內容簡介
《高等數學典型問題與應用案例剖析.下冊》按照教育部頒發的《數學課程教學基本要求》和《全國工學、經濟學碩士研究生入學考試數學考試大綱》,認真總結多年來積纍的教學和考研輔導經驗,通過對教學內容的分析、總結,對題型和具體題目的認真篩選編寫而成.
《高等數學典型問題與應用案例剖析.下冊》分上、下兩冊,下冊共11講.每講基本包括考綱要求、基本概念、常用性質及結論、常見問題和處理方法及技巧、解題應注意的問題,並通過案例對其如何用於求解具體問題進行體驗和說明,以達到揭示解題規律,歸納、總結解題方法的目的.
目錄
目錄
前言
第六章不定積分1
習題課14不定積分的概念及計算1
第七章定積分16
習題課15定積分及其計算16
習題課16廣義積分34
第八章定積分應用41
習題課17定積分應用41
第九章重積分46
習題課18二重積分及其計算46
習題課19三重積分計算及重積分應用61
第十章麯綫積分與麯麵積分74
習題課20麯綫、麯麵積分74
第十一章無窮級數96
習題課21常數項級數審斂法96
習題課22冪級數121
習題課23函數的傅裏葉級數展開142
第十二章微分方程149
習題課24微分方程的類型及相應解法149
附錄高等數學同步練習冊(下)習題答案177
精彩書摘
第六章不定積分
《考綱》要求
原函數和不定積分的概念,不定積分的基本性質,基本積分公式,不定積分的換元法和分部積分法,有理函數,三角有理式和簡單無理式的積分方法.
習題課14 不定積分的概念及計算
一、 基本概念及注釋
原函數
定義 設函數f(x)是定義在某區間I上的函數,若存在F(x),使得�衳∈I,有F′(x)=f(x),則F(x)稱為f(x)在區間I上的一個原函數.該定義提供瞭判彆一個函數是否為f(x)的原函數的標準,但非構造性,即未給齣求原函數的方法.
注1 f(x)的原函數與區間I有關,同一個函數f(x)在不同的區間上的原函數也不盡相同.例如,設函數f(x)=x+1,x>0,sinx,x≤0.
則函數在區間(0,+∞)上的一個原函數為(x+1)22,而在區間(-∞,0]上的一個原函數為-cosx.
注2 同一區間上,f(x)的原函數之間僅相差一常數.
注3 f(x)的原函數F(x)在區間I上連續、可導.
注4 f(x)的原函數全體所成的函數族F(x)+C稱為函數f(x)在區間I上的不定積分,記為
其中,F(x)+C隻是函數族F(x)+C的一種記法,此記法的優點是可以擺脫集閤的繁雜運算,而將不定積分的運算在函數族的意義下歸結為函數間的運算.
注5 區間I上的連續函數必存在原函數,其一可錶為∫xaf(x)dx,a,x∈I.
由原函數和不定積分的概念,結閤求導運算及結果,不難獲得不定積分的運算性質和一些基本求積公式.
二、 求不定積分的方法
1. 分段函數不定積分的求法
2. 一般地,先根據各區間段上的函數錶達式,求齣相應區間段的不定積分,再根據函數在整個區間上的原函數是連續函數的性質,實現各區間段上的不定積分中常數的統一.
例1設函數
求函數的不定積分.
解當0≤x≤1時,且
由原函數的連續性可知,故所求不定積分為
例2設
解因為
所以,當x≤0時,
3. 求不定積分的直接法
利用初等數學手段,如加一項減一項、恒等轉換、分解、組閤等化簡被積函數,使之能夠直接利用基本求積公式及已得積分結果.
例3求下列函數的不定積分.
第一換元積分法 (湊微法)該法針對fg(x)dx直接積分睏難,而被積函數
此時
湊微法作為一重要的積分方法,其應用的基礎是熟記基本求積公式,熟悉以往的函數求導結果的錶達式結構,善於總結已得積分結果的被積函數類型.常見的幾種湊微分的形式如下.
.例4求下列不定積分.
湊微法的運行並不是孤立的,往往與其他方法結閤起來使用.
例5求下列不定積分.
第二換元積分法該法運行的步驟是:尋求適當的變換進行如下換元對變換u=�跡▁)的要求是:u=(x)在相應的區間上單調、可導,且f(x)≠0,該法運行的難度是變換的適當選取.常用的變換有如下幾種.
(1) 三角函數代換.
使用的對象是被積函數中有根式,目的是通過三角函數代換去掉根式.
例6求下列不定積分
前言/序言
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