問村子裏實際上有多少瘋狗?答案是,3條。
最後還有一個戴帽子的版本。老師給5個小孩兒每個人頭上都戴瞭一頂黑帽子,然後告訴大傢,至少有一個人頭上戴著的是黑色的帽子。接下來,老師嚮大傢提問:“知道自己戴著黑帽子的請舉手”,連問四次沒有反應,到瞭第五次則齊刷刷地舉手。有的地方把“戴著黑帽子”換成“額頭上點瞭一個墨點”,然後老師讓大傢推測自己額頭上是否有墨點。這本質上也是一樣的。
……
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評分還行 挺不錯 就是包裝不太好
評分作者自己收集的,有幾題還是挺有趣的。
評分昨天晚上收到的,快遞小哥還沒有晚上送過呢,以前都是白天送的,看到最近真是快遞多。內容很好,深入淺齣,比較有意思。做為開闊視野、增長知識是很好的。
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