内容简介
《偏微分方程》共分八章:第一章为绪论;第二、三章分别介绍了一阶方程、具有两个自变量的二阶方程的基本知识;第四、五、六章分别介绍了三类基本方程:波动方程、热传导方程和Laplace方程的定解问题的适定性、求解方法及解的性质;第七章主要介绍了一阶拟线性双曲守恒律方程组的一些基本知识;第八章介绍了Cauehy-Kovalevskaya定理。另有两个附录:Fourier反演公式;Li-Yau估计。《偏微分方程》不仅把注意力集中在传统的偏微分方程基础知识上,而且还有目的地介绍一些当代数学知识,譬如在几何分析中具有重要作用的Li-Yau估计和Hamack不等式等。《偏微分方程》的另一特点是,除在每节后面为读者准备了一些习题之外,还在一些章节后面为读者准备了一些思考题和“开放问题(open problem)”。这些问题具有一定的启发性,对提高学生对本门课程的学习兴趣有很大帮助。
《偏微分方程》可作为高等院校数学系学生的教材,也可供数学、力学和物理学等相关专业的工作者参考。
目录
第一章 绪论
1 常用符号
2 基本概念
3 一些例子
4 纵览
第二章 一阶方程
1 一个简单线性方程
1.1 解析求解:特征线方法
1.2 近似求解:有限差分方法
2 一类简单拟线性方程
2.1 Burgers方程
2.2 一般情形
2.3 导数的突变和破裂时间
3 拟线性方程的几何理论
4 拟线性方程的Cauchy问题
4.1 Cauchy问题
4.2 局部解的存在性
4.3 解的存在唯一性条件
4.4 一种特殊情况:线性偏微分方程
4.5 高维情形
4.6 例子
5 一阶偏微分方程组
5.1 一阶线性偏微分方程组
5.2 一阶拟线性偏微分方程组
6 总结与思考
第三章 具有两个自变量的二阶偏微分方程
1 拟线性二阶方程的特征
2 奇性的传播
3 二阶线性方程的标准形
4 一维波动方程
5 总结与思考
第四章 波动方程
1 一维波动方程:方程的导出及定解条件
1.1 方程的导出
2.1 定解条件
2 一维波动方程:Cauchy问题
2.1 叠加原理
2.2 齐次化原理
3 一维波动方程:初边值问题
3.1 分离变量法
3.2 非齐次方程
3.3 非齐次边界条件
4 高维波动方程的Cauchy问题
4.1 高维空间中的波动方程
4.2 定解条件
4.3 球平均法
4.4 Hadamard降维法
4.5 非齐次波动方程Cauchy问题的解
5 波的传播
5.1 基本概念
5.2 波的传播:Huygens原理与波的弥散现象
5.3 解的衰减
5.4 解的正则性
6 一般的Cauchy问题与初边值问题
6.1 一般的Cauchy问题
6.2 初边值问题
7 能量不等式
7.1 动能和位能
7.2 初边值问题解的唯一性与稳定性
7.3 Cauchy问题解的唯~性与稳定性
8 总结与思考
第五章 热传导方程
1 热传导方程的导出及其定解条件
1.1 方程的导出
1.2 定解条件
2 Cauchy问题
2.1 Fourier变换
2.2 Cauchy问题的求解——Fourier变换法
2.3 解的存在性
3 初边值问题
4 极值原理
4.1 极值原理
4.2 初边值问题
4.3 Cauchy问题
5 Li-Yau估计与Harnack不等式
6 渐近性态
6.1 初边值问题
6.2 Cauchy问题
7 总结与思考
第六章 Laplace方程
1 方程的导出及定解条件的提法
1.1 方程的导出
1.2 定解条件
2 变分法
2.1 变分问题与Euler-Lagrange方程
2.2 变分原理
2.3 变分问题与定解问题的求解
3 调和函数
3.1 Green公式
3.2 基本积分公式
3.3 基本性质
3.4 极值原理
3.5 Laplace方程的第一边值问题解的唯一性和稳定性
4 Green函数
4.1 引进Green函数的动机及其基本性质
4.2 镜像法
4.3 解的验证
5 调和函数(续)
6 强极值原理
6.1 强极值原理
6.2 应用:Laplace方程第二边值问题解的唯一性
7 总结与思考
第七章 拟线性双曲守恒律方程组初步
1 拟线性双曲守恒律方程组
1.1 基本概念
1.2 例子
1.3 解的破裂
2 间断解
2.1 解的定义
2.2 Rankine-Hugoniot条件
2.3 熵条件
2.4 Riemann问题
3 非线性波:经典解情形
3.1 疏散波与压缩波
3.2 应用实例——追赶问题
4 非线性波:间断解情形
4.1 单个守恒律
4.2 激波的形成与传播
4.3 Riemann问题(续)
5 总结与思考
第八章 Cauchy-Kovalevskaya定理
1 准备知识
1.1 多重无穷级数
1.2 实解析函数
1.3 实解析函数(续)
2 Cauchy-Kovalevskaya定理
2.1 Cauchy-Kovalevskaya定理
2.2 Cauchy-Kovalevskaya定理的证明
3 一些注记
附录一 Fourier反演公式
附录二 Li-Yau估计
参考文献
前言/序言
本书的前身是作者在浙江大学、上海交通大学讲授多次的“偏微分方程”课程讲义。本书是作者在长期从事“偏微分方程”、“数学物理方法”的教学实践的基础上,结合自己的科研工作,并参考先期出版的同类优秀书籍,由原来的讲义经过修订、补充而成的。
众所周知,偏微分方程已成为研究自然科学、工程技术以及经济管理等领域的各种实际课题的重要工具,同时也是现代数学的一个重要分支。长期以来,我们有一个愿望:要编写一本适合当代教学特点的偏微分方程教材,它既能融入一些现代数学的概念,又表现得更加通俗易懂。编写这本书的目的是力图实现我们的上述愿望。在本书的编写过程中,我们力求做到理论与实际相结合,严密性与直观性相统一,科学性与可读性相和谐。特别地,在讲解基本理论和求解方法时,力求突出处理问题的物理背景及其核心思想。
我们不仅把注意力集中在传统的偏微分方程基础知识上,而且有目的地介绍一些当代数学概念:一方面,我们把传统偏微分方程知识讲得尽可能清楚些、透彻些,把一些常见的数学模型推导得尽可能详细些、完整些;另一方面,我们还特别介绍了与本门课程紧密相关的一些当代数学基本知识,譬如在几何分析中具有重要作用的Li-Yau估计(也称Li-Yau不等式)与Harnack不等式等。这方面的知识不仅可以看作传统偏微分方程的提升,而且是当代前沿数学研究的基础,它对提高同学们对这门课程的学习兴趣有很大帮助。
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有一定难度。。。。。。。。。。。。
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无限维空间的测度积分
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上学的时候没学好 所以现在需要回来恶补 不然咋办
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现代社会,生活是一场紧张、疲惫又绚丽多彩的舞台剧,充满了不确定性。
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此书将数论中的精华(elements)娓娓道出,对概念的历史来源和解释都十分清晰。每一小节都附有3,4道容易解决的习题,帮助理解复习。我完全没学过数论,一个星期也读了60页,欲罢不能。总而言之,这是一本很好的入门书,推荐。该书的作者是证明了三素数定理的Vinogradov,他基本解决了奇数Goldbach猜想。书的特点是短小,习题难。看这本书必须好好做题。很多习题源自一些研究论文,并且被IMO或CMO命题人员经常改编。这本书值得精读。作者如果再加一点他擅长的三角和估计这方面的内容介绍就更好了。送货速度快,包装也很好。其实我不是学数学的。也不打算以数学为职业,当然更没有民科们的野心,只是有一些对于数学的爱好而已。 数论,抽象代数,概率论,数理统计,应该来说是我在数学里面最为喜欢的东西。 我觉得这本书还是没有让我们落入到具体的细节当中去。我觉得这是最重要,也是最为关键的地方。有一个朦朦胧胧的想法,那就是如果在踏入一门学科之初就深入到细节当中去的话,很难对于这门学科未来的走向有一个很好的把握,也很难谈得上对于这门学科的透彻的理解。我认为这本书是最好的初等数论教材 没有之一,现在又出第三版了,我马上入手了。证明详细,习题丰富,对后续学习抽象代数,高等代数也有很大的帮助。在学习了一定的分析课程之后,然后上手解析数论就不会很吃力。事实上潘氏兄弟后续的还有代数数论,解析数论基础,素数定理的初等证明,阶的估计,模形式讲义等数论的一条龙基础教材,只需要从本书开始逐一学完这一系列教材,就能打下很好的数论基础了。
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现代数学基础系列的书就是数学中的朗道
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变分学应该挺有用的吧。还没有看不过都是说张恭庆的书。比较好
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运输过程有点折损,不过影响不大
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印刷质量和送货速度都很好。这包装就让人失望,边角都压坏了。