多變量變分原理與多變量有限元方法下載 mobi epub pdf 電子書 2025

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田宗漱等著

圖書標籤:

多變量分析
變分原理
有限元方法
數值分析
科學計算
工程數學
偏微分方程
結構力學
計算力學
優化算法

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齣版社：科學齣版社

ISBN：9787030304827

版次：1

商品編碼：10639023

包裝：平裝

開本：16開

齣版時間：2011-04-21

用紙：膠版紙

頁數：788

具體描述

內容簡介

隨著計算機的發展，有限元方法成為解微分方程邊值問題強有力的數值方法。本書介紹近30年來這門學科發展的新領域--高等有限元方法。本書係統地總結瞭有限元學科，依據變分原理，在基礎元的研究上，到目前為止世界各國學者所取得的重要成果；由淺入深嚴謹的講述瞭各類主要的高等有限元--這些元泛函的建立，單元列式方法，單剛導齣，應用實例及分析比較。這些高等有限元的建立，不僅對這門學科的發展有重要意義，而且有重大的應用前景。本書還介紹瞭本學科現在世界的研究動嚮及今後的發展趨勢。

前言
第1章小位移變形彈性理論基本方程
第2章小位移變形彈性理論經典變分原理
第3章小位移變形彈性理論廣義變分原理
第4章根據最小勢能原理建立的有限元
第5章根據修正的勢能原理建立的有限元
第6章根據餘能原理及修正的餘能原理建立的有限元模式（一）
第7章根據修正的餘能原理建立的有限元模式I的應用
第8章修正的餘能原理建立的雜交應力有限元模式（二）
第9章根據Hellinger—Reissner原理及修正的Hellinger—Reissner原理建立的有限元模式（一）
第10章根據Hellinger—Reissner原理及修正的Hellinger—Reissner原理建立的有限元模式（二）
第11章根據修正的Hellinger—Reissner原理及具有一個參數的廣義變分原理建立的有限元模式（三）
第12章根據鬍一鷲津（Hu—Washizu）原理所建立的有限元模式
第13章根據修正的Hu—Washizu原理建立的有限元模式
第14章根據更一般形式的廣義變分原理所建立的有限元模式
總結
索引（一）
索引（二）

前言/序言

變分原理、有限元方法及其在工程與科學中的應用聚焦數學基礎、數值實現與實際問題求解的權威指南本書旨在為讀者提供一個全麵、深入且結構嚴謹的數理基礎，用以理解和掌握現代科學與工程計算領域的核心工具——變分原理與有限元方法（FEM）。本書的敘述重點在於構建紮實的理論框架、清晰地闡述數值實現的步驟，並展示其在處理復雜物理現象中的強大能力。第一部分：變分原理的深度剖析與數學基礎本部分緻力於構建讀者理解有限元方法的理論基石——數學物理中的泛函極值問題及其變分錶述。第一章：泛函分析基礎與Sobolev空間本章係統迴顧並深化讀者對泛函分析的理解，為後續變分方法的建立鋪平道路。我們將從賦範綫性空間、內積空間的概念齣發，引入Banach空間和Hilbert空間。重點討論瞭Sobolev空間的定義、性質及其重要性，特彆是其與傳統 $L^p$ 空間的區彆與聯係。我們將深入探討廣義導數的概念，分析Sobolev嵌入定理、跡理論以及緊性概念在證明中的關鍵作用。這些基礎知識是理解弱解、確保有限元逼近解的適當正則性的前提。第二章：自伴算子與泛函的變分原理本章將變分法的核心思想具體化。首先，詳細討論瞭拉格朗日力學與哈密頓力學中的最小作用量原理，展示物理係統演化的內在機製如何轉化為數學上的泛函極值問題。隨後，我們將討論綫性算子方程的自伴性，並闡述自伴算子下對應的泛函（如能量泛函）的凸性、下確界存在性。關鍵在於建立能量泛函的最小值與微分方程的強解之間的等價關係，並引入瞭Dirichlet原理的嚴格數學錶述。第三章：偏微分方程的弱形式推導這是連接連續問題與離散方法的核心橋梁。本章詳細講解瞭如何將不同類型的偏微分方程（如橢圓型、拋物型和雙麯型方程）從經典的強形式（涉及高階導數）轉化為弱形式（或稱變分形式）。我們將通過乘以測試函數並進行分部積分（利用格林公式）的過程，清晰地展示如何降低對解的正則性要求，從而允許更廣泛的函數空間（如Sobolev空間）作為解的候選空間。本章將重點分析泊鬆方程、梁方程以及Stokes方程的弱形式構建過程，並探討Lax-Milgram定理在保證弱解存在性和唯一性中的核心地位。第二部分：有限元方法的理論框架與離散化在掌握瞭弱形式之後，本部分將引入有限元方法（FEM）的離散化思想，重點闡述如何從無限維的函數空間過渡到有限維的代數係統。第四章：剖分、插值與基函數的構造有限元方法的第一步是空間離散化。本章詳細介紹瞭剖分（或網格劃分）的類型（三角形、四麵體、拓撲結構）和質量要求（如網格畸形度的控製）。隨後，重點討論瞭有限元空間的構建，即在每個子單元上選取一組形函數（或稱插值基函數）。我們將深入分析最常用的拉格朗日有限元（綫性、二次）的構造方法、插值誤差估計，並探討H1僞度量和L2度量下的插值精度。還將介紹P1單元的全局基函數的構建和性質。第五章：有限元離散與剛度矩陣的形成本章將嚴格執行從弱形式到代數方程組的轉換過程。我們使用有限元基函數來近似待求的弱解，將其錶示為基函數的綫性組閤。由此，無限維的內積運算轉化為有限維的矩陣運算。我們將詳細推導單元剛度矩陣和單元載荷嚮量的計算公式，重點展示如何利用數值積分（如高斯-勒讓德積分）來精確或近似計算積分項，尤其是對於高階多項式基函數。最後，闡述如何通過組裝過程將單元矩陣和嚮量匯集成為全局的稀疏代數係統 $[K]{u} = {F}$。第六章：有限元方法的誤差分析與收斂性理論的嚴謹性要求我們對數值解的精度進行量化分析。本章深入探討有限元方法的收斂性。我們將引入Cea引理，該引理提供瞭數值解與真實弱解之間誤差的上界估計，通常以網格尺寸 $h$ 的形式錶示（如 $O(h^k)$）。我們將區分$h$ -收斂（減小網格尺寸）和$p$ -收斂（增加多項式次數）。本章還將分析不同邊界條件（如Dirichlet、Neumann）在離散化過程中的處理方式，並探討由於數值積分引入的離散化誤差。第三部分：高級主題與特定問題的處理本部分將有限元方法推廣到更復雜的問題域和更專業的應用場景，展示其在解決實際工程挑戰時的靈活性。第七章：非綫性問題的有限元求解許多實際問題（如材料大變形、流體動力學）的控製方程是非綫性的。本章講解如何處理非綫性有限元問題。核心在於引入牛頓-拉夫森迭代法或綫搜索方法來綫性化非綫性係統。我們將詳細推導非綫性弱形式的切綫剛度矩陣（Jacobian矩陣），並探討迭代過程中的收斂準則和步長控製策略。第八章：對流-擴散方程的數值挑戰對流項（一階導數）的存在，使得對流-擴散方程（如Advection Equation）的有限元求解麵臨振蕩問題。本章專門討論如何穩定這類方程的求解。我們將分析標準 Galerkin 方法在Péclet數高時齣現的不穩定現象，並詳細介紹常用的穩定化技術，如SUPG（Streamline Upwind Petrov-Galerkin）方法和LPS（Least Squares）方法，展示它們如何在不犧牲高精度解的同時抑製數值噪音。第九章：時間離散化與演化問題針對拋物型（熱傳導、擴散）和雙麯型（波動、振動）的時間依賴性問題，本章聚焦於時間方嚮的離散化技術。我們將係統比較歐拉法（前嚮和後嚮）與Crank-Nicolson法的穩定性和精度特性。重點分析瞭這些時間步進方案如何與空間上的有限元離散結閤，形成半離散模型，並討論在耦閤時間-空間離散化中需要滿足的CFL條件或A-穩定性要求。第十章：有限元模型的實施與計算實踐本章側重於將理論轉化為實際計算的工程實踐。內容包括：高效的稀疏矩陣存儲方案（如CSR、CSC格式）的選擇與優化；求解大規模綫性係統的迭代求解器（如共軛梯度法、GMRES）的原理及預處理器的設計；以及結果的後處理與可視化技術，如應力奇異點的識彆和後驗誤差估計方法的應用。本書的最後部分旨在指導讀者建立穩健、高效的數值模擬流程。

用戶評價

評分☆☆☆☆☆

當我第一眼看到《多變量變分原理與多變量有限元方法》這個書名的時候，我的腦海裏就浮現齣瞭無數個需要復雜數學工具纔能解決的工程難題。我之前在學習有限元方法的時候，主要接觸的是單變量或者低維度的應用，而這本書直接點明瞭“多變量”，這讓我立刻意識到它可能觸及瞭更深層次、更具挑戰性的科學計算領域。我特彆好奇它在“多變量變分原理”部分是如何構建和解釋這些原理的，畢竟在高維空間中，很多直觀的幾何概念可能不再適用，需要全新的數學語言來描述。我期望這本書能夠提供清晰的推導過程，讓讀者能夠理解這些原理的邏輯根源，而不是僅僅停留在公式的層麵。至於“多變量有限元方法”的部分，我非常想知道它在離散化、基函數選擇以及邊界條件處理等方麵，相對於傳統方法有哪些創新和改進。如果書中能夠通過一些具體的例子，比如模擬高維數據集中的熱傳導、流體流動，或者復雜的結構應力分析，來展示這些方法的威力，那就太棒瞭。我希望這本書不僅僅是一本理論手冊，更是一本能夠指導實踐的工具書，能夠幫助我在麵對更復雜的工程問題時，有更強大的數學武器去應對。

評分☆☆☆☆☆

《多變量變分原理與多變量有限元方法》這個書名，立刻勾起瞭我之前在學習數值分析和偏微分方程時的一些睏惑。我一直覺得，很多實際問題的復雜度遠超我們最初的模型所能捕捉的範圍，尤其是當係統中的物理量受到多個獨立變量的影響時，比如空間坐標、時間、甚至多種介質的屬性。變分原理以其優雅的數學形式，為我們提供瞭一種從全局齣發、尋找係統能量極值的視角，而有限元方法則為我們提供瞭將這些抽象的數學模型轉化為可計算的數值解的強大工具。這本書的名字恰好將這兩者結閤，並且強調瞭“多變量”，這讓我聯想到在一些高維度問題中，傳統的建模和求解方法會遇到瓶頸。我希望這本書能夠提供一些關於如何在高維空間中有效地構造和理解變分問題的方法，以及如何在保證精度的同時，剋服“維度災難”帶來的計算成本問題。如果書中能有一些關於如何處理具有復雜幾何形狀和多重邊界條件的多變量問題的案例分析，那就更加完美瞭。我非常期待這本書能夠幫助我理解如何將更復雜、更真實的物理場景納入到數學模型中，並找到高效可靠的數值求解方案。

評分☆☆☆☆☆

收到《多變量變分原理與多變量有限元方法》這本書，我第一時間就被它充滿挑戰性的書名吸引住瞭。在我的研究領域，我們經常需要處理涉及多個獨立變量的物理係統，比如天氣預報模型、金融衍生品定價，亦或是復雜的生物醫學模擬。傳統的單變量分析方法在這種情況下顯得力不從心。因此，一本聚焦於“多變量”的變分原理和有限元方法的書籍，對我來說簡直是雪中送炭。我非常期待書中能夠深入探討如何在多變量環境下構建有效的變分泛函，以及如何保證這些泛函的良定性和求解的唯一性。同時，我對於多變量有限元方法的具體實現技術也充滿好奇，尤其是如何在高維空間中進行高效的網格劃分、如何選擇閤適的插值函數，以及如何處理可能齣現的“維度災難”問題。如果書中能夠給齣一些針對特定領域的應用實例，例如在機器學習中用於錶示和學習高維數據分布，或者在量子力學中用於求解多體問題，那就更能體現這本書的價值和前沿性。我希望這本書能夠提供嚴謹的數學理論和實用的計算算法，成為我處理復雜多變量問題的得力助手。

評分☆☆☆☆☆

拿到《多變量變分原理與多變量有限元方法》這本書，我感到一種莫名的興奮。這本書的書名本身就傳遞齣一種嚴謹、深入的學術氣息，暗示著它將帶領讀者探索科學計算的前沿領域。在我看來，變分原理提供瞭一種非常強大的數學框架，能夠將許多看似互不相關的物理現象統一在“極值原理”之下，而有限元方法則是一種極其靈活和強大的數值離散技術，能夠處理各種復雜的幾何形狀和邊界條件。當這兩個概念遇上“多變量”，我立刻意識到這本書的潛在應用範圍之廣。我迫切想知道書中是如何處理多變量情境下的泛函錶達和求值的，以及在多變量有限元方法的實現過程中，有哪些獨特的技巧和挑戰。例如，如何在高維空間中進行有效的積分和求導，如何處理可能齣現的奇點和不連續性，以及如何保證算法的穩定性和收斂性。如果書中能夠包含一些關於如何將這些理論應用於實際科學工程問題的實例，比如在高性能計算、大數據分析、或者復雜係統建模等領域，那我相信這本書的價值將得到極大的體現。我期待著能夠在這本書中找到解決我研究中遇到的復雜數值計算難題的思路和方法。

評分☆☆☆☆☆

這本書我聽說是近期齣版的，名字聽起來就很有學術深度，叫《多變量變分原理與多變量有限元方法》。我本身是對數學和工程交叉領域比較感興趣的，特彆是那種能把抽象數學理論應用於解決實際工程問題的方法。變分原理聽起來就很有意思，它似乎提供瞭一種從能量的視角去理解和分析復雜物理現象的途徑，而有限元方法又是解決偏微分方程的利器，尤其是在處理那些幾何形狀不規則、邊界條件復雜的實際問題時。這兩者結閤，再加上“多變量”，這名字就暗示著這本書很可能涉及高維空間下的數學建模和數值計算，這對一些高級的科學計算領域，比如流體力學、固體力學、電磁場仿真等等，都至關重要。我非常期待這本書能夠深入淺齣地講解這些概念，尤其是希望能看到一些具體的應用案例，比如如何用多變量變分原理來建立一個復雜的物理模型，再用多變量有限元方法來求解它，給齣一些工程上的洞察。如果書中能夠對算法的收斂性、精度以及穩定性有詳盡的分析，那就更好瞭，畢竟理論的嚴謹性和計算的可靠性是相互依存的。我非常好奇這本書對於處理多物理場耦閤問題有沒有涉及，或者在非綫性問題上是否有所突破。總之，衝著這個名字，我就覺得這絕對是一本值得深入研讀的力作，希望能從中學到很多實用的知識和前沿的研究思路。

評分☆☆☆☆☆