发表于2024-11-05
《原子物理学.下, 原子:一种量子构件》阐述近代原子物理学的基本原理和重要实验. 《原子物理学.下, 原子:一种量子构件》分为上、下两册,上册论述原子和电磁辐射场的相互作用, 下册主要内容是建立在量子力学基础上的原子结构.下册着重在量子力学基础上阐述原子内部结构, 并将有心势场中独立电子近似模型加以推广, 用以解释 X 射线谱和原子能级. 通过大量具体计算方法和光谱实验演示实例说明理论与实验的精确符合, 并将读者带向当代原子物理学的科研前沿.
第11章有心势中无自旋的单个电子
11.1引言,复习
上册前面各章表明,原子物理学的许多问题都可采用简单模型和与经典力学很相近的分析方法来理解.但每当我们希望进行深入细致的研究时,就会要求做些不太自然、不太浅显的假说,以致要使经典理论发展与实验方面保持协调一致变得十分困难.
相反,量子力学方法则突出地显示了它们适用于原子物理.它们的渐进发展进程(从非相对论波动力学、狄拉克的相对论量子力学到场的量子理论)允许完整地理解和描述现象;在第15章(见15.5节)我们将看到,电子自旋概念的出现是量子力学发展的自然结果.然而从现在起我们应当始终记住,严格的处理只有对氢原子的情况才有可能,但即使对它非常严格也是不容易的.只有借助于各种不同的近似方法以后,才能研究比较复杂的系统.在这一章中,我们将阐明,怎样来描写有心势中一个无自旋电子的行为.这种研究包含只有一个电子的氢原子和类氢系统的情况.然而读者在本章中将可觉察到这样一个更为宽泛的考量:对于有心势中单个电子的研究结果将是研究多电子原子的基础.
对一个类氢原子中单个电子运动的定量研究要放到量子力学著作的背景里去进行.本章中我们将主要通过对物理现象和结果的描述来讨论一些基本点,尽可能采用常用的量子力学标记法.尽管对原子系统只有用这种量子描述才是唯一能令人满意的,我们还是要对经典描述做一个复习,以便引出后面要用的标记法.
11.1.1玻尔模型的描述
1913年玻尔为氢原子引入了简单的经典模型.这个模型将为描述原子、分子的特征参量的数量级提供一个参照系,并能为本领域物理学家常用的原子单位给出定义.
这个模型把电子的可能运动局限于电子在圆形轨迹上围绕着假定其质量为无穷的核的运动.规定为圆轨迹(半径r=C常量)等于要求两个运动常量之间有一个关系;这两个运动常量是总能量E和角动量L=mevr(me和v分别为电子的质量和速度).事实上,原子的静电势能是由电荷为.e的电子和相距为r、电荷为Ze的点状核形成的,它由下式给出:
为负常量(11.1)
此式意味着,势能的原点选为:当r=1,W(r)=0.
牛顿定律将相应的力与电子加速度联系起来,两者与电子的位置矢量~r共线,~r的方向是从电子指向核:运动的总能量和轨道角动量L=mevr由下式联系:
玻尔认为,轨道上的电子尽管加速,却不发射电磁波;但是,若电子开始处在一个能量为Ep的轨道上,当它不连续地过渡到能量为En的轨道时,却会发射出频率为onp的辐射.把辐射能量写成等于原子的能量损失时,我们有玻尔试图找到在常量C中Z=1时这个式子和氢原子发射波长的巴耳末{里德伯实验规律(见上册1.3.1节)的一致性:
其中,n和p是两个整数,R称为里德伯常量.为了在n和p两个数为任意值时使两个有关honp的式子等效,玻尔给经典运动方程附加了一个电子轨道角动量量子化的假说:
如果我们把量子化的角动量值放到能量的表达式中,就得到里德伯常量的表达式为其中,c是真空中的光速.
采用这个模型后,我们就可以证实,氢原子的不同能态有一个负的能量:我们赋予零能量"这样的意义:通常它相当于电子远离原子核而处于无穷远处,其速度为零;就是说,原子被电离了.从这个通例可定义零能量为电离极限,因而可以说,在绝对值上量子化能量表示处在n态上的原子在电离时所需要提供的能量,或还可以说,它代表原子中电子的结合能.
11.1.2圆运动的特征参量
对经典圆运动还可算出其他一些参量(现在要保留原子序数Z以便最后加以推广).
a)电子速度
电子速度由下式给出:v=.如果用电子速度与光速之比v/c来进行计算,就会出现下面这个常数:
我们知道在CGS单位制中,40=1.这就是为什么在许多书里可以找到不同的表达式:=e2~c
,但是它们的数值是相同的,因为.是量纲一的.这个常量叫做精细结构常数",其理由将会在后面看到(参见15.5节).
对Z=1和n=1的氢原子情况,v比c小得多,其比值等于.;这证明不考虑相对论的计算是合理的.
b)运动能量
利用精细结构常数可把运动能量写成简单的形式:
(mec2=511keV是电子静止质量的能量,令n=Z=1,很容易得到氢原子基态能量为E1=.13:6eV).
里德伯常量也可写为:R=mec
c)轨道半径
玻尔轨道半径由下式给出:
或还可写为
(我们称=h=mec=0:0024nm为康普顿波长,参见上册2.3.2节).
在氢原子基态的情况(Z=1,n=1)下,有r=a0,称为玻尔半径":
对于原子序数为Z和任意n的类氢离子,相应的轨道半径为
我们得到了数量级与从阿伏伽德罗常量或从X射线衍射实验得到的原子间距离相一致的长度.这个量a0常被理论原子物理学家在原子单位制中作为长度单位.
11.2氢原子的量子研究,库仑场
11.2.1薛定谔方程
我们所要处理的问题是:一个电荷为.e的电子,被核的库仑静电场所吸引.倘若核是带正电荷e的质子,这个问题就是中性氢原子问题.倘若核所带的电荷等于2e;3e; ,则所研究的系统就是一次、二次 电离的原子,或者我们更严格地称这些原子"为类氢离子.为了使叙述更为普遍化,取核的电荷为Ze,Z是原子序数.
在核的库仑势中电子形成的系统的势能由表达式(11.1)给出(在量子力学中通常称势能为势"):
这里选择势能的原点为:当
在原子质心坐标系中原子系统的总能量由哈密顿算符来表示,它写为这里相对运动的动能是由相对动量算符~P和与电子质量me稍有不同的、系统约化质量1来描述的.通过引入系统的约化质量解决了把原子核牵涉进来的问题,这是在经典和量子两种力学中都采用的
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