發表於2024-12-24
《數學聊齋》對算術、幾何和圖論當中的上百個十分重要、十分動人的問題 進行趣味盎然的另類解答,例如2 + 2為什麼等於4、韓信點兵多多益 善、清點太陽神的牛群、無字數學論文、蜂巢頌、雪花幾何、三角形內 角和究竟多少度、圖是什麼、亂點鴛鴦譜、貪官聚餐、顔色多項式、妖 怪的色數、多心夫妻渡河、計算機的心腹之患、同生共死NPC等。《數學聊齋》 集趣味性、
01算術篇
萬物皆數,若沒有數,則既不能描述也不能理解任何事物。
-畢達哥拉斯(Pythagoras,希臘數學傢,公元前580—前500)
1.1從2+2=4談起
一位聰明天真的小朋友問媽媽:“為什麼2加2等於4?”媽媽答:“傻孩子,連這麼簡單的算術都不懂!”於是這位母親伸齣左手的兩個指頭,又伸齣右手的兩個指頭,左右的兩個指頭往一起一並,說:“這就叫2加2,你數一數,看是不是4?”孩子勉強點頭,接著又問:“可是4是什麼玩意兒呢?”媽媽欲言而無語。是呀,如果母親說這些指頭的數目就叫做4,孩子再追問什麼叫做999999999,那可就不好用指頭之類的東西來比劃著解釋瞭!
事實上,反思我們小時候對加法的學習,確實是非理性的,完全是老師和傢長嚮我們的腦子裏灌進去而記住瞭的七加八一十五,七加五一十二之類的指令而已;認真思考起來,究竟每個自然數是如何定義的,加法是什麼,為什麼2+2=4,4+4=8,等等,確實是一個嚴肅的數學問題。
原始人已有自然數的初始概念,他們用小石頭來記錄捕捉的獵物的個數(或用“結繩記事”法)。有人捕來一隻野兔,他們就在小坑裏放上一顆石子,又有人捕來一隻野兔,他們就在小坑中又投放一顆石子,等等。事實上,這逐一地嚮小坑中投石子的過程恰是加法運算的真諦,投一顆石子就叫做加上1,1加1得到的數量就叫做2,2再加1得到的數量就叫做3,等等。再後來,人們發現瞭加法的結閤律,即1+1+1+1=(1+1)+(1+1),等等。公元6世紀,印度數學傢引人零的符號“0”,它是自然數的“排頭”。到瞭19世紀,皮亞諾(G.Peano,1858!1932)提齣瞭五條算術公理,纔從理論上徹底解決瞭什麼是自然數,為什麼2+2=4等數學上的這些基本問題,他的三個概念與五個公理是:
0,後繼和自然數,以及如下五條公理:
公理1,0是自然數。
公理2任何自然數的後繼是自然數。
公理30不是任何數的後繼。
公理4不同的自然數後繼不同。
公理5對於某一性質,若0有此性質,而且若某自然數有此性質時,它的後繼也有此性質,則一切自然數都有此性質。
具體地說,0的後繼中國人叫做一,美國人叫做one,1的後繼中國人叫做二,美國人叫做two,等等。第五公理談的是數學歸納法。一個自然數生齣它的後繼的過程是加法,記成0+1=1,1+1=2,2+1=3,3+1=4,n+1=(n+1),等等。
由皮先生的公理可以明確無誤地迴答什麼是自然數的問題,例如4是什麼?答:4是3的後繼,或曰4是3之“子”3呢?3是2的後繼(2呢?2是1的後繼(1呢?1是0的後繼(0呢?0是祖宗,它不是誰的後繼,是自然數的發源點。
2+2=4證明如下:
因為1+1=2,所以2+2=(1+1)+(1+1),由結閤律得2+2=(1+1)+(1+1)=(1+1+1)+1又因1+1+1=(1+1)+1=2+1=3所以2+2=3+1,而3+1=4,故知2+2=4是正確的。
證畢。
有瞭加法的概念,減法是加法的逆運算,乘法則是幾個相同的數連加的“簡寫”,除法是乘法的逆運算。可見,從皮氏公理齣發已經把+一X+的概念弄瞭個水落石齣,不再是那種原始的直觀感覺(例如結繩記事)或死記的九九錶瞭。
查閱《現代漢語詞典》上加法詞目,詞典稱!“加法(,數學中的一種運算方法%兩個或兩個以上的數閤成一個數的方法'”這種解釋實在科學’例如它隻說“閤成一個數”,並不說這個數(我們稱其為和)是多少。事實上,現代數學對於1+1的和未必總是算齣2來的。遙想原始人怎樣形成數量的概念,最初隻是“有”與“無”兩個概念,他們尚沒有“多少”的概念和斤斤計較的壞習氣。就是現代,有時也隻需考慮有與無,是與否,而不必細說有多少,例如我們要寫字,關心的是有筆還是沒有筆,至於有筆時有幾枝,那都是一迴事。如果這時規定0代錶無(或否),1代錶有(或是),則應有0+0=0,0+1=1,1+0=1,1+1=1。這個1+1=1的算式有點不習慣,但對於此處的實際背景,如此定義加法是再閤適不過瞭。這種1+1不等於2,而等於1的加法稱為“邏輯和”,1+1=1,於是(n是自然數)。
再看某種電視機開關,你用指頭捅一下,它就為你播放節目,再捅一下,它就關機瞭,如果把關機狀態記成0,把播放狀態記成1,則有加法法則!
0+0=0,1+0=10+1=1,1+1=0
這種加法1+1≠2,1+1≠1,而是1+1=0。看見沒有,這就是數字之妙,這種“數學誌異”勝似《聊齋誌異》!
1.2算術的基因和基理
算術四則運算,人人都有體會,那就是加減法簡單,乘法也不太難,有個“九九歌”,背熟瞭去乘就是瞭。除法裏“事兒”多,除得盡還好,除不盡還要考慮約分與餘數,等等,花樣不少。例如:100+4可寫成
我們看到,除法實質上是分子分母的約分,等到把分子分母的公共因子都約光瞭,剩下的就是既約分數,如果這時分母為1,就除盡瞭。分子上的因子有兩個2,兩個5,這兩個因子不能再變小,當然4和25,或20,也是100的因子,但它們還可以變小,那些不能再變小的因子,即除瞭1與自身外,彆的自然數除不盡的自然數,是最簡單樸素的瞭,我們稱這種數為素數(樸素的素)或質數(質t蔔的質),1也是這類性質的數,但大傢約定1不稱為素數,因為如果讓1取得素數資格,例如100則可以寫成100=1X1X1X1X1XX1X2X2X5X5,前方愛寫幾個1就寫幾個1,這就很不妙,一個自然數寫成素數之積的形式時,形狀就不唯一瞭。經驗錶明,如果不讓1參加,一個自然數若不是素數,例如100,4什麼的,可以唯一地寫成若乾素數的積,這一結論可以用數學歸納法證明,這就是著名的算術基本定理。
大於1的不是素數的自然數稱為閤數,即由若乾素數相乘而成的數。
素數是閤數的基因,任給大於1的自然數N,存在唯一的素數列P1≤P2≤≤Pn,使得N唯一地寫成N=P1P2Pn,此定理稱為算術基本定理,算術中很多證明,尤其是涉及除法時,主要靠這條結論去說理。
如果N是閤數,則N=P1a1P2a2pmam,m≥1,P1,P2,,Pm是互異素數,a1,,am是正整數,其中P1由於不超過N的閤數的最小素因子不超過槡N,因此欲求不超過N的一切素數,隻需把1,2,,N中不超過槡N的素數的倍數劃去(篩除),剩下的就是素數。
30<6,所以隻考慮劃去2,3,5的倍數,剩的是不超過30的那些素數:2,3,5,7,11,13,17,19,23,29。
顯然,這種方法隻能寫齣不超過N的自然數中素數的清單,N後麵的自然數中還有不少素數,例如30之後的31就是。歐幾裏得第一個證明,素數的個數是無窮的。
事實上,若所有素數為P1,P2,,Pk,取N=P1P2Pk+1,N>1,設N本身是素數,N能除P1P2Pk+1(商為1),又P1,P2,,Pk是所有素數,則N是某個Pi,i∈{1,2,,k},於是N能除盡P1P2pk,P1P2pk+1被N除餘1,與P1P2pk+1矛盾。若N是閤數,則N有一個素數因子P,於是P=Pi,i∈{1,2,,k},P能除盡P1P2pk,不能除盡P1P2pk+1,即P不能除盡N,與P是N之因子矛盾,可見全體素數不是有限個。
素數既然是算術中的基因,幾乎所有的算術命題當中,都有素數參與其中,有關素數的命題集中瞭算術學科的難點。廣為人知的難題很多,例如下麵兩個就是算術中難題的代錶。
(1)關於孿生素數的黎曼猜想:孿生素數有無窮個
所謂孿生素數,即相差為2的一對素數,例如(3,5),(5,7),(11,13),(17,19),等等。
至今無人能證明或反駁這一猜想。
(2)哥德巴赫猜想
1742年6月7日,聖彼得堡中學教師,德國人哥德巴赫(Gold-bach)給瑞士數學傢歐拉寫信提齣如下猜想:
每個大於或等於6的偶數都是兩個素數之和;每個大於或等於9的數都是個數之。
兩素數之和當然是偶數,但是事情讓哥德巴赫反過來一提,可就給數學界惹來瞭天大的麻煩。歐拉給哥德巴赫的迴函中說:“我不能證明它,但是我相信這是一條正確的定理。”歐拉無能為力的問題,彆人怕是很難解決瞭。在其後的150多年當中,多少專業的和業餘的數論工作者,都興趣盎然地衝擊這一看似真實的命題,無奈人人不得正果。1900年,數學界的領袖人物希爾伯特(Hilbert)在巴黎召開的世界數學傢大會上嚮20世紀的數學傢提齣23個待解決的名題,其中哥德巴赫猜想列為第八問題。可惜20世紀的百年奮鬥仍然辜負瞭希爾伯特的期望。
奉勸閱曆尚淺、熱情十足的年輕朋友,不可受某些不懂數學的記者們的誤導,隨便立誌以攻剋哥德巴赫猜想為己任,而應當從實際齣發,打好堅實的數學理論基礎,培養數學研究的能力,再來考慮攀登哪個高峰的問題。
這裏麵對的是一個數學問題,不能沿用物理學傢訴諸反復若乾次實驗來證實的辦法,例如有人對不超過33X106的偶數逐一驗證,哥德巴赫猜想都是成立的,但那仍然不能解決問題。
下麵是近百年來關於哥德巴赫猜想的大事記。
1912年,數學傢朗道提齣相近的弱猜想:
存在一個自然數M,使得每個不小於2的自然數皆可錶成不超過M個素數之和。
此猜想於1930年證明為真;如果M<3就好多瞭。
1937年,蘇聯數學傢維諾格拉多夫證明瞭哥德巴赫猜想的後半句為真,即大於或等於9的奇數是三個素數之和,這是關於哥德巴赫問題的重大突破,引起瞭不小的轟動。但前半句至2000年基本上未被解決。
我們約定:命題“大於等於6的偶數可錶示成a個素數之積加上p個素數之積”記成(a+戽,則哥德巴赫問題是:證明或反駁(1+1)。
1920年,朗道證明瞭(9+9)。
1924年,拉德馬哈爾證明瞭(7+7)。
1932年,依斯特曼證明瞭(6+6)。
1938年,布赫塔布證明瞭(5+5)。
1938年,華羅庚證明瞭幾乎所有的偶數都成立(1+1)。
1940年,布赫塔布等證明瞭(4+4)。
1947年,雷尼證明瞭(1+?)。
1955年,王元證明瞭(3+4)。
1957年,小維諾格拉多夫證明瞭(3+3)。
1957年,王元證明瞭(2+3)。
1962年,潘承洞證明瞭(1+5)。
1962年,潘承洞、王元證明瞭(1+4)。
1965年,布赫塔布、小維諾格拉多夫、邦比尼證明瞭(1+3)。
1966年,陳景潤證明瞭(1+2),於1973年發錶。
盡管(1+2)離(1+1)隻“一步之遙”,但一步登天的事談何容易!從陳景潤搞齣(1+2)至今已有30多年,一直沒有人在這個陣地上前進半步,我國的陳景潤仍然是此項世界紀錄的保持者。
培養齣如陳景潤這樣傑齣的數學傢,不但具有廣深紮實的數學素質,而且具有全身心奉獻科學事業的品質,乃是我們教育工作者的一項
……
好玩的數學:數學聊齋(修訂版) 下載 mobi pdf epub txt 電子書 格式 2024
好玩的數學:數學聊齋(修訂版) 下載 mobi epub pdf 電子書學校寒假作業,孩子喜歡
評分先用著,後麵看完再來追評
評分知識就是力量,知識改變命運,要堅信。
評分非常感謝!非常滿意!內容有點難~
評分已收到,書的內容不錯,值得讀。物流挺快的。謝謝!
評分書有點髒
評分對一些古老的問題進行瞭另類解答,需要精讀。
評分孩子自己選的,希望有興趣
評分喜歡,贊贊贊贊贊贊贊贊贊贊贊贊
好玩的數學:數學聊齋(修訂版) mobi epub pdf txt 電子書 格式下載 2024