拓扑空间论（第2版） pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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高国士 著

图书标签:

• 拓扑学
• 点集拓扑
• 一般拓扑
• 拓扑空间
• 数学分析
• 高等数学
• 数学
• 教材
• 第二版
• 理论基础

出版社： 科学出版社

ISBN：9787030212979

版次：1

商品编码：12289084

包装：平装

丛书名： 现代数学基础丛书

开本：16开

出版时间：2008-04-01

用纸：胶版纸

页数：337

字数：419000

正文语种：中文

内容简介

　　《拓扑空间论（第2版）》是作者高国士在一般拓扑学研究生教材的基础上修改和补充而成的，是拓扑空间理论方面的专著。全书共八章，前四章是拓扑空间论的基础知识，后四章是对一般拓扑学两大课题“覆盖性质”与“广义度量空间”深入研究的成果，介绍了国内外，特别是我国学者在这方面的贡献。
　　为了使读者深入理解《拓扑空间论（第2版）》内容，在每章后安排了大量的习题，作者的学生林寿主持了第二版的修订工作。
　　《拓扑空间论（第2版）》适合高等学校数学系高年级学生、研究生及研究工作者阅读。

内页插图

目录

《现代数学基础丛书》序
第二版序
第一版序
预备知识
0．1 集、关系和映射
0．2 基数与序数
0．3 超限归纳法与选择公理
习题0

第1章 拓扑空间概念
1．1 拓扑的引入
1．2 开基与邻域基
1．3 闭包与内核
1．4 滤子和网
1．5 映射
习题1

第2章 导出拓扑的方法、分离公理、可数公理、连通空间
2．1 导出拓扑的方法
2．2 分离公理
2．3 可数公理
2．4 函数分离性与完全正则空间
2．5 连通空间
习题2

第3章 紧空间
3．1 紧空间
3．2 Tychonoff定理
3．3 完备映射
3．4 局部紧空间与k空间
3．5 紧性的推广
3．6 紧化
习题3

第4章 度量空间
4．1 度量空间
4．2 全有界与完全度量空间
4．3 度量化定理
4．4 可度量化空间在某些映射下的像
4．5 一致空间
习题4

第5章 仿紧空间
5．1 仿紧空间的刻画
5．2 仿紧空间的映射性质
5．3 仿紧空间的遗传性
5．4 仿紧空间的可积性
5．5 仿紧空间的和定理
5．6 可数仿紧空间
习题5

第6章 其他覆盖性质
6．1 定义、刻画及相互间关系
6．2 映射性质
6．3 遗传性
6．4 可积性
6．5 和定理
6．6 Iso紧性与不可约性
习题6

第7章 广义度量空间（上）
7．1 Moore空间，可展、拟可展空间与G涠越窍？
7．2 w△空间、M空间与p空间
7．3 a空间与∑空间
7．4 Mi空间
7．5 半层、k半层空间，单调正规空间，对称与半度量空间
7．6 具有点可数基的空间
习题7

第8章 广义度量空间（下）
8．1 N0空间
8．2 N空间
8．3 cs网与cs-罂占？
8．4 笠糯�闭包保持k网与Lagnev空间
8．5 一些尚未解决的问题
习题8

参考文献
索引
《现代数学基础丛书》已出版书目

前言/序言

　　2000年前后，一批对点集拓扑学发展做出过贡献的数学家相继去世，如R.Arens（1919-2000），A.Borel（1923-2003），J.J.CharatoIuk（1934-2004），B.Fitz-patrick（1931-1999），E.Hewitt（1920-1999），J.Isbell（1931-2005），F.B.Jones（1910-1999），M.Katetov（1918-1995），J.L.Kelley（1917-1999），K.Morita（1915-1995），J.Nagata（1925-2007），R.H.Sorgenfrey（1915-1996），A.H.Stone（1916-2000），M.H.Stone（1903-1998），J.W.Tukey（1915-2000），L.Vietoris（1891-2002），A.Weil（1906-1998）等，他们发展了20世纪初由F.Hausdorff（1868-1942）等开创的点集拓扑学，描绘了第二次世界大战以来一般拓扑学的精彩画卷，为风起云涌的20世纪增添了不可磨灭的壮丽篇章，使之成为我们取之不尽的理论源泉，在C.E.Aull和R.Lowen[33，34，35]主编的Han，Book of the History of General Topology一书中对其历史功绩做了较好的评述，
　　我国开始进行较深入、扎实与规模化的点集拓扑学研究比德国、波兰、前苏联、美国等晚了半个世纪.关于国内学者对点集拓扑学的阶段性贡献，四川大学刘应明教授、蒋继光教授曾给出了简短的综述.我国学者取得的拓扑学成果已载入Encyclopedia of General Topology】等专著，提出的拓扑学问题被列入Open Problemsin Topoloy等问题集，解决了一些有影响的经典问题[332]，这从一个侧面反映了我国一般拓扑学研究的影响力和所处的国际地位，在中国已成功举办了6次国际一般拓扑学学术会议及一些专题会议.这些会议已成为凝聚人心、展示形象、鼓舞士气、促进交流的重要平台。A.V.Arhangel'skii在《点可数覆盖与序列覆盖映射》的序言中写道：“我想提一提该专著的另一个令人高兴的方面，它的出现标志了一般拓扑学在中国长期发展的成功，这个发展造就了一群极具创造力的中国数学工作者，使他们做出了对一般拓扑学主流方面闪光的重要贡献。”我以为，Arhangel'sku所说的“一般拓扑学在中国长期发展的成功”应主要归功于蒲保明（1910-1988）、高国士（1919-2003）、刘应明、王国俊、王戍堂、方嘉琳、杨守廉、戴牧民、蒋继光、吴利生等前辈始于20世纪70年代的科研实践与研究生培养工作。

泛函分析引论：基于Hilbert空间理论的深入探究 作者： [虚构作者姓名] 出版社： [虚构出版社名称] 版本： 2023年修订版 --- 内容提要 本书是为数学、物理学以及相关工程领域的高年级本科生和研究生精心编写的一部关于泛函分析基础理论的教材。全书以严谨的数学论证和清晰的几何直觉为导向，聚焦于泛函分析的核心——Hilbert空间的结构、拓扑性质以及在线性算子理论中的应用。 我们深知，泛函分析是连接经典分析、线性代数与现代数学分支（如偏微分方程、量子力学和调和分析）的关键桥梁。因此，本书的叙事逻辑旨在循序渐进地引导读者从有限维欧几里得空间的概念自然过渡到无限维的抽象向量空间，最终深入到完备性带来的深刻洞察。 本书结构精巧，内容涵盖了泛函分析理论的基石，从基础的拓扑概念出发，逐步构建起完整的理论框架，重点强调了在具体空间上的应用和实例。 --- 第一部分：预备知识与拓扑基础回顾 在正式进入无限维空间之前，本章首先对必要的背景知识进行了详尽的回顾与深化。 第一章：必要背景与度量空间 本章旨在为后续章节建立坚实的分析基础。我们不仅仅停留在定义层面，而是深入探讨了这些概念在更广泛空间中的行为。 1.1 拓扑空间的温习与深化：回顾了开集、闭集、邻域、连续性等基本概念。重点讨论了紧致性在度量空间中的等价表述（Heine-Borel定理的推广思路探讨），以及可分离性在函数空间中的意义。 1.2 度量与完备性：详细阐述了完备度量空间的概念，并引入了Baire纲定理的完整证明及其在证明算子存在性问题中的关键作用。我们通过具体的例子（如连续函数空间$C[a,b]$）来展示完备性的重要性。 1.3 等距同构与拟范数：初步探讨了向量空间结构如何与拓扑结构相互作用。介绍了等距映射的概念，并讨论了非规范化范数空间如何通过构造“伪度量”来引入拓扑结构。 --- 第二部分：赋范线性空间与Banach空间的核心理论 本书将Banach空间视为泛函分析的第一个重要里程碑。我们聚焦于其线性结构和拓扑结构完美融合所带来的强大工具。 第二章：赋范空间与Banach空间 2.1 范数与拓扑的诱导：清晰界定了范数的定义，并证明了范数诱导的拓扑的性质。着重区分了强收敛与弱收敛的初步概念。 2.2 连续线性泛函：深入研究了连续线性泛函的性质。这是连接对偶空间的关键。通过几何直觉解释了连续线性泛函的“不穿过”零点的特性。 2.3 Banach空间三大基本定理：这是本章的核心。 开映射定理 (Open Mapping Theorem)：详细阐述了其内容、严格证明，并通过反例说明了非完备空间（非Banach空间）中该定理失效的情形。 闭图像定理 (Closed Graph Theorem)：展示了如何利用开映射定理来证明闭图像定理，并强调了该定理在验证微分算子连续性时的实用价值。 一致有界原理 (Uniform Boundedness Principle) / Banach-Steinhaus定理：提供了其多个等价表述，并详细分析了其在级数收敛性分析中的应用。 第三章：对偶空间与Hahn-Banach定理 本章是Banach空间理论中最具技巧性和重要性的部分，它确立了泛函分析的“分离性”力量。 3.1 Banach空间对偶空间的概念：定义了$X^$，并讨论了有限维空间与无限维空间对偶空间的巨大差异。 3.2 Hahn-Banach定理： 延拓定理的实数域证明：本节对定理的几何意义和代数结构进行了深入分析。 泛函形式的应用：着重讨论了如何利用此定理证明存在性问题，特别是如何在非紧集上找到分离超平面。 几何解释：通过凸集分离定理来可视化Hahn-Banach定理的强大作用。 3.3 强对偶与弱对偶：比较了Banach空间$X$和其对偶空间$X^$之间的拓扑关系，引入了弱拓扑的概念。 --- 第三部分：Hilbert空间——内积的几何力量 Hilbert空间是泛函分析的中心舞台，内积赋予了这些空间丰富的几何结构，使其行为远比一般的Banach空间更可控。 第四章：Hilbert空间结构与正交性 4.1 内积空间与Hilbert空间的定义：从内积的定义出发，自然过渡到范数的导出，并明确了Hilbert空间的完备性要求。 4.2 正交分解与投影定理：这是Hilbert空间独有的核心工具。 正交补与投影算子：严格证明了对于任意闭凸子空间$M$，存在唯一的正交投影$P_M$，并推导了投影算子的性质。 最佳逼近元：利用投影定理解决了最小二乘问题，这是傅里叶级数理论在抽象空间中的推广。 4.3 Riesz表示定理：本节是连接Hilbert空间与算子理论的桥梁。详细阐述了Hilbert空间$H$与$H^$之间的等距同构关系，并讨论了该定理在线性泛函描述中的重要性。 第五章：自伴算子与谱理论的初步接触 本章将几何结构与线性算子相结合，为深入研究微分方程的谱分解打下基础。 5.1 有界线性算子：定义了从$H$到$H$的有界线性算子，并证明了算子范数的性质。 5.2 伴随算子 (Adjoint Operator)：这是自伴算子理论的前提。定义了在稠密的定义域上的伴随算子的构造过程，并探讨了伴随算子与原始算子之间的拓扑关系。 5.3 自伴算子 (Self-Adjoint Operators)： 性质：证明了自伴算子的特征值必为实数，特征向量的正交性。 几何意义：从物理学角度阐释了自伴算子在量子力学中对应“可观测物理量”的必然性。 --- 第四部分：推广与应用导引 本部分简要介绍了如何将前述理论应用于更复杂的函数空间，并预告了更深入的研究方向。 第六章：$L^p$空间与Minkowski不等式 本章将前述的理论应用于经典的$L^p$函数空间，这是泛函分析最重要的具体实例。 6.1 $L^p$空间的构造与完备性：详细讨论了Lebesgue积分与$L^p$空间的关系，并证明了$L^p$空间（当$1 le p le infty$时）是Banach空间。 6.2 Riesz-Fischer定理：证明了$L^p$空间是Hilbert空间（仅当$p=2$时），并重新审视了傅里叶级数在$L^2$空间中的收敛性。 6.3 Holder与Minkowski不等式：对这些关键不等式进行了严谨的证明，并探讨了它们在证明$L^p$空间完备性中的核心作用。 --- 总结与展望 本书的撰写旨在提供一个坚实的、可操作的理论基础。我们力求在保持数学严谨性的同时，通过丰富的例子和几何直觉来激发读者的兴趣。《泛函分析引论》 旨在成为后续学习偏微分方程、量子场论或高级调和分析的理想跳板。读者在掌握了Hilbert空间和Banach空间的基本工具后，将能够更自信地应对无限维空间中的挑战。

评分☆☆☆☆☆

我最近在深入学习某个数学分支，一直苦于找不到一本既系统又清晰的参考书。之前看了一些其他的资料，总觉得不够连贯，知识点之间跳跃性太强，理解起来费劲。偶然间看到了这本书，从目录上看，它涵盖了我需要的绝大部分内容，而且章节的划分逻辑性很强，感觉是循序渐进地铺设知识体系。我最看重的是教材的例题和习题设计。一本好的教材，不仅要讲清楚理论，更要通过丰富的例题帮助理解，并通过有难度的习题来巩固和拓展。我翻阅了一下，里面的例题都选取得恰到好处，既能说明抽象的概念，又不太复杂，容易上手。而习题部分，从基础题到综合题，梯度分明，相信能够有效地检验我是否真正掌握了书中的内容。我特别喜欢那种能激发思考的习题，而不是死记硬背就能做出来的。希望这本书能在这方面给我带来惊喜，真正帮助我打下坚实的知识基础。

评分☆☆☆☆☆

这本书在我目前的学习阶段，可以说是恰逢其时。我最近在准备一项非常重要的考试，需要掌握大量的专业知识，而时间又非常有限。我需要的不仅仅是一本知识全覆盖的书，更是一本能够帮助我高效梳理和复习的工具。我仔细看了这本书的章节安排和重点标注，它在每个章节的开头都会有一个清晰的概述，点明本章的核心概念，并在结尾进行总结，提炼出关键的知识点。此外，书中的一些“提示”或“注意”栏目，也对容易混淆或容易出错的地方做了特别说明，这对于我这种需要快速掌握重点的人来说，简直是福音。我不需要自己去大海捞针地分辨哪些是核心，哪些是次要。这本书就像一位经验丰富的导师，已经帮我把学习路径规划好了，我只需要按照它的指引去学习和消化。这种结构化的学习支持，极大地减轻了我的学习压力，也提高了我的复习效率。

评分☆☆☆☆☆

这本书的装帧真的太棒了！我收到的时候简直被惊艳到了。封面是那种哑光质感，摸起来很舒服，颜色也特别耐看，不是那种花里胡哨的，就是很沉稳的学术风，很符合我心目中经典教材的样子。拿到手里有分量，纸张也厚实，不是那种容易泛黄的廉价纸，印刷清晰，字体大小适中，排版也很紧凑但又不显得拥挤，阅读起来眼睛不容易疲劳。翻开来，书脊做得也很扎实，不用担心翻了几次就散架。每一页的裁切边缘都很整齐，整体给人一种非常精良的感觉，一看就知道是用心制作的。作为一本理论性很强的书，能够有如此高质量的印刷和装帧，不仅提升了阅读体验，也让人觉得物有所值，甚至有收藏的价值。我通常不太关注书的外在，但这次真的被它的细节打动了，这种对细节的追求，也让我对书的内容充满了期待，希望里面的知识同样精彩，能够给我带来一次愉快的学习旅程。

评分☆☆☆☆☆

我对数学的历史和发展脉络非常感兴趣。很多时候，理解一个数学概念的产生背景、它在历史长河中的演变以及与其他概念之间的联系，能够极大地加深对这个概念本身的理解。我一直在寻找一本能够将理论知识与历史背景相结合的书籍。我翻阅了一些章节，发现这本书不仅仅是陈述数学定理和证明，还时不时地穿插了一些关于重要数学家及其贡献的介绍，以及某个概念是如何在历史发展中逐渐形成和完善的。这种“叙事性”的教学方式，让我觉得学习过程不再是枯燥的公式推导，而更像是一次穿越时空的数学探索之旅。我特别欣赏这种能够将“为什么”和“是什么”有机结合起来的讲解方式，它能够激发我对数学更深层次的求知欲。我希望这本书能让我不仅学到知识，更能感受到数学的生命力。

评分☆☆☆☆☆

我一直对某个抽象的数学概念非常着迷，但市面上相关的书籍大多过于晦涩难懂，要么就是太浅显，点到为止，无法深入。在寻找了很久之后，我偶然发现了这本书，从网上的一些介绍来看，它似乎能够填补我在这方面的知识空白。我特别关注作者的写作风格。我希望作者能够用一种既严谨又易于理解的语言来阐述复杂的概念，避免过多的术语堆砌，或者能够对关键术语进行清晰的解释。我也希望书中能够有大量的图示或者类比，来帮助理解那些抽象的结构和关系。有时候，一个好的图解比长篇大论的文字更能直观地展现数学的精髓。我尝试着翻阅了一下，里面的文字表述确实比较流畅，而且不乏一些精妙的比喻，让我眼前一亮。期待这本书能够引领我进入一个更加广阔的数学世界，让我对这些抽象概念有更深刻的认识和理解。