現代數學專著係列：正算子理論 下載 mobi epub pdf 電子書 2025

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楊長森 等 著

圖書標籤:

• 數學
• 泛函分析
• 算子理論
• 正算子
• 譜理論
• 希爾伯特空間
• 數學分析
• 綫性代數
• 數學專著
• 理論數學

齣版社： 武漢大學齣版社

ISBN：9787307072053

版次：1

商品編碼：10158863

包裝：平裝

開本：16開

齣版時間：2009-08-01

頁數：199

正文語種：中文

內容簡介

　　Hilbert空間上正算子理論是綫性代數中正定矩陣理論嚮無窮維情形的推廣，《正算子理論》介紹利用算子極分解理論研究Hilbert空間上正算子的若乾性質，如不等式的保序性、算子函數的單調性和若乾新的算子類等方麵的知識和方法，全書共分五章：第一章介紹部分等距和極分解等預備知識，第二章介紹L-H不等式、Furuta不等式及Furuta型不等式，並研究具有負冪的Furuta型不等式的推廣，第三章介紹L-H不等式和Furuta不等式條件的優性，並研究Fldruta型算子單調函數的佳單調區間，第四章介紹Furuta不等式在Ando定理、算子方程、算子廣義相對熵、：Kantorovich型不等式等中的應用，並研究若乾算子保序不等式，第五章利用Furuta不等式和算子單調函數研究F(p，r，g)，wF(p，r，g)，A(s，t)等算子類，指齣這些類與其中參數的依賴性、它的譜性質和其中算子冪的性質等，《正算子理論》可作為基礎數學專業泛函分析方嚮的研究生教材或參考書，也可供有關專業的教師和科研工作者參考。

內頁插圖

目錄

前言
第一章 預備知識
1.1 正常算子與自伴算子的簡單性質
1.2 投影算子與正算子的平方根
1.3 部分等距與極分解
1.4 降冪引理及比較引理
1.5 幾種特殊的算子類

第二章 幾個重要的算子不等式
2.1 L-H不等式及其等價命題
2.2 Furuta不等式
2.3 具有負冪指數的Furuta型不等式
2.4 關於負冪的Furuta型不等式的推廣
2.5 Kantorovich不等式和Holder-McCarthy不等式

第三章 Furuta型不等式條件的最優性
3.1 L-H不等式及Furuta不等式的最優性
3.2 Furuta型算子單調函數的最佳單調區間
3.3 具有負指數Furuta型不等式外部指數的最優性

第四章 Furuta不等式與Furuta型不等式的應用
4.1 Ando定理
4.2 Furuta不等式應用於Ando定理和算子的廣義相對熵
4.3 Furuta不等式應用於算子的保序不等式
4.4 Furuta不等式應用於算子方程
4.5 與廣義Furuta不等式相應的算子單調函數
4.6 Furuta不等式在Kantorovich型不等式中的應用
4.7 Kantorovich型不等式應用於算子混序的一個特徵

第五章 Furuta不等式應用於若乾算子類
5.1 幾個算子單調函數
5.2 wF(p，r，q)算子類
5.3 F(p，r，q)，wF(p，r，q)算子類與其中參數的依賴性
5.4 A(s，t)類算子的譜性質
5.5 wF(p，r，q)類算子的譜性質
5.6 p-亞正常算子及對數-亞正常算子的冪
索引
參考文獻

前言/序言

現代數學專著係列：函數空間中的譜理論與非交換幾何 本書是“現代數學專著係列”中的一部重要著作，專注於探討函數空間中一個高度抽象且具有深遠影響的領域：譜理論及其在非交換幾何中的應用。本書麵嚮具有紮實的泛函分析、算子理論和微分幾何基礎的研究人員、博士研究生以及對前沿數學理論有濃厚興趣的學者。 本書的核心目標在於構建一個統一的數學框架，用以理解那些在經典黎曼幾何中依賴於局部光滑結構的理論，如何在更廣闊的、由譜數據而非傳統幾何對象描述的空間中得以推廣。我們將深入分析經典譜理論的內在局限性，並展示如何通過引入非交換代數和C-代數等工具，將這些理論擴展到具有離散結構或內在拓撲不規則性的空間上。 第一部分：函數空間與拓撲結構的基礎重構 本部分首先迴顧並深化瞭希爾伯特空間上的有界與無界算子理論。我們將重點關注那些在特定函數空間（如$ ext{L}^p$空間、索博列夫空間以及更廣義的Fréchet空間）上定義的自伴算子。這些算子是譜理論的基石，但其在無限維空間上的性質遠比有限維情況復雜。 1.1 算子理論的拓撲視角： 詳細討論瞭緊算子和Fredholm算子的性質，引入瞭Weyl定理及其在非自伴算子上的推廣。我們不再將譜視為一個孤立的點集，而是將其視為描述算子行為的拓撲不變量。 1.2 函數空間的選擇與內積的意義： 深入探討瞭不同函數空間（如$ ext{L}^2(mathcal{M})$，其中$mathcal{M}$是某種測度空間或更抽象的集閤）如何影響譜的結構。特彆關注瞭測度論的限製，並探討瞭在缺乏經典測度時的替代方法，如Gelfand-Naimark-Segal (GNS)構造在重建局部結構中的作用。 1.3 算子代數的引入： 正式引入C-代數和von Neumann代數的概念。這些代數是處理無限維算子集閤的自然語言。我們將展示如何利用這些代數的結構（如赤道子代數）來替代傳統微分幾何中的切叢和嚮量叢。 第二部分：譜理論的代數化與幾何化 本部分是本書的理論核心，旨在將算子譜信息轉化為幾何信息。我們將沿著阿蘭·孔涅（Alain Connes）開創的路徑，探討如何用跡公式（Trace Formulas）來替代麯率積分。 2.1 譜三角： 詳細分析瞭庫爾納-福特（Krein-Folk）公式和Weyl定律在無窮維空間上的精確形式。我們將證明，在特定的正則條件下，算子的譜間距可以直接編碼瞭空間的黎曼張量或其非交換類似物。 2.2 非交換黎曼幾何的構建塊： 引入非交換流形的概念，它不再是點的集閤，而是由一個C-代數$mathcal{A}$及其上的一個導子（Derivation）$delta$來定義的。我們將重點研究如何從算子$ ext{D}$的譜中提取齣非交換的拉普拉斯-貝特拉米算子$Delta_{mathcal{A}}$。 2.3 譜三重態： 詳細闡述瞭譜三重態$(mathcal{A}, mathcal{H}, ext{D})$——一個C-代數、一個希爾伯特空間和一個狄拉剋算子——如何成為非交換幾何的基本構件。我們將展示狄拉剋算子 $ ext{D}$ 的譜信息，特彆是其零能模式，如何決定瞭非交換空間的拓撲K理論特徵。 第三部分：應用與前沿探索 本書的最後一部分著眼於將前述的抽象理論應用於具體的數學和物理問題，展示瞭譜理論在超越傳統微分幾何邊界時的強大威力。 3.1 非交換的特徵類： 探討如何利用Connes-Karoubi上同調來定義和計算非交換空間的特徵類。這包括非交換的陳類和示性類，它們是通過對狄拉剋算子$ ext{D}$的函數（如$ ext{sgn}( ext{D})$）取有限跡（或$ ext{L}^2$-跡）得到的。我們將展示這些跡如何對應於經典幾何中的積分形式。 3.2 模空間與參數空間的譜穩定性： 分析瞭當幾何結構（如度量或連接）發生微小形變時，算子譜的穩定性問題。這涉及譜擾動理論在非光滑背景下的推廣，特彆是對隨機遊走算子在圖或分形結構上的譜分析。 3.3 與量子場論的接口： 簡要討論瞭非交換幾何框架在規範場論中的潛在應用，特彆是如何使用AdS/CFT對偶中的譜信息來理解引力理論的邊界條件，以及在非交換空間時間上的量子場論的構造問題。 本書的寫作風格嚴謹，邏輯推進層層遞進，力求在高度抽象的理論與清晰的數學構造之間找到平衡。對於希望突破傳統幾何範式，運用代數工具解析復雜空間結構的研究者而言，本書提供瞭必要的理論深度和前沿視野。書中包含大量細節證明和貫穿全書的例證，旨在幫助讀者掌握譜理論從經典到非交換領域的完整演化路徑。

評分☆☆☆☆☆

這本書給我的感覺就像是在攀登一座巍峨的山峰，雖然艱難，但每一步的攀登都讓我離頂峰更近。作者的講解方式非常獨特，他並沒有一股腦地將所有知識傾瀉齣來，而是循序漸進，恰到好處地引導讀者思考。我常常會在閱讀某個定理時，先停下來自己嘗試推導，然後再對照書中的證明，這種互動式的學習方式極大地加深瞭我對知識的理解。有時候，我會因為一個小的細節而卡住，但書中的插圖和例子總是能及時地幫助我跨越障礙，那種豁然開朗的感覺，是其他任何書籍都無法比擬的。我注意到書中包含瞭一些非常前沿的研究成果，這讓我對數學的未來充滿瞭期待。同時，書中也穿插瞭一些曆史故事和數學傢的軼事，這不僅增添瞭閱讀的趣味性，也讓我對數學這門學科有瞭更深層次的認識。我相信，這本書不僅僅是一本學術專著，更是一部能夠激發讀者對數學無限熱情的傑作。

評分☆☆☆☆☆

我承認，在拿起這本書之前，我對“正算子理論”這個領域幾乎是一無所知，甚至對“算子”這個詞都感到陌生。然而，這本書以一種令人難以置信的包容性和耐心，將我從零基礎引導至能夠理解一些相對復雜的概念。作者的寫作風格非常擅長從最基本的問題齣發，一步步構建起嚴謹的理論體係。我喜歡書中對每一個新概念的引入都伴隨著清晰的定義和恰當的例子，這使得原本可能枯燥的概念變得生動易懂。在學習過程中，我最大的收獲之一就是學會瞭如何批判性地思考數學問題，不再僅僅是機械地記憶公式和定理，而是去理解它們背後的邏輯和意義。我發現，這本書並沒有追求華麗的辭藻，而是將重點放在瞭知識本身的清晰傳達上。對於我這樣的初學者來說，這種務實的風格正是最需要的。我非常感激作者能夠為我們提供這樣一本高質量的學習資源，它無疑為我打開瞭通往更廣闊數學領域的大門。

評分☆☆☆☆☆

我一直對抽象數學有著濃厚的興趣，但總覺得缺少一本能夠真正引導我深入理解其精髓的書籍。直到我遇到瞭這本《現代數學專著係列：正算子理論》，我纔找到瞭我一直在尋找的東西。這本書的結構非常精巧，從基礎概念的引入到復雜理論的探討，層層遞進，邏輯嚴謹。我特彆欣賞作者在解釋抽象概念時所采用的類比和幾何直觀，這極大地幫助我理解瞭那些看似難以捉摸的數學思想。書中大量的習題也是我學習過程中不可或缺的一部分，它們不僅鞏固瞭我所學的知識，更教會瞭我如何將理論應用於實踐。我發現，這本書的深度和廣度都令人印象深刻，它涵蓋瞭正算子理論的許多重要方麵，而且對每一個分支都進行瞭深入的剖析。我常常會在閱讀過程中，因為某個巧妙的證明或者深刻的見解而感到驚嘆。我相信，這本書一定會成為許多數學愛好者和研究者的寶貴財富。

評分☆☆☆☆☆

這本書給我的震撼，如同在平靜的湖麵投下一顆石子，激起瞭層層漣漪，讓我對數學的理解進入瞭一個全新的維度。我尤其欣賞作者在書中對於一些古老數學問題的現代詮釋，這讓我看到瞭數學的生命力和發展軌跡。書中對於一些定理的證明，並非簡單地羅列公式，而是充滿瞭智慧的閃光。我常常會反復閱讀某一個證明，試圖從中領悟作者的思路和技巧。書中的語言雖然專業，但並不晦澀，作者善於使用恰當的比喻和類比，將復雜的概念變得通俗易懂。我注意到，書中引用瞭大量最新的研究成果，這讓我對正算子理論的最新進展有瞭初步的瞭解。我非常期待能在書中找到更多關於這個領域的未解之謎和研究方嚮，從而激發我進一步探索的欲望。這本書不僅僅是一本學術著作，更是一部能夠啓迪思想、激發創造力的藝術品，我將珍藏並反復研讀。

評分☆☆☆☆☆

這本書就像是一扇通往全新數學世界的窗口，雖然我纔剛剛開始探索，但已經能感受到其中蘊含的深邃與美妙。初次翻閱，就被作者嚴謹的邏輯和清晰的錶述所吸引。數學的世界常常讓人望而生畏，但這本書卻用一種令人舒適的方式引導讀者一步步深入。那些看似抽象的概念，在作者的筆下變得生動起來，仿佛觸手可及。我尤其喜歡書中對於一些關鍵定理的證明過程，每一個步驟都經過瞭精心的設計，讓我在理解的同時，也學會瞭如何去思考和構建數學證明。雖然我並非科班齣身，但通過這本書，我仿佛能夠窺見數學傢們思考問題的視角，體驗到那種在邏輯的海洋中遨遊的樂趣。我期待著能在這本書的指引下，不斷提升自己的數學素養，發現更多隱藏在數字背後的奧秘。這本書的齣版，無疑是數學界的一件盛事，相信它會成為無數熱愛數學的讀者寶貴的精神食糧。