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同济大学数学系 编

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出版社： 高等教育出版社

ISBN：9787040396621

版次：7

商品编码：12241749

包装：平装

丛书名： “十二五”普通高等教育本科国家级规划教材

开本：16开

出版时间：2014-07-01

用纸：胶版纸

页数：358

字数：410000

正文语种：中文

内容简介

　　《高等数学（第7版 下册）》是同济大学数学系编的《高等数学》第七版，从整体上说与第六版没有大的变化，内容深广度符合“工科类本科数学基础课程教学基本要求”，适合高等院校工科类各专业学生使用。
　　《高等数学（第7版 下册）》本次修订遵循“坚持改革、不断锤炼、打造精品”的要求，对第六版中个别概念的定义，少量定理、公式的证明及定理的假设条件作了一些重要修改；对全书的文字表达、记号的采用进行了仔细推敲；个别内容的安排作了一些调整，习题配置予以进一步充实、丰富，对少量习题作了更换。所有这些修订都是为了使《高等数学（第7版 下册）》更加完善，更好地满足教学需要。
　　《高等数学（第7版 下册）》分上、下两册出版，下册包括向量代数与空间解析几何、多元函数微分法及其应用、重积分、曲线积分与曲面积分、无穷级数等内容，书末还附有习题答案与提示。

内页插图

目录

第八章 向量代数与空间解析几何
第一节 向量及其线性运算
一、向量的概念
二、向量的线性运算
三、空间直角坐标系
四、利用坐标作向量的线性运算
五、向量的模、方向角、投影
习题8-1
第二节 数量积向量积混合积
一、两向量的数量积
二、两向量的向量积
三、向量的混合积
习题8-2
第三节 平面及其方程
一、曲面方程与空间曲线方程的概念
二、平面的点法式方程
三、平面的一般方程
四、两平面的夹角
习题8-3
第四节 空间直线及其方程
一、空间直线的一般方程
二、空间直线的对称式方程与参数方程
三、两直线的夹角
四、直线与平面的夹角
五、杂例
习题8-4
第五节 曲面及其方程
一、曲面研究的基本问题
二，旋转曲面
三、柱面
四、二次曲面
习题8-5
第六节 空间曲线及其方程
一、空间曲线的一般方程
二、空间曲线的参数方程
三、空间曲线在坐标面上的投影
习题8-6
总习题八

第九章 多元函数微分法及其应用
第一节 多元函数的基本概念
一、平面点集+n维空间
二、多元函数的概念
三、多元函数的极限
四、多元函数的连续性
习题9-1
第二节 偏导数
一、偏导数的定义及其计算法
二、高阶偏导数
习题9-2
第三节 全微分
一、全微分的定义
二、全微分在近似计算中的应用
习题9-3
第四节 多元复合函数的求导法则
习题9-4
第五节 隐函数的求导公式
一、一个方程的情形
二、方程组的情形
习题9-5
第六节 多元函数微分学的几何应用
一、一元向量值函数及其导数
二、空间曲线的切线与法平面
三、曲面的切平面与法线
习题9-6
第七节 方向导数与梯度
一、方向导数
二、梯度
习题9-7
第八节 多元函数的极值及其求法
一、多元函数的极值及最大值与最小值
二、条件极值拉格朗日乘数法
习题9-8
第九节 二元函数的泰勒公式
一、二元函数的泰勒公式
二、极值充分条件的证明
习题9-9
第十节 最小二乘法
习题9-10
总习题九

第十章 重积分
第一节 二重积分的概念与性质
一、二重积分的概念
二、二重积分的性质
习题10-1
第二节 二重积分的计算法
一、利用直角坐标计算二重积分
二、利用极坐标计算二重积分
三、二重积分的换元法
习题10-2
第三节 三重积分
一、三重积分的概念
二、三重积分的计算
习题10-3
第四节 重积分的应用
一、曲面的面积
二、质心
三、转动惯量
四、引力
习题10-4
第五节 含参变量的积分
习题10-5
总习题十

第十一章 曲线积分与曲面积分
第一节 对弧长的曲线积分
一、对弧长的曲线积分的概念与性质
二、对弧长的曲线积分的计算法
习题11-1
第二节 对坐标的曲线积分
一、对坐标的曲线积分的概念与性质
二、对坐标的曲线积分的计算法
三、两类曲线积分之间的联系
习题11-2
第三节 格林公式及其应用
一、格林公式
二、平面上曲线积分与路径无关的条件
三、二元函数的全微分求积
四、曲线积分的基本定理
习题11-3
第四节 对面积的曲面积分
一、对面积的曲面积分的概念与性质
二、对面积的曲面积分的计算法
习题11-4
第五节 对坐标的曲面积分
一、对坐标的曲面积分的概念与性质
二、对坐标的曲面积分的计算法
三、两类曲面积分之间的联系
习题11-5
第六节 高斯公式通量与散度
一、高斯公式
二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件
三、通量与散度
习题11-6
第七节 斯托克斯公式环流量与旋度
一、斯托克斯公式
二、空间曲线积分与路径无关的条件
三、环流量与旋度
习题11-7
总习题十一

第十二章 无穷级数
第一节 常数项级数的概念和性质
一、常数项级数的概念
二、收敛级数的基本性质
三、柯西审敛原理
习题12-1
第二节 常数项级数的审敛法
一、正项级数及其审敛法
二、交错级数及其审敛法
三、绝对收敛与条件收敛
四、绝对收敛级数的性质
习题12-2
第三节 幂级数
一、函数项级数的概念
二、幂级数及其收敛性
三、幂级数的运算
习题12-3
第四节 函数展开成幂级数
习题12-4
第五节 函数的幂级数展开式的应用
一、近似计算
二、微分方程的幂级数解法
三、欧拉公式
习题12-5
第六节 函数项级数的一致收敛性及一致收敛级数的基本性质
一、函数项级数的一致收敛性
二、一致收敛级数的基本性质
习题12-6
第七节 傅里叶级数
一、三角级数三角函数系的正交性
二、函数展开成傅里叶级数
三、正弦级数和余弦级数
习题12-7
第八节 一般周期函数的傅里叶级数
一、周期为21的周期函数的傅里叶级数
二、傅里叶级数的复数形式
习题12-8
总习题十二

习题答案与提示

探索微积分的深邃奥秘：《微分几何导论》 内容简介： 本书旨在为读者提供一个全面而深入的微分几何学基础。微分几何作为连接代数、分析与几何的桥梁，是现代数学，特别是理论物理学、计算机图形学以及机器人学等领域不可或缺的工具。我们专注于构建清晰的几何直觉，并辅以严格的数学论证，引导读者从经典的曲线和曲面理论，逐步迈向现代微分流形的概念。 全书结构严谨，内容涵盖了从欧几里得空间中的基础概念到抽象流形上的张量分析。我们相信，真正的理解源于对具体例子的深入剖析，因此书中穿插了大量的计算示例和几何直观的讨论。 第一部分：平面与空间中的几何基础 (欧氏空间 $mathbb{R}^n$) 本部分着重于建立读者对曲线和曲面的初步认知。我们将从向量场、方向导数和梯度的概念出发，为后续的微分运算打下基础。 曲线理论： 考察在三维欧氏空间中曲线的局部性质。我们将详细阐述弧长参数化、 Frenet-Serret 标架（切向量、主法向量、副法向量）的意义及其微分方程组。通过计算曲率和挠率，读者将能够精确描述空间曲线的弯曲程度和扭转情况。此外，我们还会讨论等距变换（Isometries）对曲线几何性质的影响。 曲面理论： 这是本部分的核心。曲面的研究从第一、第二基本形式开始。第一基本形式 $(mathrm{I})$ 允许我们在曲面上定义内蕴的度量结构，如长度、角度和面积。第二基本形式 $(mathrm{II})$ 则描述了曲面如何嵌入三维空间，引入了曲率的概念。 我们将深入探讨主曲率、高斯曲率 ($K$) 和平均曲率 ($H$)。高斯曲率的意义非凡，它体现了“内蕴”几何的本质——即一个生活在曲面上的观察者，仅通过在曲面上行走所能测量的几何量。欧拉公式和柯西-魏尔斯特拉斯定理将作为理论的里程碑。我们特别关注平直曲面（如圆柱、圆锥）和二次曲面（如椭球面、抛物面、双曲面）的分类。 第二部分：内蕴几何与测地线 本部分将视野从外部嵌入空间转向曲面本身，这是微分几何思想的飞跃。 测地线： 测地线被定义为曲面上的“最短路径”或“最直的路径”。我们将通过变分原理（欧拉-拉格朗日方程）推导出测地线的微分方程，并分析其物理意义（如光线传播路径）。对于旋转曲面（如球面、环面），我们将计算其测地线的具体方程，并讨论它们是否总是最短路径的问题。 第二基本形式与曲率的内蕴性： 我们将证明高斯绝妙定理（Theorema Egregium），该定理指出高斯曲率 $K$ 仅依赖于第一基本形式，是曲面的一个内蕴不变量。这标志着我们开始真正研究“弯曲的空间”本身，而非其嵌入方式。 第三部分：从曲线到流形——现代几何的基石 为了处理更高维度的空间以及更复杂的拓扑结构，我们需要引入微分流形的概念。 微分流形基础： 我们将流形定义为局部上看起来像 $mathbb{R}^n$ 的拓扑空间，并配以合适的坐标系（图册）。光滑性要求坐标变换是光滑的，这使得我们可以在流形上进行微积分运算。我们将讨论切空间 $T_p M$ 的概念——它是流形上所有可能方向的集合，是分析微分算子（如梯度、散度、旋度）的局部线性化工具。 张量分析： 张量是现代微分几何的语言。我们将定义协变张量（如下指标的 $k$-重线性函数）和反变张量（上指标的函数）。向量场在坐标变换下如何变化，正是反变张量的体现。度量张量 $g$（即第一基本形式在流形上的推广）允许我们在切空间上定义内积，从而定义长度、角度和测地线。 协变导数与黎曼曲率： 在流形上，我们不能简单地比较不同点的向量，因为它们位于不同的切空间中。因此，需要引入“协变导数” $ abla$，它提供了一种在流形上平行移动向量的无歧义方式。黎曼曲率张量 $R$ 是协变导数的“非零性”的量度，它衡量了曲率的内在程度。我们将展示黎曼曲率张量如何概括高斯曲率，并解释它在爱因斯坦引力场理论中的核心地位。 应用展望： 本书的最后将简要触及微分形式和霍奇理论的初步概念，展示如何利用外微分 $mathrm{d}$ 将梯度、旋度和散度统一在一个框架之下，为读者向微分拓扑和拓扑场论的深入学习铺平道路。 本书特色： 1. 几何驱动，代数支撑： 每一个抽象概念都始于直观的几何模型，随后用严谨的代数工具进行形式化。 2. 计算详尽： 大量详细的计算步骤，特别是在处理二次曲面和旋转曲面的曲率计算中。 3. 强调内蕴性： 逐步引导读者理解区分“嵌入几何”与“内蕴几何”的重要性，这是掌握广义相对论的关键一步。 本书适合具备扎实微积分（单变量和多变量）和线性代数基础的理工科高年级本科生、研究生，以及需要复习和深入理解几何分析的科研人员。阅读本书后，您将对空间本身的弯曲性质拥有深刻而精确的数学理解。

评分☆☆☆☆☆

第五段评价 从这本书的装帧设计来看，就透露出一种“专业”和“耐读”的气质。纸张的质量很好，字体清晰，排版合理，即使长时间翻阅也不会感到疲劳。我特别喜欢它在讲解一些涉及“复杂函数”和“微分几何”的内容时，给出的清晰的图示和几何模型。这些图示不仅仅是简单的插图，更是帮助理解抽象概念的关键。例如，在学习复变函数中的“复积分”时，书中用大量的二维图形来展示复平面上的路径和函数映射，让我能够直观地理解柯西积分定理的几何意义。这种可视化的教学方式，对于我这种形象思维比较强的人来说，简直是雪中送炭。而且，书中还包含了不少“拓展阅读”和“思考题”，这些内容往往会引导读者去探索更深层次的数学问题，或者将所学知识应用到新的领域，这极大地拓展了我的视野，让我对数学的兴趣不仅仅局限于课本内容，更能体会到数学的无限可能性。总的来说，这本书是一部非常出色的高等数学教材，它既有严谨的理论深度，又有生动的实践应用，是值得反复研读的经典之作。

评分☆☆☆☆☆

第二段评价 说实话，拿到这本《高等数学（第7版 下册）》的时候，我心里其实是有点打鼓的。毕竟“高等数学”这个名字听起来就够唬人的，更何况是“下册”，感觉难度系数又要直线飙升。但事实证明，我的担心是多余的。这本书的内容虽然深入，但讲解却非常到位。它不仅仅是罗列公式和定理，更注重对概念的深入剖析和直观的几何解释，这一点对于我这种更偏向于理解而非死记硬背的学生来说，简直是福音。尤其是在学习概率论和数理统计的部分，这本书通过大量的实际例子，将抽象的数学概念变得生动形象，让我不再觉得那些概率密度函数、期望、方差是冰冷的符号，而是能理解它们背后所代表的实际意义，以及它们如何帮助我们分析和理解现实世界中的各种不确定性。每当遇到难以理解的定理，书中都会给出多种证明方式，或者从不同角度去阐释，让我能够找到最适合自己的理解方式。而且，书中提供的习题难度梯度设置也很合理，从易到难，逐步巩固所学知识，让我充满了自信。这本书真的让我体会到了数学的魅力，原来那些看似复杂的东西，一旦理解了其内在逻辑，就会变得豁然开朗。

评分☆☆☆☆☆

第四段评价 这本书带给我的，更多的是一种“严谨”和“系统”的学习体验。它在处理一些偏向理论证明的部分，比如傅里叶级数和拉普拉斯变换，做得非常扎实。书中对于每一个定理的提出，都会附带严谨的证明过程，并且会明确指出证明的前提条件，让我能够理解定理的适用范围，避免误用。我记得当年学习傅里叶变换的时候，对那个积分的收敛性问题总是搞不清楚，但这本书里对收敛性的讨论非常细致，并且给出了几个典型的函数序列的收敛性分析，让我最终理解了为何它能够将复杂的周期函数分解为简单的正弦和余弦函数的叠加。此外，这本书的语言风格也十分严谨，用词精准，逻辑性强，读起来让人感觉非常舒服。虽然有时候会觉得有些章节的内容比较“硬核”，需要反复阅读和思考，但正是在这种反复的打磨中，我才真正地掌握了这些知识。它不像一些教材那样追求“通俗易懂”而牺牲了严谨性，而是用一种“严谨而不失深度”的方式，引领读者一步步攀登数学的高峰。

评分☆☆☆☆☆

第三段评价 对于这本书，我最深刻的印象就是它的“厚重感”和“实用性”。它不是那种薄薄一本，走马观花式的教材，而是真正地深入挖掘每一个知识点，力求让读者理解透彻。我尤其欣赏书中在讲解线性代数和数值分析的部分，那些关于矩阵运算、特征值、行列式等概念，在书中被讲解得条理清晰，配合着大量的图示和向量空间的几何意义解释，让我对这些抽象的概念有了直观的认识。书中的例题设计也非常精妙，很多题目不仅仅是简单的计算，更是引导你去思考问题，去发现规律，去构建解题思路。我记得有一次，我在做一道关于求解线性方程组的题目时，遇到了瓶颈，翻看了书中的相关章节，发现它提供了一种基于高斯消元法和LU分解的通用解法，并且详细解释了每一步的原理，让我茅塞顿开，最终顺利解决了问题。这本书的另一个亮点在于，它不仅仅局限于理论讲解，还包含了许多实际应用方面的案例，比如在工程、经济、计算机科学等领域如何运用高等数学的知识，这让我在学习理论的同时，也看到了数学的巨大价值和广阔前景，极大地激发了我学习的动力。

评分☆☆☆☆☆

第一段评价 这本书的封面设计就透着一股严谨的气息，深邃的蓝色背景搭配简洁的白色字体，让我想起了在无数个夜晚，借着台灯微弱的光，翻阅它时的那种专注。翻开目录，那些熟悉的符号和名词扑面而来，仿佛瞬间把我拉回了那个充满挑战又令人着迷的大学课堂。我记得当年学习微积分的时候，对那些极限、导数、积分的概念总是似懂非懂，尤其是涉及到多变量微积分和微分方程的时候，感觉脑袋都要炸开了。这本书简直就是那个时候我最坚实的后盾，每次卡壳的地方，都能在里面找到清晰的解释和例题。它的编排逻辑非常清晰，从最基础的概念讲起，层层递进，每一个公式的推导都详略得当，既不显得枯燥乏味，又能让我理解其精髓。而且，书中大量的习题更是让我受益匪浅，从基础练习到综合应用，每一次完成都觉得自己的数学能力又上了一个台阶。虽然现在已经毕业多年，但偶尔翻开这本书，那些曾经的奋斗和汗水仿佛又涌上心头，提醒着我曾经付出的努力和收获的成长。这本书不仅仅是一本教材，更像是我求学生涯中的一个重要里程碑，见证了我学术道路上的每一次进步。

评分☆☆☆☆☆

西班牙语:Relacionados con lo que yo, me vino a un salsa de soja.

评分☆☆☆☆☆

"I never had a mother, but he never had a childhood. And when you never get to have something, you become obsessed by it. I

评分☆☆☆☆☆

8、今天看到同学空间秀儿子刚出生的照片。看到一条评论亮瞎了我的眼。

评分☆☆☆☆☆

数学形式的独特之美，只要一打开任一本数学书，这样的感觉便在心中生起。

评分☆☆☆☆☆

5、问美女有没有交男朋友，她回复“不告诉你”，是什么意思?

评分☆☆☆☆☆

俄 语:Я,касающихся того, что я пришел к соевым соусом.

评分☆☆☆☆☆

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评分☆☆☆☆☆

好棒棒么么哒书好便宜怎么能那么便宜简直就是么么哒哈哈哈哈被我打败了全都一起上吧我根本不在怕

评分☆☆☆☆☆

非常好非常好非常好非常好非常好非常好非常好非常好非常好