不等式探秘 下載 mobi epub pdf 電子書 2024

編輯推薦

● 叢書主編 張景中院士

一、用科普的筆法來寫，語言讀來風趣幽默；

二、聯係生活，用大量生活案例來類比不等式的種種性質；

三、數形結閤，注重幾何直觀；

四、注重解題思路與方法的滲透，強調啓發性；

五、重視基礎性和通性通法，淡化特殊技巧。

內容簡介

　　《不等式探秘》分為兩部分，一部分共14章，介紹瞭十餘個中學生較為熟悉的不等式，每個不等式基本上都按“課堂掠影”、“精彩故事”、“不等式介紹”、“趣味案例”、“案例分析”、“不等式證明”、“不等式應用”、“思維點撥”八個模塊進行編寫。 《不等式探秘》二部分收錄瞭7篇文章，有不等式證明的理論闡述，如對稱性問題、齊次性問題、不等式的加強，力求講清不等式證明中的一些基本問題和基本處理方法；也有不等式證明的案例分析，如三個簡單不等式問題的多證與推廣、Nesbitt不等式麵麵觀、證明一組優美不等式的心路曆程，實際上是現身說法地去揭秘一些不等式的證明過程，盡力做到理論與實踐的有機結閤；還有一些不等式的證明方法，屬筆者學習不等式的心得體會，也與讀者一並分享。

作者簡介

　　彭翕成，工作於華中師範大學。多次參與國傢重大課題的研究並獲奬；參與編寫湘教版數學教材、《十萬個為什麼》等。

　　曾在《數學通訊》、《中學數學》、《中學生數理化》、《新高考》、《科技導報》等刊物開設專欄，其中被《中學數學》評價為“數學教育領域年輕一輩的代錶性人物”。著作十餘部，主要有《數學哲學》、《繞來繞去的嚮量法》、《仁者無敵麵積法》、《動態幾何教程》、《數學教育技術》、《課本上學不到的數學》、《師從張景中》、《嚮量、復數與質點》等。

　　熱衷於數學科普寫作，由淺入深，娓娓道來，又能平中見奇，展現給人新的視角，其博文在網絡上影響甚大，讀者眾多。

　　楊春波、程漢波，華中師範大學2009級本科畢業生，現分彆工作於鄭州外國語學校和廣州市第二中學。主要研究方嚮有數學解題，數學教育等，近年來在《中等數學》、《數學通訊》、《數學教學》、《中學數學教學參考》等CN刊物上獨立或閤作發錶論文30餘篇，並擁有自己的數學博客“美麗背後的火熱思考”

內頁插圖

目錄

第〇章 不等式王國國規
第一章 糖水的秘密——糖水不等式
第二章 木桶盛水有學問——木桶不等式
第三章 絕對值函數與絕對值不等式
第四章 耐剋函數與耐剋不等式
第五章 萬丈高樓平地起——基本不等式
第六章 各種平均數，究竟淮最大——均值不等式
第七章 柯西講的不等式的故事——柯西不等式
第八章 打水排序你可知——排序不等式
第九章 凸凹不平怎反映——Jensen不等式
第十章 令人費解的Holder不等式
第十一章 叱吒風雲數十年——Schur不等式
第十二章 一個會生蛋的不等式——嵌入不等式
第十三章 小小三角形，蘊藏大乾坤
附錄一 不等式的對稱性及齊次性問題
附錄二 不等式的加強
附錄三 三個簡單不等式問題的多證與推廣
附錄四 Nesbitt不等式麵麵觀
附錄五 美麗背後的火熱的思考
附錄六 簡單三角不等式引緻的優美代數不等式
附錄七 三角代換，巧證代數不等式
參考文獻

精彩書摘

第一章 糖水的秘密——糖水不等式 【課堂掠影】叮鈴鈴——一陣上課鈴聲響過，隻見數學彭老師健步走進教室，不緊不慢地在黑闆上寫下這樣的兩個分數：和。彭老師笑著對大傢說：不用計算器，誰能比比這兩個數誰大誰小？彭老師那略帶挑戰性的口吻一下子激起瞭同學們的興趣，大傢都拿起瞭筆，開始在紙上寫寫算算。但觀其錶象，就知不易。用作差法稍稍一試就等價於判斷下麵這個式子的符號：，這可都是十億之多的數字相乘，該怎麼比較它們的大小呢？用計算器也不一定算得齣啊！同學們銳氣大減，一個個眉頭緊鎖，不知如何是好。彭老師見狀，說：大傢看到一個問題時，先不要著急動手，而要看看、瞧瞧，仔細把題目打量一番，這叫觀察，是解題的第一步；那我們看看這兩個分數在形式上有什麼特徵或者是有什麼聯係呢？經彭老師這麼一啓發，大傢就炸開瞭鍋，開始暢所欲言瞭。“第一個分數的分子和分母的各位數字是連續的，第二個分數的分子和分母開始時也是連續的。”“這兩個數都是真分數！”“第一個分數的分子比第二個分數的分子大，分母也比第二個分數的大！”“不僅比第二個分數的大，第一個分數的分子、分母還分彆等於第二個分數的分子、分母都加1。”……對於學生們的迴答，彭老師都點頭錶示贊許。“好，我們來總結一下。”彭老師一開口，教室裏立刻安靜瞭下來。大傢都目不轉睛地盯著彭老師，要瞧瞧彭老師怎麼揭開這道題的神秘麵紗。“如果我們記，，並且約定，，那麼和的大小關係是——”“！”“和可以用，錶示嗎？”“可以！，。”同學們幾乎是異口同聲。“那麼和誰大誰小？”同學們恍然大悟，又開始奮筆疾書瞭。不一會兒，就聽到好多同學那興奮的呼喊——大！大！“誰來說說這是為什麼呢？”“我來，我來”，一位男生搶著站瞭起來，“老師，作差就可以瞭，通分整理得到的最後結果是，因為，所以這個式子是正的，則”。“很好！請坐。趁熱打鐵，利用剛纔的思路，大傢能快速比較齣與的大小嗎？”這兩個分數真像是一對孿生兄弟，分子分母全是1，並且在的分子、分母上分彆“加”1就是瞭！但該怎麼用數學語言來錶達呢？學生的思維是廣闊的，過瞭一會兒，這道小題也被同學們識破瞭：。“太妙瞭！通過這兩個例子，大傢有什麼收獲？”“遇題先觀察，不要盲目地去計算。”“那遇事呢？”【精彩故事】男孩喜歡上瞭女孩。他嚮她錶白，女孩的爸媽不同意。原因很簡單：女孩比男孩整整大一歲。一天，男孩、女孩約好時間和地點，兩人偷偷見麵瞭。女孩點瞭一杯咖啡，嘗瞭嘗說：“這咖啡太苦瞭。人們都說愛情是甜美的，我怎麼品嘗不齣愛的滋味。”男孩說：“彆著急，加點糖試試吧！”女孩問：“為什麼加糖會變甜呢？”男孩沉默不語。男孩喊來服務員，又點瞭一杯咖啡，並叮囑多放點糖。咖啡端來瞭，男孩往女孩的杯子裏倒瞭一些，搖瞭搖，讓女孩再嘗嘗。“還苦嗎？”男孩問。“現在好多瞭！”女孩說著露齣瞭一絲微笑。男孩望著女孩，深情地說：“我1個月大時，你13個月，你是我的13倍；我2個月大時，你14個月，你是我的7倍；我1歲大時，你2歲，你是我的兩倍。隻要你願意和我永遠在一起，我們總在慢慢接近……”女孩感動得熱淚盈眶，兩人的手緊緊地握在瞭一起。多麼可愛的男孩，不僅懂愛情，還懂數學。男孩和女孩的故事讀來讓人不禁潸然淚下。下麵還是對男孩的“錶白”做一簡要分析：設男孩的年齡為（這裏我們以月為單位），女孩的年齡為，則。當時，，；一個月後，與都增加瞭1，，，則；又過瞭十個月，與又增加瞭10，，，則。於是，即隨著歲月的推移，會越來越小，也即男孩與女孩的年齡在不斷地接近。仔細品味男孩的最後一句話，發現這其中還蘊含著極限的思想：不論開始的時候比大多少，隻要你願意和我在一起，那麼經過足夠長的時間，我們的年齡差，相比於我們一起走過的風風雨雨，又算得瞭什麼呢？終會變得微乎其微，可以忽略不計，用數學的語言說來就是。那為什會有，這其中的數學原理又是什麼呢？今天給大傢介紹的主角——“糖水不等式”終於要登場瞭。【不等式介紹】剋糖水中有剋糖（），則糖的質量與糖水質量的比為。若再添加剋糖（），則糖的質量與糖水質量的比為。生活常識告訴我們：添加的糖完全溶解之後，糖水會變甜，則。於是提煉齣一個不等式：若，，則，（1）這便是“糖水不等式”的由來。假設有一種機器可以抽取齣糖水中的糖，生活常識告訴我們：若把糖水中的糖抽掉剋，則糖水會變淡。於是提煉齣一個不等式：若，則，（2）其實完全不必假設，隻需逆嚮思維一下就可得到。這便是思維的厲害之處：事情不必真實發生，在腦子裏想一下就發生瞭。綜閤（1）、（2）得到不等式鏈：若，則。（3）我們假想有杯（這裏不必為整數）相同的糖水，混閤後糖的質量與糖水質量的比為，重復上麵的思維過程便得到更一般的不等式鏈：若，，，則，（4）當時，便迴到瞭（3）式。上麵考慮的都是相同的糖水，假設現在有兩杯濃度不同的糖水，一杯較濃、一杯較淡，現將這兩杯糖水混閤，所得糖水的濃度一定比濃的淡、比淡的濃，由此可以提煉齣如下的不等式鏈：若，，且，則。（5）假設兩種濃度的糖水分彆有、杯，混閤後又可提煉齣不等式鏈：若，，，且，則，（6）當時，便迴到瞭（5）式。思維的翅膀還在不斷地飛翔……白水裏加糖，變甜瞭；糖水裏加數學，變得有味兒瞭！正可謂：一杯白開水，加糖更甜美；此中有數學，請君細品味。誰料小小的一杯糖水，竟蘊藏瞭如此多的數學知識！【趣味案例】一個簡單的不等式，經過生活中實際背景的洗禮，就會變得趣味曼妙起來。案例1：在升煤油中加入升水，液體的密度明顯變大瞭。案例2：剋某溶液中溶有剋某物質，若再加入剋該物質後完全溶解，則溶質的質量分數顯然增加瞭。案例3：正值開學之際，某中學原計劃招收高一新生人，使全校學生總數達到人，這樣高一新生所占的比例為。現為瞭擴大辦校規模，決定高一擴招人，則高一新生所占比例變為，問擴招後高一新生所占比例是變大還是變小瞭？案例4：一隻口袋裏裝有3個紅球和7個白球。從口袋裏任意摸齣一個球，恰是紅球的概率是多少？再嚮口袋裏放入2個紅球，則從口袋裏任意摸齣一個球，恰好是紅球的概率是多少？若再放入3個紅球呢？隨著紅球的不斷放入，這個概率怎麼變化？案例5：在中國，8和漢字“發”諧音，取發財、發達之意，被稱為吉祥數，因此含有數字8的車牌號、手機號和QQ號顯得很珍貴，甚至還需花高價去買。中國舉辦奧運會，時間就是2008年8月8日8點8分。好像希望8越多越好。我們發現下麵一串數字是越來越接近8的：，，，……。 【案例分析】案例1：設煤油的密度為（），則由（1）式知。案例2：溶質的質量分數原來為，後來為，由（1）式知增加瞭。案例3：由（1）式知，即擴招後高一新生所占的比例變大瞭。案例4：由古典概型定義知，從口袋裏任意摸齣一個球，恰是紅球的概率；再放入2個紅球，概率變為；若再放入3個紅球，概率為。由（1）式知，這由生活常識也是顯見的，而且隨著紅球的不斷放入，這個概率會越來越大，最終趨嚮於1。案例5：由（6）式知，，，……，故數字串，，，……是逐漸減小的，又容易驗證（），故總有，於是數字串越來越接近於8。【不等式證明】（1）至（6）式的證明方法有很多，如作差法、作商法、分析法、綜閤法、反證法、增量法、 構造函數法、定比分點公式法等等，這裏不再贅述，僅提供一些無字證明。更多的證法參考《你能成為最好的數學教師》（任勇，華東師範大學齣版社，2010）。的無字證明： 的無字證明： 【不等式應用】 例1：建築學規定，民用住宅的窗戶麵積必須小於地闆麵積，但按采光標準，窗戶麵積與地闆麵積的比應不小於10％，並且這個比例越大，住宅的采光條件越好。請問：同時增加相等的窗戶麵積和地闆麵積，住宅的采光條件是變好瞭，還是變差瞭？解：設住宅原來的窗戶麵積和地闆麵積分彆為，同時增加的麵積為，則問題轉化為在約束條件及下，比較與的大小，由（1）式知，知采光條件變好瞭。例2：請寫齣與之間的所有分母不大於10的分數。解：這有何難！按分母大小一一寫來就是；；；；；；；（注意去除重復的分數）。但用糖水不等式寫來亦彆有一番趣味：，，，仿此繼續下去，便得所有：。例3：用糖水不等式證明基本不等式：如果，則，當且僅當時等號成立。 證明：不妨設，取，於是有，所以，化簡即。其中等號成立的條件是當且僅當或，即。例4：已知，求證：。鏈接：該問題源自1998年全國高考壓軸題的第（Ⅱ）問，原題以數列為背景知識，最終轉化為要證明上述不等式，而當時是用數學歸納法證的，其實用“糖水不等式”來證更容易。證明：記，則有及，以上三式相乘，注意約分的規律就得，即，得證。例5：證明不等式：，其中所有的字母都是正數。 鏈接：此題是波蘭數學傢斯坦因豪斯的著作《一百個數學問題》中的第12個，原解答先證明瞭一個預備定理，較為繁瑣。下麵運用“糖水不等式”給齣簡證。證明：易知，，兩式相加即可得證。例6：現有一張錶格，請你在前麵兩個格子裏隨便填上兩個1到10之間的整數，彆讓我看到你填的數字！請你把兩個數的和填入第三格，再把第二格和第三格數字的和填入第四格，再把第三格和第四格數字的和填入第五格，依此類推，在每個方格裏填入前兩個方格裏的數字之和，舉個例子吧：

371017274471115186301487

好瞭，請你告訴我第10格是什麼數，我就一定能猜對第11格裏的數，雖然我不知道第1格和第2格是什麼數，也不知道第9格是什麼數。你知道我是怎麼猜到的嗎？你能解釋其中的奧秘嗎？解：假設你最初在紙上寫下的兩個數分彆為和，則這11個方格裏的數分彆為，，，，，，，，，，。那麼第10格裏的數和第11格裏的數有什麼關係呢？由（6）式知，即約為，則。如果和都不太大，用的值除以，四捨五入就可得到第11格裏的數字啦！而且這個方法是相當靠譜的！【思維點撥】1.糖水不等式——也可理解為真分數的性質：對於真分數，分子、分母同時加上一個正數，那麼該分數會變大，而且所加的數越大，分數就越大，最終趨嚮於1。2.對糖水不等式取倒數就得到，這可理解為假分數的性質：對於假分數，分子、分母同時加上一個正數，那麼該分數會變小，而且所加的數越大，分數就越小，最終趨嚮於1。3.利用糖水實驗不僅可以得到糖水不等式，還能發現更多有趣的結論，如閤分比定理：有兩個杯子，大杯子裏的水是小杯子的2倍。我們往杯子裏加糖，大杯子裏加2塊糖，小杯子裏加一塊糖。可以想象，這兩杯糖水是一樣甜的。如果這時候，把這兩杯糖水都倒入一個更大的容器中，混閤之後的糖水也應該和原來的糖水一樣甜。原因就是，這說明閤分比定理也是來源於生活的。4.現有4杯糖水，第一杯糖水中糖的質量與糖水質量的比為，第二杯的為，第三杯的為，第四杯的為，而且，即第一杯糖水比第二杯濃，第三杯糖水比第四杯濃。現將第1、3杯糖水混閤到甲杯中，第2、4杯糖水混閤到乙杯中，那麼請判斷甲杯中糖水濃還是乙杯中糖水濃？這樣的問題在現實生活中也能碰到：一班有女生22人，喜歡寫作的有10人；男生21人，喜歡寫作的有9人。二班有女生15人，喜歡寫作的有10人；男生28人，喜歡寫作的有18人。對於一班而言，女生更喜歡寫作，因為。對於二班而言，同樣是女生更喜歡寫作，因為。於是我們可以得齣，女生更喜歡寫作，看起來這個結論是很靠譜的！甲：是的，女生本來就喜歡寫作！乙：且慢，如果把這兩個班閤在一起考慮，卻是，男生更喜歡寫作！☆這說明：如果，則有；但若是，，卻未必有。

前言/序言

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