發表於2024-11-22
眾所周知,H?lder不等式在現代數學的很多分支中都扮演著重要的角色,如實分析和復分析、概率論和數理統計、模糊積分、微分方程、算子理論等。著名數學傢Hardy、Littlewood及Polya在其名著《不等式》中再三強調H?lder不等式“極為重要”和“到處都要用到”。近年來關於H?lder不等式的研究又有瞭新的重要的進展,《H?lder不等式及其應用》介紹H?lder不等式的近期的發展概況,包括H?lder不等式的新的推廣、本質的改進、新的重要的性質以及它在統計學和管理學中的應用等研究成果,是一本不可多得的關於不等式的數學專著。
H?lder不等式在數學的眾多分支中扮演著重要的角色, 並且在統計學、管理學等領域也有著廣泛的應用. 《H?lder不等式及其應用》的目的就是介紹Holder不等式的近期發展概況, 內容包括5章. 第1-3章介紹瞭H?lder不等式的推廣、改進和一些性質;第4章介紹瞭H?lder不等式在Aczel型不等式的推廣和改進中的應用;第5章給齣瞭H?lder 不等式在統計學和管理學中的兩個應用.
《H?lder不等式及其應用》的讀者對象為高等院校數學及相關專業高年級本科生、研究生,也可供相關專業的教師和數學工作者參考.
田景峰, 河北省安新縣人,華北電力大學教師。主要從事解析不等式、模糊測度與積分、不確定統計學習理論、不動點理論的研究。在《Information Sciences》、《Fuzzy Optimization and Decision Making》、《Mathematical Inequalities and Applications》、《Journal of Mathematical Inequalities》等知名國際期刊上發錶學術論文40餘篇,其中SCI收錄近30篇。榮獲河北省優秀教學成果三等奬、保定市大中專院校青年教師說課比賽一等奬、華北電力大學青年教師教學基本功大賽一等奬、河北省大學生數學競賽優秀指導教師、保定市青年科技奬等榮譽稱號。哈明虎,男,河北肅寜人,教授,博士生導師,“新世紀百韆萬人纔工程”*傢級人選,省管優秀專傢,享受國務院政府特殊津貼。現主要從事應用數學、信息科學與經濟管理等多學科交叉的不確定性信息處理、統計預測與決策和統計學習理論等方嚮的研究,先後在國內外學術雜誌、國際會議論文集上正式發錶學術論文百餘篇,其中SCI、EI檢索論文70餘篇;著作4部。曾主持完成國傢自然科學基金2項;中國博士後科學基金1項,省級項目2項;曾主研完成國傢自然科學基金2項。現主持國傢自然科學基金1項,教育部科學技術研究重點項目1項,省級項目2項。先後榮獲省級科研奬勵一、三等奬5項,省級教學奬勵一、二等奬2項,河北省思想政治工作創新奬一等奬1項。
第 1章 H¨older不等式的推廣 1
1 1實分析中 H¨older不等式的推廣 3
1 2 H¨older不等式在 Sugeno積分和僞積分中的推廣 7
1 2 1關於 Sugeno積分的 H¨older不等式 7
1 2 2關於僞積分的 H¨older不等式 10
1 3 H¨older不等式的時標形式 20
1 4 PMa,b空間的 H¨older型不等式 49
1 5關於矩陣的和與乘積的 H¨older不等式形式 51
第 2章 H¨older不等式的改進 58
2 1 H¨older不等式的第一種改進 58
2 2 H¨older不等式的第二種改進 69
2 3 H¨older不等式的第三種改進 77
2 4 H¨older不等式的第四種改進 99
第 3章實分析中推廣的 H¨older不等式構成的函數的單調性 124
3 1 n維 H¨older不等式構成的函數的單調性 127
3 2指數一般化的 H¨older不等式構成的函數的單調性 133
第 4章 H¨older不等式在 Acz′el型不等式的推廣和改進中的應用 144
4 1在 Acz′el型不等式的第一種推廣和改進中的應用 146
4 2在 Acz′el型不等式的第二種推廣和改進中的應用 154
4 3在 Acz′el型不等式的第三種推廣和改進中的應用 158
4 4在 Acz′el型不等式的第四種推廣和改進中的應用 168
4 5在 Acz′el型不等式的第五種推廣和改進中的應用 176
4 6在 Acz′el型不等式的第六種推廣和改進中的應用 190
第 5章 H¨older不等式在統計學和管理學中的應用 194
5 1 H¨older不等式在統計學中的應用 194
5 2 H¨older不等式在管理學中的應用 200
參考文獻 210
第1章 Holder不等式的推廣
自從 H¨older給齣 H¨older不等式以來 ,齣現瞭大量的關於這個不等式的推廣.本章並不想把所有的結果都羅列齣來 ,隻想給齣 H¨older不等式的最新的重要的推廣 .因而本章給齣的關於 H¨older不等式的推廣的成果 ,並不能涵蓋目前關於 H¨older不等式研究的全部成果 ,關於 H¨older不等式的其他的推廣 ,讀者可以參考相關文獻 [34,39,44,48].
為瞭方便讀者,首先給齣本書中經常用到的一些基本的不等式.
定理 1.0.1 (Cauchy-Bunyakowsky-Schwarz不等式 )設 ar,br(r =1, 2,··· ,
n)為實數,則
n2
(叫 2叫( n叫
\( nb2
立arbr立a 立 . (1.1)
rrr=1 r=1 r=1
定理 1.0.2 (H¨older不等式 )如果 ar,br》 0(r =1, 2, ··· ,n), p》 q> 1, 11
p + q = 1,則
1
p
n
( np叫( n叫
立\立a立bq
arbrrrr=1 r=1 r=1
1
q
,
(1.2)
如果 ar,br > 0(r =1, 2, ··· ,n), 0
前言
經典的 H¨older不等式是數學傢 H¨older於 1889年給齣的如下形式的不等式:
nn)1 n)1
pq
去arbr(去pr(去 bqr,
山a
r=1 r=1 r=1
其中 ar,br》 0(r =1, 2, ··· ,n), p》 q> 1, 1 p +1 q =1 (當 ar,br > 0,r =
1, 2, ··· ,n,0
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