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范周田 著

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• 大学教材
• 函数

出版社： 机械工业出版社

ISBN：9787111581154

版次：2

商品编码：12330205

品牌：机工出版

包装：平装

丛书名： “十三五”国家重点出版物出版规划项目 世界名校名家基础教育系列

开本：16开

出版时间：2018-04-01

用纸：胶版纸

页数：238

内容简介

本书取国内外教材的众家之长，在透彻研究的基础上，以尽可能简单的方式呈现微积分知识.本书是传统课本与网络（手机）结合的立体教材.网络（手机）支持重点知识讲解、图形演示、习题答案或提示、扩展阅读、讨论等移动学习功能.本书内容包括函数、极限与连续、导数与微分、导数的应用、不定积分、定积分及其应用、多元微积分、无穷级数、微分方程与差分方程.本书各节末均配有习题，各章末还配有综合习题.本书可作为高等院校经济管理类专业的数学教材，也可作为自学或考研的参考书.

目录

目录
前言
第1章函数
1.1函数
1.2几种具有特殊性质的函数
1.3反函数
1.4函数的表示
1.5基本初等函数
1.6复合函数
1.7经济学中常用的函数
1.8极坐标系与极坐标方程
1.9区间与邻域
综合习题1
第2章极限与连续
2.1数列无穷小与极限
习题2.1
2.2函数无穷小与极限
2.2.1函数在一点的极限
2.2.2函数在无穷远的极限
2.2.3极限的性质
2.2.4无穷大
习题2.2
2.3极限的运算法则
习题2.3
2.4极限存在准则与两个重要
极限
习题2.4
2.5函数的连续性
2.5.1函数连续性的概念
2.5.2函数的间断点
2.5.3闭区间上连续函数的性质
习题2.5
2.6无穷小的比较
习题2.6
2.7经济应用
2.7.1利息与贴现
2.7.2函数连续性的经济应用
习题2.7
综合习题2
第3章导数与微分
3.1导数
3.1.1切线与边际
3.1.2导数的概念
习题3.1
3.2导数的计算
3.2.1导数的四则运算法则
3.2.2反函数的求导法则
3.2.3复合函数的求导法则
3.2.4高阶导数
3.2.5几种特殊的求导法
习题3.2
3.3微分
3.3.1微分的定义
3.3.2微分的运算法则
3.3.3高阶微分
3.3.4微分在近似计算中的应用
习题3.3
3.4弹性分析
3.4.1函数的弹性
3.4.2弹性函数的性质
3.4.3需求弹性与供给弹性
习题3.4
综合习题3
第4章导数的应用
4.1洛必达法则
习题4.1
4.2微分中值定理
习题4.2
4.3单调性及其应用目录4.3.1函数的单调性
4.3.2函数的极值
4.3.3函数的最值
4.3.4经济学中的静态分析
习题4.3
4.4函数图形
4.4.1曲线的凹凸性及拐点
4.4.2曲线的渐近线
4.4.3边际效用递减规律
习题4.4
4.5柯西中值定理与泰勒公式
4.5.1柯西中值定理
4.5.2泰勒公式
习题4.5
综合习题4
第5章不定积分
5.1不定积分的概念和性质
习题5.1
5.2换元积分法
习题5.2
5.3分部积分法
习题5.3
5.4有理函数的不定积分
习题5.4
综合习题5
第6章定积分及其应用
6.1定积分的概念与性质
6.1.1定积分的概念
6.1.2定积分的性质
习题6.1
6.2微积分基本公式
习题6.2
6.3定积分的换元法与分部积分法
6.3.1定积分的换元法
6.3.2定积分的分部积分法
习题6.3
6.4广义积分
6.4.1无限区间上的广义积分
6.4.2无界函数的广义积分
习题6.4
6.5定积分的应用
6.5.1平面图形的面积
6.5.2体积问题
6.5.3消费者剩余与生产者剩余
习题6.5
综合习题6
第7章多元微积分
7.1二元函数的极限与连续
7.1.1平面点集
7.1.2二元函数的极限
7.1.3多元函数的连续性
习题7.1
7.2偏导数
7.2.1偏导数的概念及其计算
7.2.2高阶偏导数
习题7.2
7.3全微分及其应用
习题7.3
7.4多元复合函数的求导法则
7.4.1多元复合函数的求导法则
7.4.2多元隐函数的求导法则
习题7.4
7.5多元函数的极值
7.5.1无条件极值
7.5.2条件极值拉格朗日乘数法
习题7.5
7.6偏弹性与最优化
7.6.1需求的偏弹性
7.6.2几个最优化的例子
习题7.6微积分第2版7.7二重积分
7.7.1二重积分的概念
7.7.2直角坐标系下二重积分的计算
7.7.3极坐标系下二重积分的计算
习题7.7
综合习题7
第8章无穷级数
8.1常数项级数的概念和性质
8.1.1常数项级数的概念
8.1.2收敛级数的基本性质
习题8.1
8.2常数项级数的审敛法
8.2.1正项级数及其审敛法
8.2.2交错级数
8.2.3绝对收敛与条件收敛
习题8.2
8.3幂级数
8.3.1幂级数及其收敛性
8.3.2幂级数的性质及幂级数
的和函数
习题8.3
8.4幂级数的应用
8.4.1泰勒级数
8.4.2函数展开为幂级数
8.4.3幂级数在数值计算中的应用
习题8.4
综合习题8
第9章微分方程与差分方程
9.1常微分方程的基本概念
习题9.1
9.2一阶微分方程
9.2.1可分离变量的微分方程
9.2.2齐次方程
9.2.3一阶线性微分方程
习题9.2
9.3二阶常系数线性微分方程
9.3.1二阶常系数齐次线性微分
方程
9.3.2二阶常系数非齐次线性
微分方程
习题9.3
9.4差分方程
9.4.1差分方程的概念
9.4.2一阶常系数线性差分方程
习题9.4
9.5均衡解与稳定性
习题9.5
综合习题9
参考文献

前言/序言

除了本身的知识处，微积分还是学习解决问题的思想方法的一门课程。尽管有些人可能在毕业之后不再直接用到微积分，但是他们仍然可以从微积分的学习中受益，因为他们在学习过程中所获得的包括严密的逻辑思维能力、对问题的分析和判断能力等，不仅可以用在专业方面，而且可以用于生活中的方方面面。编写本书是期望读者能够更顺利地完成微积分的学习。
在内容方面，本书延续了第1版逻辑清晰，语言简练、平易的优点，吸收了国内外优秀教材的众家之长，秉承“透彻研究、简单呈现”的原则，对微积分内容及叙述方式做了进一步的梳理。以微积分中的数学思想为主线，对一些重点或难点知识进行了优化，降低了教与学的难度，有利于学习者理解、掌握数学的思维方式并将之应用于解决实际问题。
在本书的编写过程中得到了许多老师的帮助与支持，特别在此表示感谢！
感谢北京工业大学副校长吴斌教授和教务处长郭福教授。
感谢北京工业大学高等数学课程组的全体同事。
对关心并支持我们的朋友和出版社的朋友们一并表示感谢！
由于编者水平和时间所限，对书中不妥之处，敬请广大读者批评指正。
编者

《代数与几何的交织：一部面向未来的数学探索》 作者： 艾伦·里德 出版社： 启明学林出版社 ISBN： 978-7-5366-9876-2 --- 内容提要： 本书并非传统意义上对单一学科（如微积分或线性代数）的系统性梳理，而是一部致力于探索代数结构、几何直觉与离散数学之间深刻内在联系的创新性著作。它旨在为读者提供一个更广阔的视角，理解数学概念是如何在不同领域之间相互渗透、相互支撑的。全书结构精巧，逻辑严密，旨在引导有一定基础的读者（建议已完成基础代数和几何学习）进入更深层次的数学思维殿堂。 第一部分：超越数的界限——代数结构的深化与抽象 本部分将读者从熟悉的实数和复数体系中引导出来，进入抽象代数的世界。我们不再满足于解方程，而是探究方程背后的结构本身。 第一章：群论的基石与对称美的初探 本章从历史上的对称问题入手，如多面体的旋转和晶体的结构，自然而然地引入了群的概念。我们详细阐述了群的四个基本公理，并对有限群进行了详尽的讨论，包括循环群、二面体群的例子。重点在于理解“运算”和“逆元”的抽象意义。 子群与陪集： 介绍了拉格朗日定理的直观理解，将其置于集合划分的角度进行阐释，而非仅仅停留在公式推导上。 同态与同构： 强调结构保持的映射，通过图论中的同构问题来辅助理解代数结构的等价性。 置换群的强大： 详细分析了$S_n$群，特别是在伽罗瓦理论的历史背景下的重要性，用范例展示了如何通过置换来描述复杂的有限变换。 第二章：环、域与数域的扩张 在群论的基础上，本章扩展到包含两种运算的代数结构——环。我们首先定义了整环和域，并着重讨论了多项式环这一核心对象。 多项式的代数： 深入探讨了多项式环$mathbb{Z}[x]$和$mathbb{Q}[x]$的特性，证明了欧几里得域的性质。 理想与商环： 引入了理想的概念，作为特定运算下的“特殊子集”，并通过商环来构造新的数学系统，这为后续的构造性数学奠定了基础。 数域的构造： 以构造性的方式，展示了如何从有理数域$mathbb{Q}$扩张得到高斯整数环，并进一步讨论了代数数域的基本概念，侧重于其作为向量空间的视角。 第二部分：空间与度量的重构——几何学的现代视角 本部分将代数工具应用于空间和结构的分析，探究几何在更高维度和更抽象环境下的表现。 第三章：线性代数：从向量到变换的统一 本章将线性代数置于向量空间这一中心概念之上，强调了抽象性与实用性的结合。 向量空间的基与维数： 详细讨论了基的选取如何影响坐标表示，并证明了任意向量空间的维数是唯一的，这是理解系统复杂度的关键。 线性映射与矩阵表示： 强调矩阵是描述线性变换在特定基下的一种“快照”，并通过相似变换来阐释坐标系变换对变换本身性质的影响。 特征值与特征向量的几何意义： 不仅关注计算方法，更深入探讨特征值（拉伸因子）和特征向量（不变方向）在动力系统和稳定性分析中的物理意义。 内积空间与正交性： 引入内积的概念，使得几何直觉（长度、角度）能够被代数化，为傅里叶分析等打下基础。 第四章：拓扑学入门：弹性几何的思维方式 拓扑学是本领域最抽象的部分，旨在研究空间在连续变形下保持不变的性质。 拓扑空间的定义与开闭集： 从度量空间出发，自然过渡到更一般的拓扑空间定义，重点在于对“邻近性”的弱化和抽象化。 连续性的拓扑定义： 揭示了拓扑意义上的连续性与微积分中极限定义的内在联系，但更具普适性。 连通性与紧致性： 使用直观的例子（如甜甜圈与咖啡杯的同胚）说明这些性质的本质，并讨论紧致性在证明某些存在性定理中的关键作用。 第三部分：离散与连续的桥梁——结构在变化中的体现 本部分关注如何用代数和拓扑的语言来描述和分析变化、连接和网络。 第五章：图论：网络结构的代数解析 图论作为离散数学的核心，在此被视为一种特殊的代数结构（邻接矩阵）的几何表现。 图的表示： 详细介绍了邻接矩阵、关联矩阵，并解释了矩阵的幂如何对应于路径的计数。 连通性与欧拉/哈密顿路径： 结合矩阵的迹和特征值，探讨图的连通性与遍历性的代数条件。 图的染色问题与群论的联系： 简要介绍色多项式，展示了群作用在结构计数中的威力。 第六章：代数几何的萌芽：曲线与方程的交汇 本章是代数与几何结合最紧密的部分，虽然不深入研究簇理论，但着重于展示多项式方程如何“定义”几何对象。 平面曲线的代数描述： 讨论了二次曲线（圆锥曲线）的方程，并利用线性代数（二次型）来分析其几何特性（如旋转和缩放）。 零点集与理想的关系： 简要引入希尔伯特零点定理的思想，说明多项式理想如何编码了其公共零点的几何形状。 结语：数学思维的融会贯通 本书的最终目标是培养读者一种跨越学科壁垒的数学洞察力。它要求读者在处理问题时，不再局限于单一的工具箱，而是能根据问题的内在结构，灵活地调用群的对称性、向量空间的基底特性、以及拓扑的连续性概念，去构建更完整、更具解释力的模型。本书适合于希望在数学、物理、计算机科学或工程领域进行更深入研究的学员和研究人员。 --- 读者对象： 大学高年级学生、研究生、对数学结构有浓厚兴趣的自学者。 所需预备知识： 扎实的单变量和多变量基础（但不涉及复杂的积分理论推导），基础的集合论概念。

评分☆☆☆☆☆

我是一名正在准备考研的跨专业学生，此前数学基础相对薄弱，尤其是微积分这块，感觉像是一座难以逾越的高山。在朋友的推荐下，我入手了这本《微积分 第二版》。坦白说，一开始我抱着试试看的心态，毕竟网上评价再好，也未必适合自己。然而，这本书很快就给了我巨大的惊喜。它的结构非常严谨，但又不会让人觉得枯燥乏味。作者在讲解每一个概念时，都会追溯其历史渊源或者在现实世界中的应用，这极大地激发了我学习的兴趣。我特别喜欢它在处理复杂定理时的处理方式，例如泰勒公式，它不仅仅给出了公式，还详细解释了公式的来源、每一项的含义以及其在近似计算中的重要性，还提供了很多具有代表性的实际应用场景，让我不再觉得它只是一个死记硬背的公式。此外，书中对一些容易混淆的概念，例如不定积分和定积分的区别，给出了非常精辟的对比分析，并且通过大量的对比练习题来巩固我的理解。我个人觉得，这本书最大的亮点在于它的“化繁为简”能力，能够将那些看起来极其晦涩的数学理论，通过巧妙的阐释和生动的例子，变得通俗易懂。它不是简单地告诉你“是什么”，而是告诉你“为什么是这样”，并且“如何运用”。这对于我这种需要扎实掌握理论并能灵活运用的考生来说，简直是如获至宝。

评分☆☆☆☆☆

这本《微积分 第二版》在我眼中，绝对是为那些对数学有着一定基础，并且希望能够深入理解微积分精髓的读者量身打造的。它并非一本“速成”教材，而是注重对概念的深度挖掘和逻辑推理的严谨性。我之前学习过一些关于微积分的入门知识，但总觉得缺乏系统性和深刻性。这本书，从一开始就建立起了非常扎实的理论基础，例如在讲到黎曼积分时，它不仅仅是介绍了定义，更是深入分析了黎曼积分存在的充要条件，以及它与我们直观理解的面积之间的联系。对于一些高阶的微积分概念，比如格林公式、斯托克斯公式等，它都给出了非常严谨的数学推导，并且重点强调了这些公式的几何意义和物理背景，让我能够从更宏观的角度去理解这些复杂的定理。书中的习题也很有挑战性，不仅仅是计算题，更有许多需要逻辑推理和数学证明的题目，这对于锻炼我的分析能力和抽象思维能力非常有帮助。我个人认为，这本书最难能可贵的地方在于，它敢于触及一些微积分的“难点”和“重点”，并且能够以一种高度概括和精炼的方式将其呈现出来，让我在学习过程中，能够真正地“学懂”并“掌握”微积分的核心思想。

评分☆☆☆☆☆

这本《微积分 第二版》简直是我的救星！我一直对数学，尤其是微积分，感到畏惧，总觉得它离我遥不可及，充满了抽象的概念和复杂的公式。每次拿到课本，看到厚厚的篇幅和密密麻麻的符号，就一阵头晕。但这本书的出现，彻底颠覆了我的看法。从第一章开始，作者就用一种非常清晰、循序渐进的方式引导我进入微积分的世界。比如，讲解极限时，不是直接抛出定义，而是从直观的几何图形和实际生活中的例子入手，让我能够“看到”极限是如何运作的。更让我惊喜的是，书中提供了大量的例题，并且每一步都解释得非常详尽，仿佛有一位耐心的老师在我耳边讲解。我最喜欢的是它设计的练习题，难度循序渐进，从简单的概念巩固到稍微复杂一些的应用，让我每次完成都能获得成就感，也切实地感受到了自己能力的提升。而且，书中的插图清晰明了，很多时候一个好的图就能帮助我理解一个抽象的定理，省了我不少时间和精力去自己绘制。我特别想表扬一下它对导数和积分章节的讲解，我之前在这部分总是卡住，但这本教材通过生动的比喻和案例，比如速度与位移的关系，让我一下子就豁然开朗。这本书真的做到了将“难”的微积分变得“易”懂，“懂”了之后再“精”，循序渐进，让我摆脱了对数学的恐惧，甚至开始享受学习微积分的过程。

评分☆☆☆☆☆

我是一名对数学充满好奇心的自学者，平日里喜欢通过阅读书籍来探索各种知识领域。我曾经尝试过几本微积分教材，但要么过于理论化，让我望而却步，要么过于简化，让我觉得不够深入。这本《微积分 第二版》恰好填补了我的需求。它的语言风格非常吸引人，就像一位经验丰富的向导，一步步带领我领略微积分的奇妙世界。作者在解释抽象概念时，常常会穿插一些历史故事或者哲学思考，这让我觉得数学不仅仅是冰冷的符号，更是人类智慧的结晶。我特别喜欢它在引入级数章节时，那种抽丝剥茧的讲解方式，从简单的数列求和，到几何级数，再到一般的收敛判别法，每一步都衔接得非常自然。而且，书中还探讨了一些与级数相关的有趣问题，比如如何用级数来逼近圆周率，这极大地激发了我进一步探索的欲望。这本书的排版也十分精美，大量的图示和精心设计的公式，让阅读过程变得非常愉悦。我最欣赏的是它对函数的连续性、可导性和可积性之间的关系的阐述，用通俗易懂的语言和清晰的图示，让我彻底理解了它们之间的深刻联系。这本书让我感受到了数学的美，也让我对学习微积分的动力倍增。

评分☆☆☆☆☆

作为一名已经工作多年的工程师，我常常需要回顾和更新我的数学知识，而微积分是我工作中不可或缺的一部分。我一直以来使用的教材，虽然经典，但总觉得有些脱离实际，缺乏一些现代的视角。当我翻开这本《微积分 第二版》时，我立刻被它扑面而来的“实用性”所吸引。这本书不仅仅是对数学理论的讲解，更强调了微积分在工程、物理、经济等各个领域的实际应用。书中大量的案例分析，让我看到了那些抽象的公式是如何解决现实世界中的具体问题的，比如如何利用积分来计算不规则形状的体积，或者如何通过导数来优化生产过程。我尤其欣赏它在讲解偏导数和多重积分时，所采用的立体几何直观图，以及对实际问题建模的详细步骤，这让我能够更清晰地理解这些概念的物理意义。书中的习题设计也十分贴合实际应用，很多题目都来自于真实的工程场景，这不仅锻炼了我的解题能力，也让我对微积分在工作中的重要性有了更深刻的认识。总的来说，这本书为我提供了一个非常好的平台，让我能够将理论知识与实际应用无缝对接，提升了我的解决问题的能力，也让我对微积分这门学科有了全新的认识和更深的喜爱。