近代应用数学基础 下载 mobi epub pdf 电子书 2024

内容简介

目录

第1章集合与集合的运算结构

1.1集合及其运算

1.1.1集合

1.1.2集合的运算

1.1.3集合之间的映射

1.2集合的运算结构

1.2.1群、环、域、线性空间

1.2.2群论初步、几种重要的群

1.2.3子群、积群、商群

习题1

第2章线性空间与线性变换

2.1线性空间

2.1.1线性空间的实例

2.1.2线性空间的基

2.1.3线性空间的子空间、积空间、直和空间、商空间

2.1.4内积空间

2.1.5对偶空间

2.1.6线性空间的结构

2.2线性变换

2.2.1线性算子空间

2.2.2线性算子的共轭算子

2.2.3多重线性代数

习题2

第3章点集拓扑的基本知识

3.1度量空间、赋范线性空间

3.1.1度量空间

3.1.2赋范线性空间

3.2拓扑空间

3.2.1拓扑空间中的一些定义

3.2.2拓扑空间的初步分类

3.3拓扑空间上的连续映射

3.3.1拓扑空间之间的映射、映射的连续性

3.3.2拓扑空间的子空间、积空间、商空间

3.4拓扑空间的重要性质

3.4.1拓扑空间的分离性

3.4.2拓扑空间的连通性

3.4.3拓扑空间的紧性

3.4.4拓扑线性空间

习题3

第4章泛函分析基础

4.1度量空间理论

4.1.1度量空间的完备化

4.1.2度量空间中的紧性

4.1.3Banach空间的基

4.1.4Hilbert空间的直交系与直交展开

4.2算子理论

4.2.1Banach空间上的线性算子

4.2.2有界线性算子的谱理论

4.3线性泛函理论

4.3.1赋范线性空间上的线性泛函

4.3.2Hilbert 空间上的线性泛函

习题4

第5章分布理论

5.1Schwartz空间、Schwartz分布空间

5.1.1Schwartz空间

5.1.2Schwartz分布空间

5.1.3空间E(Rn)、D(Rn)及其分布空间

5.2Lp(R)(1≤p≤2)上的Fourier变换

5.2.1L1(R)上的Fourier变换

5.2.2L2(R)上的Fourier变换

5.2.3Lp(R)(1

5.3Schwartz分布的Fourier变换

5.3.1Schwartz函数的Fourier变换

5.3.2Schwartz分布的Fourier变换

5.3.3具紧致支集的Schwartz分布

5.3.4Schwartz分布的卷积与Fourier变换

5.4小波分析

5.4.1小波变换的引入

5.4.2连续小波变换

5.4.3离散小波变换

5.4.4小波变换应用概述

习题5

第6章流形上的微积分

6.1基本概念

6.1.1微分流形结构

6.1.2余切空间、切空间

6.1.3子流形

6.2外代数

6.2.1(r,s)型张量、(r,s)型张量空间

6.2.2张量代数

6.2.3Grassmann代数

6.3外微分

6.3.1张量丛、矢量丛

6.3.2外微分式的外微分

6.4外微分式的积分

6.4.1光滑流形的定向

6.4.2外微分式在定向光滑流形上的积分

6.4.3Stokes 公式

6.5Riemann 流形、数学科学与现代物理

6.5.1Riemann 流形

6.5.2连络

6.5.3Lie群与活动标架法

6.5.4数学科学与现代物理学

习题6

第7章补充知识

7.1变分方法

7.1.1变分与变分问题

7.1.2变分原理

7.1.3更一般的变分问题

7.2Banach空间中的几个重要定理

7.2.1Stone�瞁eierstrass定理

7.2.2隐映射定理、逆映射定理

7.2.3不动点原理

7.3局部紧群上的Haar积分

习题7

参考文献

前言/序言

　　21世纪飞速发展的科学技术与人类的生产实践，对科技人员的素质、知识与能力提出

　　了新的要求。自然科学、社会科学等各个领域中的从业者，在数学思维水平、数学科学

　　知识、数学应用能力方面所具备的基础，也达到了前所未有的高度。高等数学远远不能满足新的需求，近代数学的思维、概念、理论、方法已经悄然渗透，由高端变为基础，由理论变为现实，由指导性的方向变为科学中的实践。于是，继高等数学之后，一本介绍近代应用数学的教程编写迫在眉睫。

　　近代数学所包含的范围之广，知识面之宽，内容之深，非简单几句话所能概括。为了给自然科学的主体类（如物理学、天文学、化学、计算机科学、地球科学、生命科学等）的学生准备必要的近代数学知识，南京大学在20世纪90年代，首先在基础学科教学强化部开设了继高等数学之后的半年近代数学的课程，但未正式命名，而是作为高等数学的第四个学期而设置的，周学时为5的必修课。其内容涵盖勒贝格积分、微分几何等，使学生受益匪浅。

　　随着教学改革的深入和新世纪的到来，我们把勒贝格积分编写到高等数学教程中，把非数学类学生所需的近代数学知识集中在一起，从2006年开始编写教材，2007年、2009年两次印制成讲义，并在南京大学匡亚明学院开设了为时半年的近代应用数学课程，这就是本书的雏形。对于匡亚明学院的理科强化部、物理、天文类的学生，我们采用边教边修改教学内容的方式，逐步完善而成为目前的书稿。

　　本书的内容安排如下：

　　第1章介绍集合论与近世代数基础。在集合论部分，包括集合的概念、集合的运算与集合的重要性质； 关于近世代数部分，重点放在群的结构上。特别强调如何由已知的群生成新的群（子群、积群、商群），以及这些新生群的运算结构。通过生成新群的思路，显示出近代应用数学的思维方法，这在本课程中是重中之重。

　　第2章是线性空间与线性变换。一方面是高等数学中线性代数的继续，另一方面是近世线性代数所涵盖的一部分数学基础，涉及正交几何与辛几何的结构，这在近代数学、近代物理与天文学中都起着重要作用。此外，从线性算子空间的高度，进一步认识线性空间与线性变换； 从多重线性代数的角度认识张量空间等，都为学生理解与应用近代数学打下坚实的基础。

　　第3章集中介绍点集拓扑知识。集合的拓扑结构与集合的运算结构相平行，共同构成近代数学对集合的重要处理方式，也是近代数学的重要思维方法之一。具有拓扑结构的集合称为拓扑空间。拓扑的概念来自实践，来自欧氏空间，但它高度抽象，不仅蕴含了精致的数学思维，而且成为近代应用数学中必不可少的重要概念之一。这里也要特别强调两点： 一是如何从已知的拓扑空间生成新的空间（子空间、积空间、商空间），这些新生空间的拓扑结构，是读者应当注意的重点； 二是空间上的连续映射与空间的紧性，请读者特别注意它们的意义与作用。

　　第4章是泛函分析基础。近代科学读物中常常见到的度量空间、Banach空间、Hilbert空间等，在本章中不仅给出确切的定义，而且给出它们的重要性质。由于近代数学有高度的抽象性，许多定理与性质的证明都具有清晰的思路与巧妙的方法，这不是我们在近代数学基础中所要强调的。但是对于一些具有代表性的证明，例如度量空间的完备化定理、开映射定理、共鸣定理等，我们仍不惜用较多的篇幅给出，是因为这些证明中包含了丰富的近代数学思想。泛函分析中的算子理论部分，特别是关于算子序列的收敛性，也作了重点介绍。线性泛函部分则详细介绍了共轭空间与共轭算子。

　　第5章是分布理论，包含了Fourier变换的完整内容及其近代的发展——小波变换。从Lp（Rn）（1≤p≤2）的Fourier变换、Schwartz函数的Fourier变换，到Schwartz分布的Fourier变换，详细介绍了它们的定义、性质与关系。Fourier变换在近代科学技术中的作用毋庸置疑。数学家在20世纪中叶为Fourier分析奠定了新的基础 —— 分布理论。从分布理论的高度重新认识Fourier变换，以近代数学的观点与思维对待科学研究的对象，对每一个科学研究者至关重要。希望本章能起到这个作用。

　　第6章是流形上的微积分，重点介绍了光滑流形、余切空间、切空间的引入，流形上的微分与积分的定义及运算，并以三维欧氏空间作为辅助模型，给出各种应用举例。在概念方面，本章具有高度的抽象性，仅从定义去理解，有相当大的难度。因此，本章是本书的难点部分。我们按照数学大师陈省身先生引进微分流形的思路编写了本章的内容，力图使读者从实际的三维空间出发去进行一般情形的抽象。期望读者能领会从特殊到一般、从具体到抽象、从有限到无限、从理论到应用的学习方法，从而体会近代应用数学的真谛。

　　第7章的补充知识，包含了近代应用数学中常用的方法，如变分方法； 常用的定理，如Banach空间中的Stone�瞁eierstrass定理、隐映射定理、逆映射定理、不动点原理； 还有常用的概念，如Haar积分的概念。

　　本书所选用的知识载体跨度较大，几乎包含了非数学类自然科学领域的研究工作所必备的近代应用数学知识。在数年、数次的教学实践中，我们还着力于教学手段的改革，尽力以形象思维启发抽象思维，以几何直观引导分析概念，并辅以启发性的思考题，形成一个既可独立使用的完整课程教材，又可供某些系科参考的辅助教材。

　　本书曾由南京大学数学系孙永忠教授、邱华副教授作为教材使用过，他们都提出了有价值的意见与建议。匡亚明基础学院卢德馨教授、许旺教授以及物理系肖明文教授对本书提出了宝贵意见，于本书的使用、修改起了重要作用。清华大学出版社的石磊副编审对本书编写和出版提出了很好的建议，陈明编辑对书稿进行了细致核校，在此一并致谢。

　　由于作者水平有限，对教学改革的理解还不够深刻，教材改革的思路、取材、编写等方面的不足与错误在所难免，更存在许多不尽如人意之处，敬请专家、同行和读者不吝赐教。

　　作者2015年1月于南京大学

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