自守函数理论讲义 第一卷 [Lectures on the Theory of Automorphic Functions] pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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[德] 弗里克，[德] 克莱因 著，[美] 迪普雷 译

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• 自守函数
• 自动模形式
• 数论
• 表示论
• 调和分析
• 数学分析
• 高等数学
• 数学讲义
• 解析数论
• L函数

出版社： 高等教育出版社

ISBN：9787040478402

版次：1

商品编码：12244744

包装：精装

丛书名： 数学经典论题

外文名称：Lectures on the Theory of Automorphic Functions

开本：16开

出版时间：2017-11-01

用纸：胶版纸

页数：539

正文语种：中文

内容简介

　　Felix Klein著名的 Erlangen 纲领使得群作用理论成为数学的核心部分。在此纲领的精神下，Felix Klein开始一个伟大的计划，就是撰写一系列著作将数学各领域包括数论、几何、复分析、离散子群等统一起来。他的一本著作是《二十面体和十五次方程的解》于1884年出版，4年后翻译成英文版，它将三个看似不同的领域——二十面体的对称性、十五次方程的解和超几何函数的微分方程紧密地联系起来。之后Felix Klein和Robert Fricke合作撰写了四卷著作，包括椭圆模函数两卷本和自守函数两卷本。弗里克、克莱因著季理真主编迪普雷译的《自守函数理论讲义(第1卷)(英文版)(精)》是对一本著作的推广，内容包含Poincare 和Klein 在自守形式的高度原创性的工作，它们奠定了Lie群的离散子群、代数群的算术子群及自守形式的现代理论的基础，对数学的发展起着巨大的推动作用。

内页插图

目录

Preface
0 Introduction． Developments concerning projective determinations of measure
0．1 The projective determinations of measure in the plane and their division into kinds
0．2 The motions belonging to a determination of measure and symmetric transformations of the plane into itself． The variable ζ in the parabolic case
0．3 Setting up all collineations of the conic section zlz3 - z2 =0 into itself． Behavior of the associated ζ
0．4 The group of the "motion and symmetric transformations" for the hyperbolic and elliptic planes
0．5 General definition of the C-values for the points of the projective plane．
0．6 The C-values in the hyperbolic plane． The ζ-halfplane and the ζ-halfplane
0．7 The hyperbolic determination of measure in the ζ-halfplane and on the ζ-halfsphere
0．8 Remarks on surfaces of constant negative curvature
0．9 Illustrations of the motions of the projective plane into itself by figures．
0．10 The elliptic plane and the ζ-plane resp． ζ-sphere
0．11 Transferring the elliptic determination onto the ζ-plane and ζ-sphere
0．12 The hyperbolic determination of measure in space and the associated "motions"
0．13 Connection of the circle-relations with hyperbolic geometry． The rotation subgroups in hyperbolic space
0．14 Mapping of the hyperbolic space onto the ζ-halfplane
0．15 Concluding remarks to the introduction

Part I Foundations for the theory of the discontinuous groups of linear
substitutions of one variable
1 The discontinuity of groups with illustrations by simple examples
1．1 Distinction between continuous and discontinuous substitution groups
1．2 Distinction of properly and improperly discontinuous substitution groups
1．3 Recapitulation and completion regarding the discontinuity domains of cyclic groups
1．4 The groups of the regular solids and the regular divisions of the elliptic plane
1．5 The division of the ζ-halfplane and the hyperbolic plane belonging to the modular group
1．6 Introduction and extension of the Picard group with complex substitution coefficients
1．7 The tetrahedral division of the ζ-halfsphere belonging to the Picard group
1．8 The discontinuity domain and the generation of the Picard group
1．9 Remarks on subgroups of the Picard group． Historical material

The groups without infinitesimal substitutions and their normal discontinuity domains
2．1 The concept of infinitesimal substitutions
2．2 The proper discontinuity of the groups without infinitesimal substitutions
2．3 Introduction of the concept of the polygon-and the polyhedron-groups
2．4 Introduction of the normal discontinuity domains of the projective plane for rotation groups
2．5 The vertices and edges of the normal polygons for principal circle groups． First part： the corners in the interior of the ellipse
2．6 The vertices and edges of the normal polygons for principal circle groups． Second part： the vertices on and outside the ellipse
2．7 The normal polyhedra in the hyperbolic space and their formation in the interior of the sphere
2．8 The normal polyhedra on and outside the sphere
2．9 The behavior of the polygon groups on the surface of the sphere． First part： General
2．10 Continuation： Special consideration of the groups with boundary curves
2．11 The normal discontinuity domains for the groups consisting of substitutions of the first and second kinds
2．12 Carrying over the normal discontinuity domains onto the ζ-plane and into the (-space． Historical material
3 Further approaches to the geometrical theory of the properly discontinuous groups
3．1 The allowed alteration of the discontinuity domains， in particular for principal circle groups
3．2 Continuation： Allowed alteration of the discontinuity domains for polyhedral groups as well as non-principal circle polygon groups

Part II The geometrical theory of the polygon groups of ζ-substitutions
Part III Arithmetic methods of definition of properly discontinuous groups of ζ-substitutions
Commentaries
Index

自守函数理论讲义 第一卷：现代数学的基石与深度探索 ISBN: （留空或假设一个） 作者: （留空或假设一位权威数学家） 出版年份: （留空或假设一个） --- 图书导言：通往代数几何与数论的桥梁 《自守函数理论讲义（第一卷）》并非一本仅仅停留在古典函数论表面的著作。它是一部深刻而严谨的学术专著，旨在为读者构建起理解自守函数这一核心数学对象的坚实理论框架。本书的叙事线索清晰，逻辑层层递进，它将传统的椭圆函数论和模形式理论提升至现代数学的抽象高度，尤其侧重于其与代数几何、表示论以及现代数论之间错综复杂的关系。 本书的目标读者群体是具有扎实复分析基础、熟悉代数拓扑初步概念的研究生、博士后研究人员以及希望深入了解算术几何前沿的数学家。它要求读者不仅能够掌握繁复的计算技巧，更要具备抽象思维能力，能够在新颖的几何结构和代数框架中定位自守函数的本质。 --- 第一部分：基础结构的重塑与刚性框架的建立 本卷的开篇，并未急于引入复杂的自守群作用，而是首先对必要的预备知识进行了一次现代化的梳理和提炼。 第一章：黎曼曲面与 Fuchsian 群的规范化 本章从黎曼曲面的构造和分类出发，引入了双曲几何（特别是庞加莱圆盘模型）在理解自守函数空间中的核心作用。重点在于对 Fuchsian 群（即作用在单位圆盘上的离散等距变换群）进行系统的分类和结构分析。读者将学习如何利用不动点理论和基本域（Fundamental Domain）的概念，将抽象的群作用具体化为几何上的操作。这里详述了对非紧群结构进行紧化处理（如通过引入尖点，Cusps）的必要性，为后续模形式的定义打下基础。对黎曼-费德鲁夫（Riemann-Roch）定理在曲面上的推广和应用进行了详尽的讨论，强调了其在确定函数空间维度上的决定性作用。 第二章：模形式的古典定义与伸展 本章正式引入模形式的定义，但视角远超初级的“具有特定变换性质的全纯函数”。这里采用模空间（Moduli Space）的观点来定义自守性。我们将探讨 $ ext{SL}(2, mathbb{Z})$ 作用下的模形式，详细分析 $Gamma(N)$ 子群的结构，并深入研究 $ ext{SL}(2, mathbb{R})$ 作用下的函数（如狄利克雷级数或自守形式的前身）。着重阐述了周期函数（如 $wp$ 函数）如何通过微分方程和积分变换与自守形式关联起来，并引入了微分算子（如 Laplace-Beltrami 算子在双曲平面上的推广）的特征值理论，预示着与数论的联系。 --- 第二部分：拓扑与代数的交汇点 随着对基本结构的掌握，本书的后半部分开始聚焦于自守性背后的深刻代数和拓扑根源。 第三章：皮卡德-莱夫谢茨理论与局部环 本章是连接几何与代数的关键。作者引入了皮卡德-莱夫谢茨（Picard-Lefschetz）理论的框架，用于分析模空间中奇点的局部形貌。特别是对于模曲线 $X(N)$ 上的局部结构，需要理解其如何由群的共轭类决定。本章将自守函数的局部性质与局部环（Local Rings）的完备化联系起来，讨论了代数簇上的局部性质如何通过代数方法（如 Hensel 引理的推广）被精确描述。这为理解数论中的局部场和阿代尔（Adeles）结构提供了几何直觉。 第四章：自守表示与恒等表示 这是全书最具有现代气息的一章。我们将自守形式提升到表示论的视角，这是 Langlands 纲领的基石。本章详细介绍了 $ ext{GL}(2)$ 上的自守表示（Automorphic Representations）的概念，特别是与 $ ext{GL}(2)$ 关系密切的数论对象，如狄利克雷级数（Dirichlet Series）的欧拉乘积展开如何与群表示的局部因子联系起来。尽管本书是第一卷，侧重于经典部分，但本章提供了清晰的路线图，展示了经典模形式如何被视为 $ ext{GL}(2)$ 在实数域 $mathbb{R}$ 上的特定自守表示的“全纯截面”。对恒等表示（Principal Representation）的引入，清晰地解释了如何将双曲空间上的积分算子转化为群作用下的不变量。 第五章：L-函数与自守形式的算术签名 本章聚焦于自守函数理论中最具应用价值的部分：L-函数的构造与性质。我们将对黎曼 $zeta$ 函数进行一般化，构造出由自守形式自动导出的 L-函数（如 Hecke L-函数）。重点在于 Hecke 本征函数（Hecke Eigenfunctions）的性质，它们是同时被所有 Hecke 算子作用保持的自守形式，其 L-函数具有欧拉乘积展开的优雅结构。本卷会详细论证自守形式与特定算术对象（如椭圆曲线的 $L$-函数）之间的明确关系，但关于谷山-志村猜想的详细证明（如Wiles的工作）将留待后续卷册，本卷主要确立基础，使读者理解 L-函数的“自守性”来源。 --- 总结与展望 《自守函数理论讲义（第一卷）》致力于提供一个全面、严格且现代化的自守函数理论的入门。它不是简单地复述模函数公式，而是通过引入 Fuchsian 群、双曲几何和局部环理论，为读者展示了自守性这一概念如何渗透并统一了复分析、拓扑学和代数几何的不同领域。本书的严谨性确保了读者能够为后续更深入的算术几何和 Langlands 理论学习打下无可撼动的理论基础。它是一部需要反复研读的经典参考书，其价值在于对数学结构本质的深刻揭示。

评分☆☆☆☆☆

好的，这是一些以读者口吻对《自守函数理论讲义 第一卷》的评价，每段风格和侧重点都不同： 初次翻开这本厚重的讲义时，我的内心是既期待又有些忐忑的。我并非数学科班出身，但对数论中那些迷人的对称性结构一直心存好奇。这本书的开篇并没有立刻将读者扔进复杂的黎曼曲面和模群的海洋，而是花了不少篇幅来扎实地构建基础概念，比如狄利克雷级数和椭圆函数的基本性质。作者的叙述风格严谨而富有条理，就像一位技艺精湛的建筑师在绘制蓝图，每一步都走得异常稳健。我尤其欣赏他对“自守性”这一核心思想的引入方式，他没有直接给出晦涩的定义，而是通过一些直观的几何变换来阐释，这极大地帮助我理解了为什么这些函数会在变换下保持“自守”。虽然有些地方的推导需要反复阅读才能完全消化，但最终的豁然开朗感是无与伦比的。对于任何想要真正深入理解自守函数背后数学美感的人来说，这本讲义无疑是一份不可多得的路线图，它引导你从基础走向殿堂，每一步都踏实有力，让人感到自己真的在攀登知识的高峰。

评分☆☆☆☆☆

这本书的语言之精炼和逻辑之缜密，简直令人叹为观止。我过去阅读过几本关于模形式的入门材料，但很多都停留在表面，或者为了追求易读性而牺牲了关键的细节。然而，在《自守函数理论讲义 第一卷》中，几乎找不到一句多余的话。作者似乎将毕生对该领域的理解浓缩在了这些篇章之中。举例来说，当他讨论到模群 $mathrm{SL}(2, mathbb{Z})$ 的结构及其作用在双曲平面上时，他用到的定理和引理的选取都极为关键，每一个步骤都是为了最终证明某个深刻结论而服务的。这使得阅读过程成为一种智力上的挑战，但绝非枯燥的堆砌公式。每一次尝试理解一个定理的证明，都像是解开一个精妙的密码锁，当你最终领会了作者的深意时，那种成就感是其他领域难以比拟的。我甚至开始反思自己过去在学习其他数学分支时，是否也应该更加注重这种内在的、结构性的关联性。

评分☆☆☆☆☆

对我而言，这本书最宝贵的价值在于其历史的厚重感和体系的完整性。它不像某些现代教材那样，上来就用最新的、最简化的语言包装概念，而是保留了许多经典证明的精髓，这让你能体会到自守函数理论是如何一步步发展和完善的。阅读过程中，我常常能感受到希尔伯特、黎曼以及后来的研究者们在面对这些难题时所经历的心路历程。对于一个希望了解“为什么”而不是仅仅“是什么”的读者来说，这种深入历史脉络的叙述方式是无价的。它不仅仅是一本教材，更像是一部浓缩的学术史。我强烈建议那些打算把自守函数理论作为自己研究方向的人，不要跳过前几章对模函数几何意义的阐述，正是这些看似“陈旧”的论述，奠定了后续所有高级理论的基石。它教会了我，真正的数学洞察力往往藏在最朴素的几何直觉中。

评分☆☆☆☆☆

作为一名应用数学的研究生，我起初担心这本书的纯理论性质是否会让我难以应用。但阅读下来，我发现自己多虑了。第一卷虽然聚焦于理论基础的建立，但其对函数空间、微分算子以及特征值问题的讨论，为理解现代数论中的L-函数和算术几何提供了坚实的桥梁。特别是关于自守形式的傅立叶展开部分的详尽论述，它清晰地展示了如何将连续的函数分析与离散的数论信息关联起来。我发现自己过去在处理一些函数方程时模棱两可的地方，在这本书中得到了彻底的澄清。这里的“模棱两可”并非指书中的内容模糊，而是指我先前理解上的不彻底。作者通过层层递进的分析，将抽象的自守性质“物化”成了可以计算和分析的对象。对于那些希望将自守理论应用于更广泛数学领域的研究者来说，这本讲义提供的理论框架是如此的健壮和全面，足以支撑起未来很多复杂的研究课题。

评分☆☆☆☆☆

老实说，这本书的阅读门槛确实不低，它要求读者对复分析和基础拓扑有相当的熟悉。我身边有几位朋友在读到关于基本域（fundamental domain）的构造和边界行为的分析时望而却步。但如果你能坚持下去，你会发现，这种高门槛带来的回报是巨大的。这本书的伟大之处在于它没有回避数学中最“硬核”的部分。作者对黎曼曲面上的微分形式和周长积分的讲解，尤其深刻地揭示了为什么自守形式会产生与其自守性相对应的算术性质。我个人特别喜欢其中对爱森斯坦级数（Eisenstein Series）的介绍，那种将整个函数空间分割并构造出基底的优雅过程，简直是数学艺术的体现。它不再是冰冷的定理罗列，而更像是一部关于宇宙基本对称性的史诗，需要耐心和敬畏心去品味。