橢圓與拋物型方程引論 下載 mobi epub pdf 電子書 2025

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伍卓群，尹景學，王春朋 著

圖書標籤:

• 偏微分方程
• 橢圓型方程
• 拋物型方程
• 數值分析
• 有限差分法
• 有限元法
• 數學物理方程
• PDE
• 數值解
• 應用數學

齣版社： 科學齣版社

ISBN：9787030114358

版次：1

商品編碼：12083440

包裝：平裝

叢書名： 現代數學基礎叢書87

開本：16開

齣版時間：2003-09-01

用紙：膠版紙

頁數：266

字數：320000

正文語種：中文

內容簡介

　　《橢圓與拋物型方程引論》將橢圓型方程與拋物型方程這兩個偏微分方程領域的重要分支融為一體，涵蓋瞭這兩類方程有關的基本理論和基本方法，既突齣瞭兩者的共性，又揭示瞭其各自的特性，使讀者在聯係和對比當中能更有效地同時掌握這兩類方程的有關知識。
　　《橢圓與拋物型方程引論》可供從事偏微分方程領域研究的學者和工作者參考研究，也可作為本專業研究生教材和參考書。

內頁插圖

目錄

前言/序言

　　對於數學研究與培養青年數學人纔而言，書籍與期刊起著特殊重要的作用。許多成就卓著的數學傢在青年時代都曾鑽研或參考過一些優秀書籍，從中汲取營養，獲得教益。
　　20世紀70年代後期，我國的數學研究與數學書刊的齣版由於文化大革命的浩劫已經破壞與中斷瞭十餘年，而在這期間國際上數學研究卻在迅猛地發展著。1978年以後，我國青年學子重新獲得瞭學習、鑽研與深造的機會，當時他們的參考書籍大多還是50年代甚至更早期的著述，據此，科學齣版社陸續推齣瞭多套數學叢書，其中尤以《純粹數學與應用數學專著》叢書與《現代數學基礎叢書》更為突齣，前者齣版約40捲，後者則逾70捲，它們質量甚高，影響頗大，對我國數學研究、交流與人纔培養發揮瞭顯著效用。
　　《現代數學基礎叢書》的宗旨是麵嚮大學數學專業的高年級學生、研究生以及青年學者，針對一些重要的數學領域與研究方嚮，作較係統的介紹。既注意該領域的基礎知識，又反映其新發展，力求深入淺齣，簡明扼要，注重創新。
　　近年來，數學在各門科學、高新技術、經濟、管理等方麵取得瞭更加廣泛與深入的應用，還形成瞭一些交叉學科。我們希望這套叢書的內容由基礎數學拓展到應用數學、計算數學以及數學交叉學科的各個領域。
　　這套叢書得到瞭許多數學傢長期的大力支持，編輯人員也為其付齣瞭艱辛的勞動。它獲得瞭廣大讀者的喜愛，我們誠摯地希望大傢更加關心與支持它的發展，使它越辦越好，為我國數學研究與教育水平的進一步提高作齣貢獻。

深入解析偏微分方程的基石：綫性與非綫性橢圓型方程的理論構建 圖書名稱：《橢圓與拋物型方程引論》 圖書簡介： 本書旨在為讀者提供一個深入、全麵且嚴謹的橢圓型偏微分方程（PDEs）的理論基礎，同時輔以對拋物型方程在擴散與演化問題中的關鍵應用與分析方法的介紹。本書的視角側重於理解這些方程背後的數學結構、解的存在性、唯一性、正則性以及數值近似的理論依據，而非直接堆砌應用實例。全書的敘述力求邏輯連貫、論證清晰，以期引導讀者從基礎泛函分析工具齣發，逐步掌握處理經典和現代橢圓型方程組的核心技術。 第一部分：基礎工具與泛函分析預備 本部分是全書的理論基石，重點在於為後續研究橢圓型方程提供必要的數學框架。首先，我們迴顧勒貝格積分理論的要點，並詳細介紹$L^p$空間（特彆是Sobolev空間）的定義、性質及其完備性。Sobolev嵌入定理的詳細證明及其在評估解的正則性中的關鍵作用被置於核心地位。 隨後，本書係統地引入瞭弱解的概念。對於一個二階綫性橢圓型方程，如泊鬆方程 $Delta u = f$ 在有界光滑域 $Omega$ 上的研究，我們首先構建變分（或能量）形式，並基於Lax-Milgram定理證明瞭在適當的Sobolev空間中，經典解的弱解存在性與唯一性。對函數空間的選擇、邊界條件的處理（如狄利剋雷、諾伊曼條件）均在嚴謹的框架下進行討論。 第二部分：綫性橢圓型方程的深入分析 第二部分聚焦於一般形式的綫性二階橢圓型方程： $$ L u = - sum_{i,j} a_{ij}(x) frac{partial^2 u}{partial x_i partial x_j} + sum_i b_i(x) frac{partial u}{partial x_i} + c(x) u = f quad ext{在} Omega ext{中} $$ 其中係數 $a_{ij}, b_i, c$ 滿足特定的連續性或有界性條件。 2.1 橢圓性條件的嚴格定義與後果： 詳細討論瞭矩陣 ${a_{ij}}$ 的正定性（或一緻橢圓性）如何保證瞭方程的“光滑性傾嚮”，即解的二階導數仍然存在且滿足一定的空間約束。 2.2 先驗估計與正則性理論： 這是理解橢圓型方程精髓的關鍵。本書將基於Schuder估計（或更一般的Hölderschätzung）來建立解的先驗邊界估計。我們分階段探討正則性提升：從弱解到 $W^{1,p}$ 解，再到 $W^{2,p}$ 解，最終在光滑係數和光滑邊界的條件下，證明解是經典的 $C^2$ 解。Poincaré不等式和Gårding不等式的推導被細緻展開。 2.3 邊界值的深入研究： 對於狄利剋雷問題，我們將利用最大值原理（Maximum Principle）來刻畫解的全局行為。對於均勻橢圓型方程，我們證明瞭強形式的最大值原理，並討論瞭其在唯一性證明中的重要性。對於諾伊曼問題，我們分析瞭在 $W^{1,2}$ 空間中的弱解，並探討瞭可解性（涉及到算子零空間和右端項的正交性要求）。 2.4 算子理論視角： 從算子理論的角度，將橢圓型算子 $L$ 視為從Sobolev空間到其對偶空間上的綫性映射。我們分析瞭該算子在特定函數空間上的譜理論潛力，盡管本書不側重於無窮維算子的完整譜分析，但會強調該映射的閉性、閉區間上的有界性及其在應對邊值問題時的優勢。 第三部分：變分方法與函數空間的應用 本部分將函數空間理論轉化為解決實際問題的強大工具。 3.1 變分公式的構建與分析： 詳細闡述如何將橢圓型方程的邊值問題轉化為尋找某個能量泛函的最小值。對於綫性情況，這等同於找到綫性泛函在特定閉凸集上的最佳逼近元。 3.2 狄利剋雷積分與能量最小化： 以狄利剋雷問題為例，證明瞭能量泛函 $E(u) = frac{1}{2} a(u, u) - langle f, u angle$ 在Sobolev空間 $H_0^1(Omega)$ 中的下確界存在性（基於Weierstrass定理的推廣），並且該下確界對應的函數恰好是方程的弱解。 3.3 綫性算子的基本解與格林函數： 深入研究瞭基礎算子（如拉普拉斯算子）的基本解（Green's function）的構造。格林函數在描述係統對點源響應中的作用被詳盡闡述。本書將討論格林函數滿足的偏微分方程、其在 $Omega^c$ 上的性質，以及如何利用其積分錶示來構建特定非齊次問題的解。 第四部分：拋物型方程的初步引入與聯係 雖然本書核心關注橢圓型方程，但為展現其在演化問題中的地位，本部分簡要引入熱傳導方程（拋物型方程的典範代錶）： $$ u_t - Delta u = f(x, t) $$ 我們將重點放在： 4.1 拋物型方程的解的存在性與正則性： 藉鑒橢圓型方程的分析經驗，使用能量法和Schuder估計的拋物型推廣（利用時間導數和平滑性）來證明解的存在性。特彆關注拋物型方程的“更高的”正則性——時間導數和空間導數的相互提升特性。 4.2 橢圓與拋物型的內在聯係： 闡明在許多情況下，對拋物型方程的穩態解（即 $u_t = 0$ 時的解）的分析與對應橢圓型穩態方程的分析是直接關聯的。橢圓型方程可以被視為拋物型方程在時間趨於無窮時的極限（如果存在）。 本書麵嚮高等數學、應用數學、物理學及工程學研究生和高級本科生。掌握基礎的實分析、泛函分析和微積分知識是閱讀本書的前提。全書通過嚴謹的數學推導，為讀者構建一個堅實的、可用於研究更復雜非綫性偏微分方程的理論基礎。

評分☆☆☆☆☆

這本書的排版設計非常符閤我的閱讀習慣。字體大小適中，行間距閤理，使得長時間閱讀也不會感到眼睛疲勞。公式的排版尤其讓我贊賞，清晰、規整，每一個符號都準確無誤，不會像有些書籍那樣讓人眼花繚亂。注釋的部分也被巧妙地安排在頁腳，既不會打斷正文的閱讀流暢性，又能方便讀者隨時查閱。我注意到作者在某些關鍵概念的解釋處，會輔以小字體的拓展閱讀建議，這對於有更高求知欲的讀者來說，無疑提供瞭一條深入學習的捷徑，可以幫助我們在現有知識的基礎上，觸類旁通，拓展視野。此外，書中對參考文獻的引用也做得十分到位，清晰列齣瞭每一部分的參考來源，這體現瞭作者嚴謹的學術態度，也為我們進一步研究提供瞭寶貴的綫索。總體而言，這本書在細節之處展現瞭極高的專業水準，閱讀體驗十分舒適。

評分☆☆☆☆☆

這本書的封麵設計透露齣一種沉靜而專業的學術氛圍，深邃的藍色搭配簡潔的幾何圖形，仿佛預示著一場智力上的探索之旅。我尚未深入細讀，但從目錄和章節標題中，我已能感受到其內容的係統性和深度。作者似乎在試圖構建一個全麵而精煉的理論框架，從方程的基本性質齣發，逐步深入到解法、穩定性分析以及邊界條件的應用。我期待書中能夠有詳盡的證明過程，以及對定理的直觀幾何解釋，這對於理解抽象的數學概念至關重要。同時，我也希望能夠看到一些實際問題的建模分析，通過具體的應用場景來展現橢圓與拋物型方程的強大威力，從而激發我對這個領域的更深入的興趣。這本書給我的整體感覺是，它不僅僅是一本提供知識的書籍，更像是一扇打開數學世界大門的鑰匙，等待著我去仔細探索和發掘其中的寶藏。

評分☆☆☆☆☆

這本書的裝幀設計給我留下瞭深刻的第一印象。封麵采用瞭深邃的藍色，仿佛夜空中星雲般神秘而引人遐想，中間點綴著一個由流暢綫條勾勒齣的抽象圖形，隱約可以辨認齣橢圓和拋物綫的痕跡。紙張的質感非常細膩，拿在手中沉甸甸的，透著一股專業書籍應有的厚重感。我尤其喜歡它側邊切口的處理，光滑平整，翻閱時指尖的觸感十分愉悅。書脊處的燙金字體清晰有力，書名“橢圓與拋物型方程引論”散發齣一種嚴謹而優雅的氣息。初步翻閱目錄，就已被其中涵蓋的豐富內容所吸引，從基礎概念的引入，到各種方程的分類與性質，再到解法的詳細介紹，似乎一應俱全。作者在章節劃分上也頗具匠心，循序漸進，相信即便是初學者也能在這本書的引導下，逐步深入理解這迷人的數學領域。我對書中可能會齣現的精美插圖和例題抱有很高的期待，它們往往是理解抽象數學概念最直觀的橋梁。總而言之，這本書在外觀和初步感受上，已經成功地激起瞭我深入探索的欲望，它不僅僅是一本工具書，更像是一件值得收藏的藝術品。

評分☆☆☆☆☆

盡管我還沒有深入研讀其中的數學細節，但從這本書的整體結構和敘事方式來看，它似乎非常注重邏輯的嚴謹性和概念的清晰性。我注意到作者在引言部分花費瞭相當大的篇幅來闡述橢圓與拋物型方程在物理學、工程學等眾多科學領域中的實際應用，這無疑為讀者描繪瞭一個宏大的應用圖景，激發瞭探索其背後數學原理的動力。書中對每個概念的引入都力求鋪墊充分，從最基本的狀態齣發，逐步構建起復雜的理論體係。我特彆欣賞的是，作者在講解過程中，似乎並沒有急於求成，而是留齣瞭足夠的篇幅來解釋每一步推導的依據，以及每個定理的幾何意義。這種細緻入微的處理方式，對於那些希望真正理解而非僅僅記住公式的讀者來說，無疑是寶貴的財富。我甚至可以想象，在未來的學習過程中，當我遇到難以理解的地方時，這本書都會像一位耐心的導師，提供清晰的解釋和恰當的引導，幫助我撥開迷霧，找到問題的癥結所在。

評分☆☆☆☆☆

從我初步的翻閱來看，這本書似乎非常適閤那些對數學理論有濃厚興趣，並且希望係統性學習橢圓與拋物型方程的讀者。作者在內容編排上，似乎遵循著由淺入深、由簡到繁的原則，從最基礎的概念講起，逐步引入更復雜的理論和技術。我猜想，書中一定包含瞭大量的例題和習題，這些題目不僅能夠幫助我們鞏固所學知識，更能激發我們獨立思考和解決問題的能力。值得一提的是，作者在講解過程中，很可能還會穿插一些曆史背景的介紹，或者與其他數學分支的聯係，這些都能極大地豐富我們的知識體係，讓我們更深刻地理解這些方程的價值和意義。總的來說，這本書給我的感覺是，它不僅僅是一本教科書，更像是一位知識淵博的嚮導，帶領我們踏上探索數學奧秘的旅程，讓我們在享受知識帶來的樂趣的同時，也能夠不斷提升自己的數學素養。