新舟教育·數學花園探秘係列：數論篇(套裝共3冊) 下載 mobi epub pdf 電子書 2024

編輯推薦

《新舟教育?數學花園探秘係列：數論篇》為新舟教育編寫的小學奧數研究講義。係統梳理數論各個基本知識點，題型全麵，整除、質數與閤數、完全平方數、奇偶性等。對於問題的剖析，由淺入深，易於理解，重視分析解題過程中需要注意的難點，總結方式方法，對小學生的奧數學習有極大的幫助。

內容簡介

　　《新舟教育?數學花園探秘係列：數論篇》為新舟教育編寫的小學奧數研究講義。本書係統梳理數論各個知識點，包括整除、質數與閤數、約數與倍數、餘數、完全平方數、奇偶性等。本書還注意分析學生在學習過程中需要注意的難點。

　　《新舟教育?數學花園探秘係列：數論篇》將有助於學生學習相關的奧數問題。

作者簡介

　　上海新舟教育自2010年成立，就聚集於小學奧數的教學，經過多年的發展，形成瞭完備的教材體係，形成瞭分層特彆清晰的標準化教材，並在全國各地匯集瞭一綫優秀的教師團隊，教研實力享譽全國。

目錄

上冊

第一章進製與位值

1知識溯源

2奧數論壇

第一節計算規則

第二節進製轉換

第三節進製的特性

第四節進製的應用

第五節位值原理

3奧數挑戰

第二章整除

1知識溯源

2奧數論壇

第一節整除的定義

第二節整除的基本性質

第三節常見數的整除特性

第四節整除的基本原理

第五節整除的應用

3奧數挑戰

第三章質數與閤數

1知識溯源

2奧數論壇

第一節質數與閤數的定義與性質

第二節質數的判斷方法

第三節質數與閤數的應用

3奧數挑戰

第四章約數與倍數

1知識溯源

2奧數論壇

第一節約數、倍數的概念

第二節求一個數的約數

第三節最大公約數

第四節最小公倍數

第五節最大公約數與最小公倍數的常用性質

第六節約數與倍數的應用

3奧數挑戰186

下冊

第五章餘數問題

1知識溯源

2奧數論壇

第一節帶餘數的除法

第二節餘數的特徵

第三節餘數的消除

第四節餘數定理

第五節餘數的求法

第六節中國剩餘定理

第七節費馬小定理與歐拉定理在餘數問題中的應用

3奧數挑戰237

第六章完全平方數

1知識溯源

2奧數論壇

第一節完全平方數的定義和判定方法

第二節完全平方數尾數的性質

第三節完全平方數整除和餘數的性質

第四節完全平方數的約數性質

第五節平方差公式

第六節平方和公式

3奧數挑戰

第七章奇偶性

1知識溯源

2奧數論壇

第一節奇偶性的判斷

第二節特殊的“0”

第三節奇偶性的應用

第四節奇偶性的構造

第五節圖形中的奇偶性——一筆畫問題

第六節多筆畫問題

第七節一筆畫的構造

第八節圖形染色問題

第九節圖形覆蓋問題

3奧數挑戰

精彩書摘

　　初等數論最大的特色是：極少的預備知識和定理，卻演繹齣韆變萬化的難題。這一點比幾何還要明顯，非常耐人尋味。其原因簡單地說主要有二。首先，整數有無限多，這是最基本的，不能窮盡（歐氏幾何其實已經被字母“有限化”瞭，這就是解析幾何的思想，原則上每一個平麵幾何問題都是解方程組；而且我們遇到的，都是些“小”方程組，變量一般不超過七個），甚至齣現瞭哥德爾定理：隻要包含初等數論的相容體係，都是不完備的，也就是說，必然存在既不可判定對、也無法判定錯的命題（哥德爾的工作還錶明，數論中存在任意長的證明），其復雜程度遠超平麵幾何。其次，就是在整數集中，加、減、乘是封閉的，而除法、開方等卻不封閉，這就造成很大的限製，既是數論同代數的“分野”，也成為數論問題的源泉，很多靈活的構造題也因此而生。此外，作為數論基石的素數也很重要，偏偏它既不規則，又有無限多，如果它有規則，或者隻有有限個，大量難題將不復存在，但數論的魅力也就大打摺扣瞭。

前言/序言

　　序言

　　田廷彥

　　在奧數和培優班的教學中，初等數論一直占有獨特地位。有位數學傢甚至說：誰要是把一本初等數論的習題全部做齣，就要鼓勵他將來從事數學研究。不管將來是否從事數學，數論對於促進學生的邏輯思維能力、領悟數學之美感，具有難以替代的作用。此外，由於自然數是人類認識的最基本對象之一，自然也不會被忽略（有人開玩笑說，外星文明若是存在，也不可能忽略自然數研究）。正是這個共識，使得初等數論從小學、初中、高中競賽乃至國際數學奧林匹剋（IMO）中，都是命題的重中之重。

　　初等數論最大的特色是：極少的預備知識和定理，卻演繹齣韆變萬化的難題。這一點比幾何還要明顯，非常耐人尋味。其原因簡單地說主要有二。首先，整數有無限多，這是最基本的，不能窮盡（歐氏幾何其實已經被字母“有限化”瞭，這就是解析幾何的思想，原則上每一個平麵幾何問題都是解方程組；而且我們遇到的，都是些“小”方程組，變量一般不超過七個），甚至齣現瞭哥德爾定理：隻要包含初等數論的相容體係，都是不完備的，也就是說，必然存在既不可判定對、也無法判定錯的命題（哥德爾的工作還錶明，數論中存在任意長的證明），其復雜程度遠超平麵幾何。其次，就是在整數集中，加、減、乘是封閉的，而除法、開方等卻不封閉，這就造成很大的限製，既是數論同代數的“分野”，也成為數論問題的源泉，很多靈活的構造題也因此而生。此外，作為數論基石的素數也很重要，偏偏它既不規則，又有無限多，如果它有規則，或者隻有有限個，大量難題將不復存在，但數論的魅力也就大打摺扣瞭。

　　在長期的教學過程中，我們發現不少同學難免地患有“數論恐懼癥”，這正是因為：數論的預備知識極少，但題量卻極為豐富，這導緻學生難以掌握，思路阻塞。這也難怪，有的問題的關鍵思路非常隱蔽：如正整數A整除B，則A不大於B，這條連馬路上的人都毫無睏難地理解的結果，卻隱藏在很多難題的解法裏，一旦沒有想到，就會成為睏擾，苦苦無法解決。所以，我們在數論學習中，切記不能忘記那些所謂的“顯然結論”，畢竟，“顯然結論”的用處並不顯然！

　　那麼，如何提高學習數論的水平呢？這個從大道理來說，便是“熟能生巧”，這落實到具體問題上卻不是廢話。

　　我的答案之一是：選擇比較好的書進行閱讀也是有用的。

　　奧數在中國發展30多年，也有很多優秀的作品問世。奧數書大體可分為兩類：一種是習題集，以《中等數學》及幾套國內外的奧數問題集為代錶；一種是講義或講座，其分類方式是按知識點和年級分（當然，也有綜閤的）。

　　前者往往是資料的堆積，當然，由於這些奧數問題大都不簡單，如果能夠解答或翻譯準確，也是件花費很多功夫的事情，而且資料越新越有價值。後者的特色是係統性較強，作者的創造性勞動更顯突齣，但如果因循守舊，拿一些已齣講義的目錄搬過來做些小改，也不是什麼難事。因此，編寫講義彈性極大——有的敷衍瞭事，有的則精益求精。

　　講義適閤初學者和入門者，而光看習題集就能提高自己的，也隻能是少數高手瞭。因此，好的講義的讀者麵更為廣闊。

　　我見過、買過大量優秀的奧數著作，這本書是筆者以為近年來很齣色的數論講義。

　　當我看到目錄時，就為之驚嘆。即使進位製的問題多多，但能做齣如此細緻的目錄和分類，我還是頭一次看到。除瞭常見的十進製、二進製，還有混閤進製，以及不同的位采用不同的進位製——對稱三進製、黃金進製等；進位製的應用中還包括抽殺、遊戲、體育比賽中的應用，真是讓人大開眼界！這是多少年的積纍纔能達到的程度啊！我甚至覺得自己若是拿到此書，也應該好好學一學。

　　本書就是要作這樣的試探，比如探索一些題型，研究一些比較常見的解題思路。而且，作為小學算術的銜接和提升，初等數論與算術、初中代數乃至幾何都有韆絲萬縷的關係，其平颱和門檻較低，由淺入深，而且不乏一些較為有趣然而並不簡單的故事。

　　本書將分成幾大闆塊，每一闆塊都會重點介紹一些概念、例題和方法，形式比較活潑。同時，本書也具有相當的實用性，盡力搜集瞭範圍內的各種典型問題，同類題采取聚類方式，並作簡短而不平凡的提示，讓學生可以較為輕鬆地舉一反三，達到事半功倍的效果。

　　本書一個不可不提的特點是，新題量大並兼顧老題。數論是一個永遠沒有窮盡的領域，寫書也必然要與時俱進。經過30多年的演變，奧數不僅在問題上推陳齣新，在係統性的講義上，也終於進化到臻於完美的地步。

　　希望讀者能通過本書改變對數論的看法，不僅讓“腦洞”大開，切切實實提高自己的水平，而且能熱愛數論，體會數論之靈活多變和精美絕倫。

　　目前，大傢關於奧數和奧數熱有很多爭議，有很多人對待奧數的態度失之偏頗。在此，我也提一下自己的看法，也許對選擇奧數的傢長和孩子有益。當然，那些大傢耳熟能詳、老生常談的東西就不多說瞭。

　　對於人的改造，嚮來有三種觀點，一種是理性改造派，也就是我們學校裏通常的教育，數學教育是其核心之一。因為數學及物理是理性精神最強大也是最具體的支撐（後麵會提到，反理性主義者特彆痛恨數學，其主要原因還不是數學在日常生活中“無用”，而是數學暴露瞭他們的無知和局限，需要他們低下高傲的頭，虛心學習，與他們“世界之大，唯我獨尊”的觀念相抵觸），曆史上的大教育傢，如柏拉圖乃至孔夫子基本上都算是理性改造派，認為通過理性獲得知識，修身養性，可以達到更高的自由。一種是非理性改造派，即通過宗教儀式或內省的方式，而不是邏輯推理或實驗的方式，來獲得所謂的解脫、提升、無我境界。第三種就是反理性主義一派，主張有我，拒絕改造，自由散漫，不知天高地厚。這一派可謂風靡20世紀，影響力一直持續到今天。反理性主義有它荒謬的一麵，但它也有強有力的“法寶”：指責古人虛僞——“明知不可為而為之”，“無我”也似乎是不可能的。

　　現在的人當然不可能拋棄曆史包袱，所以在多方麵都有所傳承。人們在小時候比較聽話，對世界充滿好奇，較易接受理性改造；過瞭青春期之後的幾十年裏，人們更傾嚮於反理性主義，因為這段時間他最為強大和獨立;到瞭年老多病時，人們纔容易意識到自己是如此地不堪一擊甚至微不足道，這個時候就有人篤信宗教、多做善事，亦不再鋒芒畢露，不再盛氣淩人，繼而成為非理性改造派。

　　起源於17世紀的理性主義和風靡20世紀的反理性主義，當然會有一番長時期的、此消彼長的較量。這同樣反映到每一所學校、每一個傢庭、每一個人身上。現在的老師或傢長拼命叫孩子讀這讀那，難道他們自己年輕的時候就不曾叛逆、不曾貪玩？

　　在孩子很小的時候，傢長都認為他們是天纔，這也是典型的反理性主義。奧數是一種精英主義教育，多數人不是精英，當然學得嗷嗷叫瞭。做不齣題、比不過彆人，就說奧數無聊，卻從不懷疑自己的孩子究竟是不是擅長這方麵——是的，一切自欺都很難被意識到。

　　現在鼓吹個性，這往往被人誤解為對精英主義的否定。其實這又是何必？體育不是把大眾（參與）和精英（金銀牌）結閤得很好麼？

　　許多人因為數學抽象難懂便敬而遠之，有幾個文人不僅“遠之”而且不敬，一有機會就說數學的壞話。他們的理由不是數學難、繁之類，而是後現代主義情境下對理性的否定，和對“個性”的無限張揚。其實何止是數學，所有閤乎理性、有循規蹈矩嫌疑的東西都可能受到他們的一頓臭批，但是他們犯瞭一個“天大”的錯誤——他們對理性的判定和謾罵本身就需要理性和邏輯，如果連這個都不要，何來自由與個性？難道他們生病不上醫院？或者因為CT包含數學原理就拒絕檢查？也許他們心裏也清楚得很，隻是說些驚世駭俗的話來奪人眼球，也為自己學習數學的這段不堪經曆而泄憤罷瞭。至於那些“附和”他們的人，究竟是純粹湊湊熱鬧，還是真的相信他們的不負責的言語，便不得而知瞭。

　　自由個性其實是生活、政治哲學的範疇，也就是說我們應該去否定、衝破三從四德，在穿著打扮上可以個性化一點，可以自我一點；但是，在學術範疇，特彆是數學自然科學範疇，精英還是要存在、要強調（這是選拔的重要途徑）的，我們不能因為太自信瞭，就隨隨便便去跟國際數學奧林匹剋（IMO）國傢隊甚至牛頓、愛因斯坦比！

　　近十年來的科學與後現代之爭，其實也可以看成對精英主義的對立態度之爭。社會現在已走嚮兩極，一是實證主義的強大力量，導緻社會的考證熱、競賽熱；一是消費主義、娛樂至上。我不喜歡兩種極端並存，覺得中庸之道比較閤理。但或許這是我理解的錯誤，社會可能本來就是各種極端的組閤，我們需要培養的，僅僅是中庸的心態。

　　周圍有很多人自得其樂，很知足，其實主要是得不到。他們讀的都是休閑類讀物，這對於一些人來說就足夠瞭。但我至今未見過一個拼命自學代數拓撲的人僅僅要求自得其樂就可以瞭！奧數也一樣，需要花費極大的功夫，多少同學為此起早摸黑。你見過這類人僅僅在自得其樂嗎？

　　理性主義、精英主義起源於古希臘。古希臘之所以偉大，乃是因為它明確提齣瞭一種哲學，與專製主義（皇權、神權等）徹底分離開來。世界其他古代文明也有這樣的思想，但在古希臘結的果實最為豐碩。古希臘人對真理、對人的獨立精神、對藝術和體育之美的追求，是為人類作齣的偉大貢獻，這就是精英主義與奧林匹剋精神。在古代中國，科舉製度歸根結底還是專製主義的附庸。

　　文藝復興時期，人們重新認識瞭精英主義。到近代，奧運會也開始重新舉辦。不過到瞭後現代主義風行的時代，人們把專製主義和精英主義一塊兒否定，認為它們束縛瞭大多數人的自由空間。為瞭追求所謂的真實，後現代主義有一種趨嚮徹底反叛任何秩序、規矩、理性的味道。

　　精英主義確實也有點問題。絕大多數人之所以選擇功利主義而不是精英主義，是因為他們很難成為精英；而選擇功利主義，或多或少可以實現全部或部分理想。

　　但是，這真是一個悖論。奧數如果真的走精英主義道路，它的範圍是不會如此之大的，正是由於功利主義纔産生瞭今天的局麵，纔會樹大招風。功利主義是這個世界上影響最廣的人生價值觀念。道理很簡單，人活在世上，離不開衣食住行，人首先關心的必定是生存，即對物質和生的欲望。注意，這裏的物質的含義是廣泛的，不僅包括財産，還包括權力等，也就是說，不僅僅是那些看得見摸得著的東西。這概括瞭物質更本質、更深刻的特性：強烈的排他性，不能分享，你有我無，你多我少。但是，如果沒有強烈的排他性，還會有競爭嗎？

　　當代功利主義，是對過去的理性主義、精英主義以及反理性主義、娛樂社會矛盾的綜閤利用。中國式奧數熱或許有它自身的不完善之處，還需要進一步完善，但它存在的閤理性是毋庸置疑的。或者說，它的問題不在於功利性，而在於功利的程度。功利主義是一扇大門，大張旗鼓地把大傢拉進來，這是它的功勞，你需要看到的，是門內的另一種風景。

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