现代数学基础丛书：索伯列夫空间导论 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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陈国旺 著

图书标签:

• 数学
• 泛函分析
• 索伯列夫空间
• 偏微分方程
• 函数空间
• 数学分析
• 实分析
• 现代数学
• 高等教育
• 学术著作

出版社： 科学出版社

ISBN：9787030382399

版次：1

商品编码：11309371

包装：平装

丛书名： 现代数学基础丛书

开本：16开

出版时间：2013-08-01

用纸：胶版纸

页数：405

字数：530000

正文语种：中文

内容简介

　　《现代数学基础丛书：索伯列夫空间导论》主要讲述索伯列夫空间一般理论和在非线性偏微分方程中的应用。内容涉及Lebesgue空间Lp（Ω）及其基本性质；整数阶索伯列夫空间Wm，p（Ω）及其性质；Wm，p（Ω）空间的嵌入定理、紧嵌入定理和插值定理以及连续函数空间的嵌入定理。论述研究非线性发展方程时，常用到的含有时间的空间和含有时间的索伯列夫空间。介绍类似于索伯列夫空间嵌人定理的离散函数的插值公式，并利用离散函数的插值公式证明广义Schrodinger型方程组初边值问题整体广义解的存在性。讲述速降函数、缓增广义函数以及它们的Fourier变换和Lebesgue空间的Fourier变换，分数阶索伯列夫空间Hs（RN）和Hs（Ω）及其性质。介绍近年来国内外关注的几个非线性发展方程的初边值问题和Cauchy问题解的存在性以及解的爆破现象和解的渐近性质，使读者较快地利用索伯列夫空间这个有力理论工具，进入研究偏微分方程等学科的前沿。
　　《现代数学基础丛书：索伯列夫空间导论》可作为偏微分方程、计算数学、泛函分析、数学物理、控制论和微分几何等专业的本科生、研究生的教材和参考书，也可供从事相关专业研究的科技工作者参考。

作者简介

    陈国旺，郑州大学数学系博士生导师，曾任《JournalofPartialDifferentialEquations》副主编，现任《数学季刊》编委。

内页插图

目录

《现代数学基础丛书》序
前言
第1章 基础知识
1.1 几个基本空间的定义
1.1.1 距离空间
1.1.2 线性空间
1.1.3 线性赋范空间
1.1.4 Hilbert空间
1.2 线性算子与线性泛函
1.2.1 线性算子
1.2.2 线性泛函
1.3 连续函数空间
1.3.1 Cm（□）空间的完备性
1.3.2 Cm，λ（□）空间的完备性
1.4 Hilbert空间的Pdesz表示定理与Lax-Milgram定理

第2章 Lp（Ω）空间及其基本性质
2.1 Lp（Ω）空间
2.1.1 Lp（Ω）空间的定义
2.1.2 Holder不等式、Minkowski不等式和Lp（Ω）范数的内插不等式
2.1.3 Lp（Ω）空间的完备性
2.1.4 Lp（Ω）空间的一致凸性
2.1.5 Lp（Ω）空间的一个嵌入定理
2.1.6 Cc（Ω）空间在Lp（Ω）空间中的稠密性
2.1.7 卷积、函数的正则化和C∞ c（Ω）空间在Lp（Ω）空间中的稠密性
2.1.8 Lp（Ω）空间的可分性
2.1.9 Lp（Ω）空间元素的整体连续性
2.2 Lp（Ω）空间上线性泛函的表示形式
2.2.1 预备知识
2.2.2 Lp（Ω）空间的Riesz表示定理
2.3 Lp（Ω）空间的弱完备性
2.3.1 紧集的定义和关于强紧集定理
2.3.2 Lp（Ω）空间的弱完备性与弱紧集定理
2.4 弱Lp（Ω）空间、Marcinkiewicz插值定理
2.4.1 弱Lp（Ω）空间、次线性算子、强型算子和弱型算子
2.4.2 Marcinkiewicz插值定理
2.4.3 Minkowski积分不等式
2.5 混合范数Lp空间
2.6 Lp（、Q）空间中的准紧集

第3章 整数阶索伯列夫空间Wm，p（Ω）及其基本性质
3.1 广义函数
3.1.1 广义函数的性质
3.1.2 广义函数的支集
3.1.3 广义函数的直积
3.1.4 广义函数的卷积
3.1.5 广义函数的导数
3.2 间Wm，p（Ω）空间及其性质
3.3 单位分解定理
3.4 区域的几何性质
3.5 C∞ c（RN，Ω）在Wm，p（Ω）中的稠密性
3.6 Hm，p（Ω）空间
3.7 对偶性与空间W-m，p'（Ω）
3.7.1 Wm，p（Ω）的对偶与Wm，p 0（Ω）的赋范对偶
3.7.2 空间Lp'（Ω）的（-m，p'）-范数
3.8 差商与空间W1，p（Ω）

第4章 索伯列夫空间的嵌入定理和插值定理
4.1 嵌入的含义、坐标变换
4.1.1 嵌入的含义
4.1.2 坐标变换
4.2 嵌入定理
4.3 作为Banach代数的Wm，p（Ω）空间
4.4 插值定理
4.5 紧嵌入定理
4.6 延拓定理
4.7 边界迹
4.8 Poincare不等式和Wm，p 0（Ω）的一个等价范数

第5章 含有时间的空间
5.1 抽象函数
5.2 抽象函数的Bochner积分
5.3 含有时间的空间
5.3.1 LP（（0，T）；X）空间的完备性
5.3.2 L∞（（0，T）；X）空间的完备性
5.4 含有时间的索伯列夫空间
5.5 Aubin引理

第6章 索伯列夫空间在偏微分方程中的应用（I）
6.1 预备知识
6.1.1 Gronwall不等式（微分形式）
6.1.2 Gronwall不等式（积分形式）
6.1.3 Jensen不等式
6.1.4 Leray-Schauder不动点定理
6.2 广义Ginzburg-Landau模型方程的初边值问题
6.2.1 初边值问题（6.2.2）-（6.2.4）整体解的存在性与唯一性
6.2.2 解的渐近性质
6.3 一般线性椭圆型方程的Dir-ichlet问题
6.4 具阻尼非线性双曲型方程的初边值问题
6.5 广义立方双色散方程的初边值问题
6.6 一类四阶非线性发展方程初边值问题解的渐近性质
6.7 广义IMBq型方程组的初边值问题
6.7.1 问题的提出和广义解的定义
6.7.2 初边值问题（6.7.17），（6.7.19），（6.7.21）的整体解
6.7.3 问题（6.7.16）-（6.7.21）的整体解

第7章 离散函数空间的插值公式和应用
7.1 一个指标的离散函数
7.1.1 离散函数的插值公式
7.1.2 关于离散函数指数为α的Holder系数的不等式
7.1.3 一个离散函数的不等式
7.1.4 有限维空间连续映射的不动点定理
7.2 广义SchrSdinger型方程组初边值问题的有限差分法
7.2.1 有限差分方程组（7.2.3）h和有限差分边值条件（*）h解的存在性和唯一性
7.2.2 有限差分方程组（7.2.3）h在适当的有限差分边值条件（*）h和离散的初值条件（7.2.8）h下解的先验估计
7.2.3 当h2+△t2→0时，有限差分方程组（7.2.3）h，（*）h，（7.2.8）h的离散向量解v△={vn j}j=0，1，，J；n=0，1，，N）的收敛性

第8章 分数阶索伯列夫空间
8.1 速降函数、缓增广义函数
8.1.1 速降函数
8.1.2 缓增广义函数
8.2 Fourier变换
8.2.1 □空间中函数的Fourier变换
8.2.2 □空间中函数的Fourier变换
8.2.3 Lebesgue空间中函数的Fourier变换
8.3 分数阶索伯列夫空间Hs（RN）
8.4 Hs（RN）空间范数的内插
8.5 分数阶索伯列夫空间Hs（Ω）

第9章 索伯列夫空间在偏微分方程中的应用（II）
9.1 具阻尼项的Ⅳ维广义IMBq方程的Cauchy问题
9.1.1 问题的来历
9.1.2 Cauehy问题（9.1.2），（9.1.3）在C2（[0，∞）；HS）中整体解的存在唯一性和解的爆破
9.2 Cauchy问题（9.1.2），（9.1.3）在C3（[0，∞）；Wm，p ∩ L∞ ∩ L2）中的整体解的存在唯一性和解的爆破
9.3 具Stokes阻尼项的IMBq方程的Cauchy问题
9.3.1 辅助问题（9.3.3），（9.3.4）整体解的存在性和唯一性
9.3.2 Cauchy问题（9.3.1），（9.3.2）
参考文献
附录
索引
《现代数学基础丛书》已出版书目

前言/序言

现代数学基础丛书：索伯列夫空间导论 本书导读：迈向泛函分析与偏微分方程的深度探索 《索伯列夫空间导论》是“现代数学基础丛书”中的重要一卷，旨在为读者提供一个系统、深入且富有洞察力的现代分析工具——索伯列夫空间的完整图景。本书并非仅仅是对特定数学概念的简单罗列，而是深刻地展示了索伯列夫空间如何在函数空间理论、泛函分析以及偏微分方程（PDEs）的现代研究中扮演核心角色。 本书的结构设计遵循了严谨的数学逻辑，从基础概念的建立到高级理论的阐释，逐步引导读者进入这一领域的前沿。 第一部分：经典函数空间与泛函分析的复习与铺垫 在正式介绍索伯列夫空间之前，本书花费了相当篇幅对读者进行必要的知识准备。这部分内容旨在夯实读者的基础，确保他们对泛函分析的基本框架有清晰的认识，并为理解索伯列夫空间的“弱导数”概念做好准备。 1. 拓扑与度量空间回顾： 简要回顾了完备性、紧致性以及函数空间中的收敛性概念，如依点收敛、依范数收敛和依分布收敛。 2. $L^p$ 空间的深入剖析： 对经典 $L^p(Omega)$ 空间（$Omega$ 为 $mathbb{R}^n$ 的一个开子集）进行了详尽的讨论。重点关注了闵可夫斯基不等式、勒贝格控制收敛定理以及这些空间作为巴拿赫空间的完备性。在这里，作者强调了 $L^p$ 空间在处理积分方程和经典PDEs中的局限性，特别是当解不具备传统意义上的经典导数时。 3. 分布理论的初步介绍： 分布（或广义函数）理论是索伯列夫空间诞生的理论土壤。本书适时引入了测试函数空间 $mathcal{D}(Omega)$ 和缓增分布空间 $mathcal{S}(mathbb{R}^n)$ 的概念。通过傅里叶变换的视角，初步展示了如何使用分布的“导数”来处理经典导数不存在的函数。这一部分的铺垫至关重要，因为它确立了“弱”概念的必要性和合理性。 第二部分：索伯列夫空间的构造与核心性质 本书的核心章节，聚焦于索伯列夫空间的精确定义、构造原理及其内在结构。 1. 弱导数的定义与等价性： 这是全书的基石。本书精确地给出了函数 $u in L^1_{loc}(Omega)$ 具有弱导数 $v in L^1_{loc}(Omega)$ 的定义，即对于所有的测试函数 $phi$，满足 $int_{Omega} u frac{partial phi}{partial x_i} dx = -int_{Omega} v phi dx$。随后，通过详细的论证，证明了在一定条件下（例如 $Omega$ 是光滑边界），弱导数是唯一的。 2. 索伯列夫空间的定义 $W^{k,p}(Omega)$： 基于弱导数的概念，本书正式定义了索伯列夫空间 $W^{k,p}(Omega)$：它是所有在 $L^p(Omega)$ 中且其所有（广义）偏导数均在 $L^p(Omega)$ 中的函数的集合。本书深入分析了 $k=1$（即一阶索伯列夫空间）的特性，并将其推广到任意阶 $k$ 的情况。 3. 空间结构的完备性： 证明了 $W^{k,p}(Omega)$ 装备了特定的范数（通常是 $|u|_{W^{k,p}} = sum_{|alpha|leq k} |D^alpha u|_{L^p}$），是一个巴拿赫空间。这使得索伯列夫空间成为一个理想的分析工具，因为在其中，序列的极限操作是可靠的。 4. 嵌入定理（Sobolev Embedding Theorems）： 嵌入定理是索伯列夫空间的“魔力”所在。本书系统地梳理了这些定理，区分了两种主要情况： $W^{k,p}(Omega) hookrightarrow L^q(Omega)$： 探讨了在何种 $(k, p)$ 组合下，索伯列夫空间中的函数可以在 $L^q$ 意义下保持有界性。 迹（Trace）理论的引入： 对于有界光滑域 $Omega$，讨论了如何定义函数在边界 $partial Omega$ 上的“迹”，并证明了存在一个有界的迹算子 $T: W^{k,p}(Omega) o L^q(partial Omega)$。这为边界值问题的研究提供了至关重要的桥梁。 第三部分：高级主题与应用基础 在掌握了基础框架后，本书转向了索伯列夫空间在现代数学中的更深层次的应用和性质。 1. 紧致性与阿拉奥卢（Alaoglu）定理的应用： 讨论了在特定条件下（如 $p>1$ 且 $Omega$ 有界），索伯列夫空间中的有界集是否具有紧子序列。这部分内容与变分法中的极值存在性密切相关。 2. 关键的嵌入结果：Rellich-Kondrachov 定理： 这是一个里程碑式的成果，它精确地刻画了从 $W^{k,p}(Omega)$ 到 $L^q(Omega)$ 的紧嵌入条件，为薛定谔方程和拉普拉斯方程的特征值问题提供了严格的分析基础。 3. 特殊空间：H$ddot{o}$lder 空间与 $W^{k,infty}$： 简要对比了索伯列夫空间与 H$ddot{o}$lder 空间的区别与联系，并讨论了 $W^{k,infty}$ 空间（即空间中的函数及其所有导数均有界）在解决某些非线性方程中的意义。 4. 弱解的正则性提升： 本书的实践意义体现在这里。通过引入“正则性提升”的概念，展示了如果一个弱解满足某些额外的光滑性假设（例如，如果方程的系数是光滑的），那么这个弱解实际上就是经典意义下的光滑解。这为PDE解的存在性和唯一性分析提供了强有力的工具。 结语 《索伯列夫空间导论》的价值在于它提供了一个严谨而全面的框架，将泛函分析的抽象概念与偏微分方程的实际问题紧密结合。它不仅是研究生学习泛函分析和偏微分方程的必备教材，也是处理涉及变分法、几何分析以及非线性 PDE 等领域研究人员的重要参考书。本书的论证清晰、例证丰富，确保读者在掌握技术工具的同时，也能深刻理解这些工具背后的数学思想和物理意义。掌握索伯列夫空间，即是掌握了现代数学分析的“通用语言”。

评分☆☆☆☆☆

“我一直对数学的抽象世界充满了好奇，尤其对那些能够提供坚实理论基础的工具性分支。在寻找深入理解偏微分方程和泛函分析的路径时，我偶然间翻阅了这本《索伯列夫空间导论》。这本书给我带来的，不仅仅是知识的增量，更是一种思维的启迪。它以一种非常系统且循序渐进的方式，将索伯列夫空间这一核心概念层层剥开，直至其精髓。我特别欣赏作者在阐述过程中，没有回避那些看似晦涩的定义和定理，而是用清晰的语言、翔实的例子，甚至是巧妙的比喻，帮助读者建立起直观的理解。例如，在介绍Sobolev嵌入定理时，书中并没有简单地罗列公式，而是花了相当的篇幅去解释这些嵌入关系在实际问题中的物理意义，以及它们如何连接不同空间的函数性质。这对于我这样一个初学者来说，无疑是极大的帮助。我感觉自己仿佛站在巨人的肩膀上，能够更清晰地看到数学海洋中的壮丽景色。这本书的排版也很舒服，大量的公式和证明清晰可见，纸质也很好，拿在手里有分量感，让人愿意沉下心来仔细研读。我非常期待通过这本书，能够更深入地理解现代数学的构建基石，并将其应用到我感兴趣的科学研究领域。对我而言，这本书就像一把钥匙，打开了通往更广阔数学天地的大门。”

评分☆☆☆☆☆

“我一直认为，数学的学习过程，不仅仅是记忆公式和定理，更重要的是培养一种解决问题的能力和一种数学的思维方式。《索伯列夫空间导论》这本书，在这方面给我留下了深刻的印象。它不是一本死板的教科书，而更像是一位循循善诱的老师，引导着我去探索和发现。书中对索伯列夫空间的介绍，充满了启发性。作者并没有仅仅停留在定义和证明层面，而是不断地追问“为什么”和“有什么用”。例如，在介绍 Sobolev 空间的赋范性时，书中花了相当的篇幅去解释这种范数是如何捕捉函数及其导数的整体行为的，以及为什么这样的捕捉对于分析 PDE 至关重要。我还在书中看到了许多精妙的技巧和巧妙的证明思路，这让我意识到，数学并非只有一种解题方法，而是充满了创造性的空间。更让我感到惊喜的是，书中还包含了不少“思考题”和“练习题”，这些题目设计得非常有水平，既能检验我的理解程度，又能激发我进一步的思考。做这些题的过程，就像是在和作者进行一场智力上的对话，让我不断地挑战自己，突破自己的认知边界。这本书不仅仅让我学会了索伯列夫空间，更重要的是，它让我体验到了数学探索的乐趣，培养了我独立思考和解决问题的能力。我感觉我不仅仅是在学习一本数学书，更是在塑造一种全新的数学视野。”

评分☆☆☆☆☆

“我是一名在职的研究人员，平日里工作繁忙，能用来阅读的时间非常有限。因此，选择一本能够高效传递核心知识的书籍对我来说至关重要。《索伯列夫空间导论》这本书，在这一点上做得非常出色。它在保持理论严谨性的同时，也注重知识的实用性和应用性。作者没有浪费笔墨在旁枝末节上，而是集中火力，直击索伯列夫空间的核心内容。我最喜欢的是书中对每一章节的结构设计，开篇点题，中间论证，结尾总结，逻辑清晰，重点突出。即使是那些看似深奥的定理，通过作者精心组织的论证过程，也变得易于理解。我印象特别深刻的是关于“正则性理论”的介绍，它让我深刻理解了索伯列夫空间在分析 PDE 解的性质方面所扮演的关键角色。书中通过一些经典的 PDE 问题作为案例，直观地展示了索伯列夫空间是如何帮助我们证明解的存在性、唯一性和光滑性。这本书就像一位训练有素的向导，在陌生的数学领域里，为我指明了最直接、最高效的道路。我感觉在短时间内，就掌握了索伯列夫空间这一重要工具，这让我对解决我工作中遇到的相关问题充满了信心。这本书的精炼和高效，对于我这样的时间有限的读者来说，简直是福音。”

评分☆☆☆☆☆

“作为一名对数学物理有着浓厚兴趣的研究生，我一直在寻找一本能够系统性梳理索伯列夫空间及其在偏微分方程中应用的教材。《索伯列夫空间导论》这本书，可以说完全满足了我的需求，甚至超出了我的预期。书中对索伯列夫空间各个方面的介绍都相当详尽，从基础的定义、性质，到各种嵌入定理、迹定理，再到与 PDE 相关的应用，都进行了深入的探讨。我特别欣赏作者在介绍复杂定理时，所采用的“化繁为简”的策略，他善于用图示和直观的语言来解释抽象的概念，这对于理解那些高度抽象的数学证明非常有帮助。比如，在解释索伯列夫空间中的紧嵌入时，书中通过一些生动的例子，让我能够直观地感受到函数在这些空间中的“光滑性”和“尺度”是如何被约束的。而且，书中对于一些重要的定理，提供了多种证明思路，这极大地丰富了我的理解，也让我学会了从不同的角度去思考问题。我还在书中看到了很多前沿的研究方向的提示，这对我未来的研究课题选择提供了宝贵的参考。这本书不仅是一本教科书，更像是一个宝库，充满了值得挖掘的数学思想和研究灵感。我强烈推荐给所有对偏微分方程、泛函分析以及数学物理感兴趣的同行。”

评分☆☆☆☆☆

“说实话，我当初拿到这本《索伯列夫空间导论》的时候，并没有抱太高的期望。我接触数学的时间不算短，读过不少偏微分方程的教材，但总感觉有些概念模糊不清，特别是涉及到弱解和 Sobolev 空间的理论时，总觉得隔着一层纱。这本书的出现，彻底改变了我的看法。它不仅定义严谨，而且在概念的引入上非常巧妙。作者没有上来就给出冰冷的定义，而是从一些实际问题出发，让我们体会到引入 Sobolev 空间是多么的必要和自然。我尤其喜欢书中关于导数概念的推广部分，它让我明白了为什么在某些情况下，我们必须超越经典意义上的可微性。而对于 Sobolev 空间的内积、范数，以及它们之间的各种不等式，书中给出的推导过程清晰明了，逻辑性极强，每一步都扣人心弦。读这本书的时候，我经常会停下来，反复咀嚼那些证明，仿佛在品味一道精致的菜肴。更难能可贵的是，书中还穿插了不少历史背景介绍，这让我对这些数学概念的产生和发展有了更深的认识，也更加敬佩那些伟大的数学家。这本书就像一位经验丰富的老者，用他的人生智慧，为我指点迷津，让我茅塞顿开。我感觉我以前对这些概念的模糊感，在这本书的引领下，得到了彻底的清除。”

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很好的，适合学习，值得推荐

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适合数学专业人员作参考书

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适合数学专业人员作参考书

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不错，好书

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