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丁仁 著

图书标签:

• 几何
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• 趣味数学
• 数学普及
• 图形推理
• 思维训练
• 中学数学
• 竞赛数学
• 数学史
• 问题解决

出版社： 科学出版社

ISBN：9787030540775

版次：1

商品编码：12245610

包装：平装

丛书名： 七彩数学

开本：32开

出版时间：2017-09-01

用纸：胶版纸

页数：308

字数：150000

正文语种：中文

内容简介

　　《组合几何趣谈》介绍一系列典型而有趣的组合几何问题。《组合几何趣谈》论述力求深入浅出，周密详尽，配有大量插图，以便读者思考理解；《组合几何趣谈》既注重问题的趣味性，又不失推理严谨，体现了组合几何这门学科的特点，可谓“直觉与抽象齐飞，浅近共深奥一色”。
　　《组合几何趣谈》大部分命题定理均给出浅近完整的证明，有的命题还给出多种证明，以触类旁通，开阔思路。各个章节的内容具有相对独立性，读者可选择感兴趣的章节先行阅读，开篇有益，随后必有兴趣细读《组合几何趣谈》，提升对数学乃至其他相关学科的认知与爱好。

目录

目录
丛书序言
前言
1 平面铺砌 001
1.1 铺砌的艺术 001
1.2 阿基米德铺砌的顶点特征 006
1.3 柏拉图多面体 017
1.4 一般多边形铺砌问题 023
2 格点多边形与匹克定理 031
2.1 格点多边形 031
2.2 匹克定理 043
2.3 匹克定理的归纳法证明 045
2.4 匹克定理的加权法证明 063
2.5 原始三角形与欧拉公式 068
2.6 Farey序列与原始三角形面积 077
2.7 含有空洞的格点多边形 081
2.8 平面铺砌与格点多边形面积 084？
2.9 格点多边形与2i+7 094
2.10 圆中的格点数 096
2.11 i=1的格点三角形 098
3 平面凸集 108
3.1 凸集与凸包 108
3.2 美满结局问题 110
3.3 Helly定理 119
3.4 Minkowski定理 129
4 平面点集中的距离问题 134
4.1 Erdos点集问题 138
4.1.1 Erdos七点集 139
4.1.2 Erdos六点集 144
4.1.3 Erdos四点集与Erdos五点集 146
4.2 互异距离 150
4.3 距离的出现次数 154
4.4 最大距离 159
4.5 最小距离 161
4.6 平面等腰集 164
5 平面中的点与直线 169
5.1 有趣的平面划分问题 169
5.2 直线配置问题 180
5.3 Sylvester-Gallai定理 186
5.4 对偶变换 192
5.4.1 基本概念 192
5.4.2 抛物型对偶变换 194
5.5 有限点集生成的角 200
6 黄金三角剖分 202
6.1 黄金分割与斐波那契数列 202
6.2 黄金分割的几何作图 207
6.3 黄金矩形 211
6.4 黄金三角形与三角剖分 215
7 整数边多边形 226
7.1 整数边三角形 226
7.2 T(n)的计算公式 230
7.3 T(n)的递推公式 240
7.4 整数分拆与T(n)的计算公式 242
7.5 整数边等腰三角形 246
7.6 勾股三元组与勾股三角形 248
7.6.1 勾股三元组的构造方法 251
7.6.2 勾股三元组的其他构造方法 258
7.7 勾股三角形与格点多边形 259
7.8 本原勾股三角形的生成树 261
8 三角剖分与卡特兰数 265
8.1 多边形的对角线三角剖分 265
8.2 对角线三角剖分的计数问题 268
8.3 卡特兰数 274
参考文献 286

《宇宙的几何形态：从星系结构到微观粒子的拓扑之旅》 内容提要： 本书旨在带领读者进行一场跨越尺度、探索宇宙中物质与能量组织形态的几何学之旅。我们将深入探讨在宏观尺度上塑造星系、星团乃至宇宙网的拓扑学结构，随后深入微观领域，解析量子场论中描述基本粒子相互作用的微分几何与代数拓扑工具。全书以严谨的数学视角出发，辅以大量的物理学实例和直观的几何模型，揭示隐藏在自然界复杂现象背后的简洁、优雅的几何规律。本书不涉及任何关于组合几何（如多面体、离散结构计数等）的特定内容，而是聚焦于连续形变、流形、纤维丛以及高维空间中的几何表述。 --- 第一部分：宏观时空与宇宙学的拓扑基础 第一章：时空流形与度规张量 本章奠定全书的几何语言。我们将从爱因斯坦的广义相对论出发，将时空视为一个四维的伪黎曼流形 $M^4$。重点阐述黎曼几何的核心概念：度规张量 $g_{mu u}$ 如何定义时空中的距离、角度和曲率。不同于组合几何侧重离散结构，本章专注于微分结构，探讨如何通过光滑函数和切向量场来描述时空的局部属性。 曲率的几何意义： 详细解析黎曼曲率张量 $R^{ ho}_{sigmamu u}$，它衡量了平行移动的差异，即时空如何弯曲。我们将使用切平面的“滚动画圈”思想实验来直观理解曲率，而非基于离散网格的计算。 测地线方程： 解释测地线如何成为时空中“最短”路径（或称“最直”路径），并讨论这些路径如何受物质和能量分布（通过爱因斯坦场方程）的影响。 第二章：宇宙的整体形状：拓扑学在宇宙学中的隐秘作用 本章探讨宇宙的“整体形状”，即时空流形的拓扑结构，而非仅仅是其局部曲率。我们将对比欧几里得三维空间（$mathbb{R}^3$）的无限、无边界特性与更复杂的拓扑空间。 非平凡拓扑： 介绍如何通过覆盖空间和基本群 $pi_1(M)$ 来区分具有相同局部结构但全局拓扑不同的空间。例如，讨论三环面（Torus）$T^3$ 作为一种潜在的宇宙拓扑模型。 观测约束： 解释如何利用宇宙微波背景（CMB）辐射中的全同像（Self-Intersection）信号来寻找宇宙的有限、可观测的拓扑结构，这是一种基于全局连接性的搜索，与组合计数无关。 第三章：宇宙网的几何与同调理论 本章将视线转向物质分布，即星系和星系团构成的“宇宙网”。我们不再将物质视为孤立的点，而是将其视为嵌入三维空间中的拓扑特征。 拓扑数据分析（TDA）的初步应用： 介绍奇异同调群 $H_k(X)$ 如何量化一个空间 $X$ 中的“洞”的数量和维度。例如，计算宇宙网中的“空洞”（洞的维度为 3）和“环”（洞的维度为 1）。 Betti数： 解释贝蒂数 $eta_k$ 如何直接对应于不同维度的拓扑不变量，提供了一种比单纯的密度波动分析更深刻的结构描述。 --- 第二部分：微观物理的几何化描述 第四章：规范场论与纤维丛几何 从宏观回归微观，本部分聚焦于粒子物理学的核心——规范场论。现代物理学将基本相互作用（电磁力、弱核力、强核力）描述为纤维丛上的几何结构。 联络（Connection）与曲率（Curvature）： 详细阐述纤维丛 $(E, pi, B)$ 的概念，其中 $B$ 是我们熟悉的 Minkowski 时空。规范场（如电磁势 $A_mu$）被提升为这个纤维丛上的联络。 杨-米尔斯理论的几何视角： 将电磁学的法拉第张量 $F_{mu u}$ 推广到更普遍的李群（如 $SU(2), SU(3)$），解释规范场强即是纤维丛的曲率。这完全是一种基于流形和向量丛的微分几何描述。 第五章：量子引力与高维流形 本章探索理论物理学的前沿，即试图将量子力学与广义相对论统一的尝试，这些尝试几乎都严重依赖于高维几何。 卡拉比-丘流形（Calabi-Yau Manifolds）： 深入讨论弦理论中用于“紧化”多余维度的数学对象。这类流形是具有特殊凯勒度规的紧致复流形，其几何性质（如霍奇数）直接决定了我们能观测到的低能物理学（如粒子种类和耦合常数）。 拓扑弦论与几何的对偶性： 介绍几何的对偶性思想，例如镜面对称性（Mirror Symmetry），它揭示了两个在拓扑上看似截然不同的卡拉比-丘流形，却能导出相同的物理理论，强调了拓扑不变量在物理定律中的核心地位。 第六章：规范场论中的拓扑荷：瞬子与非平凡解 本章关注微分方程解的拓扑性质，即那些不能通过连续形变缩小的特殊解。 瞬子（Instantons）与Chern数： 在欧几里得引力或规范场中，瞬子是具有有限作用量的解。它们的“拓扑荷”由陈类（Chern Class）来表征。陈类是纤维丛的拓扑不变量，直接计算了规范场在时空中的“扭曲”程度。 磁单极子（Magnetic Monopoles）： 使用霍普夫纤维化的思想，解释如何构造出具有非零拓扑荷的规范场构型（如吴-杨单极子），其存在依赖于纤维丛的非平凡结构。 --- 总结与展望 本书的论述始终聚焦于连续的、微分的几何结构——流形、度规、联络和纤维丛。我们揭示了从宇宙大尺度结构到基本粒子相互作用的统一语言，在于它们都可以被抽象为具有特定几何属性的空间和场。读者将掌握从广义相对论到量子场论中，几何学如何作为连接数学与物理世界的桥梁，理解那些由曲率和拓扑结构所决定的自然法则。本书旨在培养读者从“点和线”的组合视角转向“连续和形变”的微分几何思维。

评分☆☆☆☆☆

我是一位业余的艺术爱好者，特别喜欢从各种事物中寻找灵感。最近在整理书架时，我发现了这本《组合几何趣谈》，它彻底颠覆了我对几何的认知。《组合几何趣谈》并没有局限于纯粹的数学理论，而是将几何学与艺术、设计、甚至自然界中的奥秘紧密联系起来。书中关于分形几何的部分尤其令我着迷，那些自然界中隐藏的复杂图形，如雪花、海岸线、树枝的生长模式，竟然都遵循着简单的数学规律。这让我开始用全新的视角去审视周围的世界，我发现，原来艺术的构图、建筑的比例、产品的设计，都离不开几何学的原理。书中的案例分析非常精彩，比如如何利用黄金分割比例来创作更具美感的画面，如何通过对称性和重复性来设计出令人印象深刻的图案。这本书就像一位多才多艺的向导，带领我穿越几何学的奇妙领域，让我看到了数学的艺术之美。它不仅仅是一本关于数学的书，更是一本关于如何观察世界、理解世界、创造世界的书，为我的艺术创作提供了源源不断的灵感。

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计就足够吸引人了，柔和的色彩搭配上一个巧妙的几何图形，让人立刻产生想要翻开一探究竟的冲动。我一直对数学有着朦胧的好感，但又常常被那些抽象的公式和定理望而却步。这本《组合几何趣谈》恰好填补了我心中对数学的空白。我特别喜欢它不拘泥于传统教材的编排方式，而是以一种讲故事、说趣闻的口吻，将复杂的几何概念娓娓道来。读起来一点也不枯燥，反而像是在和一位博学而风趣的朋友聊天。那些关于欧几里得、阿基米德，甚至是中国古代数学家们的轶事，穿插在几何定理的讲解之中，让冰冷的数字变得鲜活起来。书中配图也十分精美，很多插图都如同艺术品一般，不仅帮助我理解几何图形，更增添了阅读的愉悦感。我尤其对书中关于“如何用最少的笔画画出复杂的图形”的章节感到着迷，这背后蕴含的数学思想，让我重新审视了日常生活中许多司空见惯的现象。这本书就像一把钥匙，轻轻一拨，就为我打开了通往数学世界的一扇窗，让我看到了它不为人知的另一面——原来数学也可以如此有趣、如此富有想象力。

评分☆☆☆☆☆

说实话，我对数学一直抱着一种敬而远之的态度，总觉得那是属于少数“天才”的领域。然而，《组合几何趣谈》这本书却像一股清流，让我重新认识了数学的可能性。《组合几何趣谈》的语言风格非常独特，它摒弃了艰深晦涩的专业术语，而是用一种非常平易近人的方式，将复杂的几何概念剖析得淋漓尽致。作者似乎深谙“授人以鱼不如授人以渔”的道理，书中没有大量地罗列公式定理，而是通过引导性的提问和趣味性的故事，让读者在不知不觉中理解了背后的逻辑。我特别喜欢书中关于“柯尼斯堡七桥问题”的讲解，这个看似简单的游戏，竟然蕴含着图论的深刻思想，让我看到了数学解决实际问题的强大力量。书中还涉及了一些我之前从未接触过的领域，比如拓扑学，它像魔术一样，展示了图形在变形过程中的不变性质，着实让我大开眼界。这本书让我明白，数学并非遥不可及，它就隐藏在我们生活的方方面面，只要我们愿意去发现，去探索。

评分☆☆☆☆☆

作为一名在校学生，我每天都在与各种枯燥的教材打交道，数学课更是让我头疼不已。直到偶然间在书店看到了《组合几何趣谈》，我才重新燃起了对数学的兴趣。《组合几何趣谈》最大的亮点在于它巧妙地将理论知识与实际应用相结合，让抽象的几何概念变得生动形象。书中没有出现让我头晕的繁琐证明，而是通过大量的实例和有趣的谜题，引导读者一步步地理解几何原理。例如，在讲解空间填充问题时，作者并没有直接抛出公式，而是用乐高积木、蜂巢等生活中的例子，让我直观地感受到了最有效率的空间利用方式。书中还介绍了许多我闻所未闻的几何猜想和未解之谜，激发了我对数学探索的欲望。我甚至开始主动去思考，生活中还有哪些现象可以用几何学来解释？这本书就像一位耐心且善于引导的老师，它不会直接告诉你答案，而是让你自己去发现、去思考，在这个过程中，你不仅学会了知识，更培养了解决问题的能力。我强烈推荐给所有对数学感到困惑的学生，它一定会改变你对数学的看法。

评分☆☆☆☆☆

我是一名对世界充满好奇的退休老人，一直喜欢阅读一些能拓展视野的书籍。这次偶然接触到《组合几何趣谈》，简直是给我带来了一场思维的盛宴。《组合几何趣谈》给我最深刻的印象是它无与伦比的趣味性和启发性。书中并没有像一般的科普读物那样，简单地罗列一些有趣的数学知识点，而是通过一个个精心设计的“故事”和“谜题”，让读者主动参与到思考的过程中。我尤其喜欢书中关于“魔术方块”的解法探讨，它不仅仅是简单的解题步骤，更深入地剖析了其中的数学原理，让我对“如何系统性地解决问题”有了更深刻的理解。书中还介绍了一些历史上的数学趣闻，比如那些伟大的数学家们是如何在困境中寻找灵感，如何用独特的视角看待世界，这些都让我受益匪浅。这本书就像一位睿智的长者，用亲切的语言，分享着关于宇宙、关于逻辑、关于智慧的奥秘。它让我相信，学习是永无止境的，即使在人生的晚年，也能通过阅读，不断发现新的乐趣和智慧。

评分☆☆☆☆☆

非常不错，愉快的购物之旅！

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六、多读。“从精出发，博览群书。”身边的人和事是书，工作是书，生活是书，只要肯读书，书中自有黄金屋。

评分☆☆☆☆☆

好书，写的很生动有趣。

评分☆☆☆☆☆

四、心读。读书要专心，更要用心。书中自有黄金屋，用心去读，才能真正读懂书，朱熹在《训学斋规》中说，“读书有三到，心到，眼到，口到，三到之中，心到最急。”

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这本书不是太好，一本100多页的小书，竟然卖十几块钱，作者怎么不出去抢钱啊！

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五、鉴读。读书也是生活的一面镜子，通过读书梳理自己的头脑，丰富文化底蕴，提升道德素养，我把一些好的方面作为航标，把比如从物传记方面的反面东西作为成长的警钟，这就叫做鉴读，有借鉴、有鉴别的吸收书中的文化，持扬弃的读书观。

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《折纸与数学》适合中、小学数学教师、学生、数学爱好者、折纸爱好者、数学教育研究者阅读参考。

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