發表於2024-11-05
《趣味隨機問題》分為概率論、數理統計、隨機過程三部分,每部分包含若乾個趣味問題。其中有分賭注問題、巴拿赫火柴盒問題、波利亞壇子問題、巴格達竊賊問題、賭徒輸光問題、群體(氏族)滅絕問題等曆史名題,也有許多介紹新內容、新方法的問題。《趣味隨機問題》內容有趣,應用廣泛。能啓迪讀者的思維,開闊讀者的視野,增強讀者的提齣問題、分析問題與解決問題的能力。
01概率論篇
1.1全是不可測集惹的麻煩
隨機事件(簡稱為事件)、概率、隨機變量是概率論中最基本的三個概念,它們是逐步形成與完善起來的。其中事件與隨機變量這兩個概念與不可測集閤的關係非常緊密。如果不存在不可測集閤,事件與隨機變量的定義將會非常簡潔易懂。由於不可測集閤的存在,給這兩個概念的定義帶來瞭很大的麻煩,使初學者感到很睏難。
學過初等概率論的人都知道,隨機事件是樣本空間(由所有樣本點或基本事件組成的集閤)的子集,但是樣本空間的子集卻未必是隨機事件。為什麼一般教科書均不作解釋,因為此問題說起來話長,又涉及較多的數學知識,一兩句話是說不清楚的。
如果樣本空間Ω中的樣本點隻有可數(可列)多個,則Ω中的任一個子集都可測;如果Ω中的樣本點有無窮不可數多個(如一個區間或一個區域),則可人為地構造齣Ω的不可測子集。什麼叫做(集閤)可測這涉及較深的測度論知識。通俗地說,所謂集閤A可測,就是可以求齣A的測度。什麼叫做測度如果A是離散可數集閤,則把A中的元素個數作為A的測度,如果A是非離散的區域而且是一維的(二維的、三維的),就把A的長度(麵積、體積)作為A的測度。關於如何構造Ω的不可測子集,有興趣的讀者可以參閱鄭維行和王聲望著的《實變函數與泛函分析概要》。初學者很難理解,一條麯綫為什麼會不可以測量它的長度呢美籍華人鍾開來說,讀者可以這樣設想,這條麯綫彎麯得非常厲害,我們無法測準它的長度,或者設想它離我們非常遙遠,即使用最先進的儀器也無法對它進行測量。
由於樣本空間中的子集不一定都可測,那些不可測子集我們是無法求其概率的,當然,就不把它們看成事件,這是因為我們研究事件的主要目的是求其齣現(發生)的概率。又因為在實際問題中我們往往要對事件進行各種運算(或變換),我們自然會問:可測事件運算(或變換)的結果是否仍為可測為瞭保證可測事件運算(或變換)的結果仍為可測,我們在定義事件中引進瞭σ代數的概念。
定義1.1設Ω為一個集閤,如果Ω中的一些子集組成的集類(以集閤為元素的集閤)F滿足:
(i)Ω∈F。
(ii)如果A∈F,則A的補集∈F。
(iii)如果An∈F,n=1,2,3,,則∪∞n=1An∈F。
則稱F為Ω中的σ代數。
有瞭σ代數的概念,可引入事件的如下的嚴密定義。
定義1.2如果F是由樣本空間Ω中一些(可測)子集組成的σ代數,則稱F為事件域,稱且僅稱F中的元素為事件。通常稱(Ω,F)為可測空間。
由此定義可知:
(i)σ代數未必是事件域,但是事件域一定是σ代數。
(ii){,Ω}為最小事件域(其中�廖�不可能事件,即為不含有任何樣本點的空集)。如果A為Ω中的可測子集,則{,A,A,Ω}是包含事件A的最小事件域。如果Ω中的子集都可測,則取事件域為{A:AΩ}(即如果AΩ,則稱A為事件),它也是最大的事件域。因此,事件域不是唯一的。
(iii)在實際問題中,如果Ω中的樣本點是可數的,通常就取事件域為{A:AΩ},否則,通常取事件域為包含我們所關心的事件的σ代數。在一個問題中,事件域一經取定就不再變動
如果不存在樣本空間Ω中的不可測子集,隨機變量就可以簡單定義為:如果X(ω)是Ω上的單值實函數,則稱X(ω)為隨機變量。而現在隨機變量的定義不僅復雜得多,而且使初學者很不容易理解。
定義1.3設(Ω,F)是一個可測空間,X(ω)為定義於Ω上的單值實函數,如果對任意實數x,均有
{ω:X(ω)≤x,ω∈Ω}∈F
則稱X(ω)為(Ω,F)上的一個隨機變量。
通常簡記X(ω)為X,簡記{ω:X(ω)≤x,ω∈Ω}為{X≤x}。{ω:X(ω)≤x,ω∈Ω}錶示使得X(ω)≤x成立的那些樣本點ω組成的集閤。如果這個集閤為可測的事件,即{X≤x}∈F,我們纔稱X為隨機變量。
由定義1.3知隨機變量不是簡單的變量,而是定義於樣本空間Ω上的滿足條件{X≤x}∈F的單值實函數。不過在實際問題中如果用定義1.3去驗證一個量是否為隨機變量那將是件很麻煩的事情。通常不用定義1.3去驗證一個量是否為隨機變量,而是去驗證該量取值是否為隨機的。如果是,則該量是隨機變量;否則,它就不是隨機變量。何為隨機的所謂隨機的是指:該量至少能取兩個值,而且事前(試驗之前)無法準確預言它取哪個值。
1.2概率概念的完善
概率是描述事件發生(齣現)可能性大小的數量指標,它是逐步形成和完善起來的。最初人們討論的是古典概型(隨機)試驗中事件發生的概率。所謂古典概型試驗是指樣本空間中的樣本點的個數是有限的且每個樣本點(組成的事件)發生的可能性是相同的,簡稱為有限性與等可能性。例如,擲一顆均勻骰子的試驗與從一個裝有n個相同(編瞭號)球的袋中隨機摸一個球的試驗都是古典概型試驗。對於古典概型試驗,人們給齣概率的如下定義。
定義1.4設試驗E是古典概型的,其樣本空間Ω由n個樣本點組成,其一事件A由r個樣本點組成,則定義A(發生)的概率為rn,記為P(A),即
P(A)=A中樣本點數Ω中樣本點數=rn
並稱這樣定義的概率為古典概率,稱概率的這樣的定義為古典定義。
古典概率有如下3個性質:
(i)對任意事件A,有0≤P(A)≤1。
(ii)P(Ω)=1。
(iii)設A1,A2,,Am為兩兩互斥的m個事件,則
P(∪mi=1Ai)=∑mi=1P(Ai)
(i)、(ii)、(iii)分彆稱為概率的有界性、規範性與有限可加性。
古典概率的定義要求試驗滿足有限性與等可能性,這使得它在實際應用中受到瞭很大的限製。例如,對於鏇轉均勻陀螺的試驗:在一個均勻的陀螺圓周上均勻地刻上區間[0,3)內諸數字,鏇轉陀螺,當它停下時,其圓周上與桌麵接觸處的刻度位於某區間[a,b)[�跡�0,3)]內的概率有多大對於這樣的試驗,古典概率的定義就不適用。因為此試驗的樣本點不是有限的,而是區間[0,3]中的每個點,它有無窮不可數多個。為瞭剋服定義1.4的局限性,人們又引入概率的如下定義。
定義1.5設試驗E的樣本空間為某可度量的區域Ω,且Ω中任一區域齣現的可能性大小與該區域的幾何度量成正比,而與該區域的位置與形狀無關,則稱E為幾何概型的試驗。且定義E的事件A的概率為
P(A)=A的幾何度量/Ω的幾何度量
其中,如果Ω是一維的、二維的、三維的,則Ω的幾何度量分彆為長度、麵積、體積。並稱這樣定義的概率為幾何概率,而稱概率的這樣的定義為幾何定義。
幾何概率除瞭具有古典概率的3個性質外,它還具有如下的可列可加性(或完全可加性):
(iv)設A1,A2,A3,為兩兩互斥的無窮多個事件,則
概率的幾何定義雖然去掉瞭有限性的限製,但是它仍然要試驗滿足等可能性,這在實際問題中仍有很大的局限性。例如,擲一枚不均勻的硬幣的試驗就不具有等可能性,這樣上述兩個定義對這個非常簡單的試驗都不適用。同時我們還注意到上述兩個定義中的等可能性嚴格地說都是近似的,而不是真正的等可能。因此,我們必須再一次推廣概率的定義,以滿足實際問題要求。為此,人們在頻率的基礎上又引進瞭概率的統計定義。
通過長期的實踐,人們逐步發現,當重復試驗的次數很多時,事件齣現的頻率都具有穩定性。即對於某個固定的事件,當重復試驗次數增加時,該事件齣現的頻率總在0與1之間某個數字p附近擺動,且越來越接近p。例如,擲一枚均勻硬幣的試驗,曆史上曾經有很多數學傢做過。下錶是幾位數學傢做此試驗的結果。由此錶可以看到,當試驗次數越來越多時,正麵齣現的頻率越來越靠近0.5(錶1-1)。由此,人們又引入概率的統計定義。
錶1-1擲均勻硬幣的試驗
定義1.6設A為試驗E的一個事件,如果隨著重復試驗次數的增加A齣現的頻率在0與1之間某個數p附近擺動,則定義A的概率為p,記為P(A),即
P(A)=p
稱這樣定義的概率為統計概率,稱概率的這樣的定義為統計定義。
統計概率也有古典概率的3個性質,即有界性、規範性、有限可加性。
概率的統計定義對試驗不作任何要求,它適閤所有試驗,也比較直觀。但是在數學上很不嚴密。因為其依據是重復試驗次數很多時頻率呈現齣的穩定性。何為"很多"1萬次相對於1000次來說是很多瞭,但是相對於10萬次來說它又是很少瞭。試驗次數究竟要多到怎樣的程度纔能算"很多"定義中沒有說明;又如定義中的"擺動"又如何理解,也沒有數學說明,再如定義中的"p"又如何確定不同的人可能會確定不同的值。這樣,一個事件將有多個概率。例如,在錶1-1中,正麵齣現的頻率顯然在0.5附近擺動,因此可以認為正麵齣現的概率為0.5。但是由於硬幣不會絕對均勻的,也可以認為正麵齣現的概率為0.50001或0.4999。因此,概率的上述3個定義都有缺陷,與其說它們是定義,不如說它們僅是對不同的情況給齣概率的3種計算方法。所以我們有必要給齣概率的一個嚴密的對各種情況都適用的定義,以使得概率論這座大廈有牢固的基礎。
20世紀30年代初,馮.米富斯(R.VonMises)給齣樣本空間的概念,使得有可能把概率的嚴密的數學理論建立在測度論上。20世紀30年代中期柯爾莫哥洛夫(A.N.Kolmogorov)以上述3個定義的性質為背景給齣概率的嚴密的公理化定義。
定義1.7設(Ω,F)為一個可測空間,P為定義於F上的實值集閤函數,如果P滿足下列3個條件:
(i)對每個A∈F,有P(A)≥0;
(ii)P(Ω)=1;
(iii)如果Ai∈F,i=1,2,3,,且當i≠j時,AiAj=�粒�則P(∪∞i=1Ai)=∑∞i=1P(Ai)。
那麼,就稱P為概率測度,簡稱為概率。
一般把Ω,F,P寫在一起成(Ω,F,P),並稱(Ω,F,P)為概率空間。以後總用Ω錶示樣本空間,用F錶示Ω中的固定的事件域,用P錶示相應於Ω與F的概率。此定義的3個條件稱為3個公理。這3個公理分彆稱為概率的非負性、規範性與完全可加性(或可列可加性)。
概率的公理化定義中沒有要求定義於F上的實值集閤函數P滿足有界性與有限可加性,為什麼這是因為有界性與有限可加性可以由3個公理推導齣來,而且,一個概念的定義(自然)要求所滿足的條件越少越好,這樣纔便於應用。設想,如果一個定義要求滿足10個條件,則每次應用前都要逐一驗證這10個條件是否滿足(如果不滿足,則不能應用該定義),這將是很麻煩的事情。其次,概率的公理化定義是嚴密的數學定義,且對試驗不作任何要求,我們很自然地會問,前述的三個定義是否可以不要瞭不可以。這是因為公理化定義雖然在數學上很嚴密,但是它沒有給齣事件概率的計算方法。要計算一個具體事件的概率,還得根據不同的情況,利用上述3個定義之一來計算。
另一個需要說明的是概率的公理化定義不是唯一,它有很多等價定義。由有限可加性得P()=P(∑n+1i=1)=(n+1)P(),即nP()=0,所以P()=0,又對任意事件A∈F,由單調性,有P(A)≥P(),從而
……
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