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曹重光 等 著

图书标签:

• 高等代数
• 线性代数
• 抽象代数
• 数学方法
• 大学教材
• 数学分析
• 矩阵理论
• 群论
• 域论
• 代数结构

出版社： 科学出版社

ISBN：9787030315885

版次：1

商品编码：10705418

包装：平装

开本：16开

出版时间：2011-07-01

用纸：胶版纸

页数：247

正文语种：中文

内容简介

　　《高等代数方法选讲》通过例题系统地讲述了高等代数的思想与方法，全书共18讲，每讲均配有大量习题（包括习题答案与提示），按方法而不是按内容编排例题与习题是本书的一大特点，《高等代数方法选讲》有助于提升高等代数学习者的素质与能力。
　　《高等代数方法选讲》可作为大学数学系选修课的教材，也可供青年教师和报考研究生的同学参考。

目录

前言
第1讲 矩阵的初等变换方法
第2讲 行列式与矩阵计算的技巧和方法
第3讲 解决某些反问题的方法
第4讲 几何中的某些线性代数方法
第5讲 多项式恒等及恒等变形方法
第6讲 向量组的初等变换方法
第7讲 多项式矩阵的初等变换方法
第8讲 线性方程组用于证明的方法
第9讲 利用等价分解的方法
第10讲 矩阵合同及相关方法
第11讲 相似不变量分析方法
第12讲 矩阵相似的扩域方法
第13讲 标准形方法的思想内涵
第14讲 从特殊情形入手探讨证明思路
第15讲 运用基底的方法
第16讲 利用子空间的方法
第17讲 关于存在性问题证明的思考
第18讲 转化方法在证明中的运用
部分习题答案与提示
参考文献

前言/序言

《深入理解线性代数：从理论到应用》 书籍简介 本书旨在为读者提供一个全面、深入且富有洞察力的线性代数学习体验，超越传统教材的广度和深度。它不仅仅是一本关于矩阵和向量运算的教科书，更是一部关于结构、变换和空间几何的探索之作。我们聚焦于线性代数的核心思想、基本原理及其在现代科学与工程中的实际应用，为读者构建一个坚实而灵活的数学思维框架。 本书的编排逻辑清晰，从最基础的概念出发，逐步推向高级主题，确保读者能够平稳过渡，理解每一步推导背后的深刻含义。我们着重强调“为什么”（Why）和“如何做”（How），而非仅仅是“是什么”（What）。 第一部分：线性代数的基础结构与几何直觉 第一章：向量空间与线性组合的本质 本章从向量空间的抽象定义入手，强调其作为一组元素满足特定封闭性条件的集合的特性。我们深入探讨线性组合、张成（Span）的概念，并引入线性无关性这一核心概念——它是理解基和维数的基础。通过几何实例（如二维和三维空间中的平面与直线），直观地展示线性无关性与空间生成的关系。讨论了子空间的定义、判定及其在向量空间中的层次结构。 第二章：矩阵表示与线性变换 本章是连接代数与几何的桥梁。我们详细分析矩阵如何作为一种线性变换的代数表示。读者将学习如何从不同的基底视角观察同一个线性变换，理解矩阵乘法在变换复合中的意义。重点阐述了可逆性、非奇异性与矩阵行列式之间的深刻联系。我们通过实例展示旋转、投影、拉伸等基本几何变换是如何被矩阵精确描述的。 第三章：线性方程组的求解：算法与理论的统一 本章着眼于线性方程组 $mathbf{Ax}=mathbf{b}$ 的系统性求解。我们不再仅仅停留在高斯消元法（Gauss-Jordan Elimination）的操作层面，而是深入探讨其背后的行空间、列空间和零空间的几何意义。通过分析增广矩阵的秩，读者将掌握求解无解、唯一解或无穷多解的判据。引入矩阵的LU分解和QR分解的初步概念，为后续的数值稳定性讨论埋下伏笔。 第二部分：结构分析与分解 第四章：基、维数与坐标变换 本章系统性地探讨了向量空间的“度量”——基和维数。我们严格证明了任何向量空间基的数量都是相同的，并详细分析了坐标变换（Change of Basis）的矩阵表示。读者将学会如何选择“最方便”的基底来简化矩阵的表示，这对于后续的对角化至关重要。 第五章：行列式：空间的定向与缩放因子 行列式的计算方法（代数余子式展开、性质推导）被详尽阐述。更重要的是，本章强调行列式的几何解释：它代表了线性变换对体积（或面积）的缩放因子，以及其正负号代表了空间方向的保持或反转。我们利用行列式理论来证明和理解逆矩阵的存在性。 第六章：特征值、特征向量与动力系统的分析 这是理解动态系统和矩阵对角化的关键章节。我们不仅推导出特征方程，更着重解释特征向量所指示的方向——在该方向上，变换只产生伸缩，没有方向的扭曲。深入探讨对角化的条件（特征值是否完备），以及对角化在线性递推关系、微分方程系统求解中的强大作用。 第三部分：内在结构与正交性 第七章：内积空间与几何结构 本章将线性代数的概念扩展到具有度量结构的空间——内积空间。我们定义了内积（点积的推广），并基于此定义了长度、距离和角度。重点讲解正交性的概念，它是线性代数中最强大的工具之一。 第八章：正交投影与最小二乘法 正交性在求解“无解”方程组时提供了最佳近似解。本章详细介绍正交投影的原理，并将其应用于解决最小二乘问题。读者将理解最小二乘法不仅是回归分析的基础，也是理解数据拟合误差最小化的理论核心。 第九章：施密特正交化与QR分解的深入 基于第八章的理论，我们系统地介绍施密特（Gram-Schmidt）正交化过程，它提供了一种构造正交基的算法。随后，我们将正交化过程与矩阵分解相结合，深入剖析QR分解，并讨论它在数值稳定性上的优越性，特别是它在求解特征值问题中的重要地位。 第四部分：更高级的分解与应用视角 第十章：对称矩阵与谱定理 本章聚焦于在许多物理和工程问题中普遍出现的对称矩阵。我们严格证明了对称矩阵的特征值都是实数，且特征向量是相互正交的（谱定理）。这一优美性质是量子力学和数据分析中降维技术的基础。 第十一章：奇异值分解（SVD）：万能的分解 奇异值分解被誉为线性代数的“瑞士军刀”。本章详尽介绍SVD的构造、几何意义（主方向和拉伸因子），以及其在数据压缩、主成分分析（PCA）和伪逆矩阵计算中的核心作用。我们将展示SVD如何作用于任何矩阵（不要求方阵或对称性），提供了一个通用的、数值稳定的结构视图。 第十二章：马尔可夫链与迭代方法简介 本章将线性代数知识应用于动态系统。我们利用转移矩阵描述概率分布的变化，并探讨平稳分布（对应于特征值1的特征向量）的存在性与计算。同时，简要介绍幂迭代法等迭代方法，展示如何用线性代数工具解决大规模、需要数值逼近的问题。 结语：线性代数在现代科学中的角色 本书的最后一部分总结了线性代数作为连接抽象数学与实际应用的桥梁作用，强调其在数值计算、机器学习、信号处理和控制理论中的基础地位。 本书特点： 1. 深度与广度的平衡： 既涵盖了理论的严格性，又提供了丰富的应用案例。 2. 几何直观优先： 每一个代数概念都配有清晰的几何或变换解释。 3. 强调分解： 将矩阵分解（LU, QR, SVD）视为理解矩阵本质的关键工具，而非单纯的计算技巧。 4. 面向应用： 大量例子直接来源于工程、统计和科学计算领域。

评分☆☆☆☆☆

作为一个对数学怀有浓厚兴趣的业余爱好者，我一直渴望能深入了解高等代数的精髓。《高等代数方法选讲》这个书名，本身就充满了吸引力。我一直觉得，学习数学，尤其是像代数这样逻辑性极强的学科，关键在于理解其“方法”和“思想”。很多时候，我们记住了公式和定理，却不明白它们是如何被发现的，背后的逻辑脉络是什么。我特别希望这本书能够在这方面有所侧重，不只是罗列枯燥的定理和证明，而是能够揭示解决问题的思想方法，比如如何构造一个特定的代数结构，如何运用某种工具来证明一个命题，或者如何将一个复杂的问题转化为更易于处理的形式。我非常期待书中能够有大量的例题，并且这些例题不是那种教科书上“标准”的，而是能够体现一些技巧和窍门，能让我看到数学家们是如何“思考”的。如果书中还能涉及一些历史背景，或者不同学派的观点，那将是锦上添花，让我更能体会到数学发展的曲折与辉煌。

评分☆☆☆☆☆

我是一名教师，正在为即将到来的课程备课。我一直认为，高等代数是许多科学和工程领域的基础，但很多学生在学习过程中常常感到吃力。我希望能够找到一本能够帮助我向学生们清晰、直观地讲解高等代数概念的书籍。《高等代数方法选讲》这个书名，让我觉得它可能不仅仅是知识的堆砌，而更侧重于“方法”的讲解。我非常期待它能够提供一些创新的教学思路和方法，例如如何将抽象的群论概念与实际生活中的对称性联系起来，如何用形象的比喻来解释域扩张的本质，或者如何通过一些有趣的例子来引导学生发现伽罗瓦理论的魅力。我希望这本书能够帮助我突破传统教学模式的局限，让我的课堂更加生动有趣，更能激发学生们对数学的兴趣和探索欲。如果书中能够提供一些思考题或者讨论题，也方便我在课堂上与学生互动。

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计相当朴实，一本厚厚的《高等代数方法选讲》，没有花哨的插图，只有沉甸甸的学术气息扑面而来。我拿到它的时候，正是我在本科阶段对抽象代数理论感到有些力不从心的时候。翻开目录，看到诸如“群论基础”、“环与域的构造”、“域扩张与伽罗瓦理论”这些章节名，心里就咯噔一下，知道这绝对不是一本轻松的读物。我记得当时最头疼的就是那些抽象的定义和证明，总觉得它们像天书一样，遥不可及。尤其是涉及到群的同态、同构，以及那些复杂的理想和模运算，常常让我陷入死胡同。我当时最希望能够找到一本既能清晰解释概念，又能提供足够多的例子来辅助理解的书。最好是能像一位耐心细致的老师，一步步引导，而不是直接抛出艰深的理论。我期待它能帮我打下坚实的理论基础，让我对这些抽象的概念有一个更直观的认识，甚至能将它们与一些实际应用联系起来，这样学习起来就不会那么枯燥和迷茫了。

评分☆☆☆☆☆

我是一名正在攻读相关专业硕士的学生，目前正面临着毕业论文的选题和研究。我的研究方向与某些代数结构密切相关，因此，一本能够提供深入、前沿的代数理论的书籍对我来说至关重要。《高等代数方法选讲》这个名字听起来就非常契合我的需求。我希望这本书能够超越基础代数教材的深度，触及一些更具挑战性和研究价值的课题。比如，我特别想了解在现代代数研究中，有哪些被广泛应用的“方法”和“技巧”，以及这些方法是如何发展和演变的。我希望书中能够提供一些关于如何运用这些方法解决实际问题的指导，甚至是一些开放性的问题，能够激发我的研究灵感。同时，我也期待书中能够引用最新的研究成果和文献，让我对当前的研究动态有一个初步的了解。如果书中能够包含一些图示或者模型，来帮助理解一些复杂的概念，那会极大地提升学习效率。

评分☆☆☆☆☆

作为一个对数学历史和哲学深感兴趣的读者，我一直觉得，理解一个数学分支的关键在于了解它的发展脉络和思想演变。《高等代数方法选讲》这个书名，让我隐约觉得它可能不仅仅是一本纯粹的计算或证明手册。我很好奇，那些在高等代数领域被奉为圭臬的“方法”，是如何被孕育出来的？在这些方法的背后，又隐藏着怎样深刻的数学思想？我期待这本书能够带我走进高等代数的发展历程，了解不同数学家在这一领域做出的贡献，以及他们是如何一步步构建起如今的理论大厦的。我希望书中能够穿插一些关于这些方法的历史典故，或者它们是如何在解决某个历史难题时发挥关键作用的。如果书中还能探讨一下这些方法在不同数学分支之间的联系，或者它们对现代科学技术产生了怎样的影响，那我将感到非常满足，因为这将使我不仅仅是学习知识，更能体会到数学的生命力和它的广泛影响力。

评分☆☆☆☆☆

以前科大的线性代数是李炯生和查建国两位老师写的线性代数，现在改用李尚志老师的线性代数，翻了一下李老师的线性代数，应该说这本书写的很好懂，甚至比很多工科的线性代数更好懂，题目也比较有层次感，不像以前那本书，每道题都不容易，所以做题目前需要用其它的书上的题目铺垫一下，而且内容也相当足够，以我愚见，如果能再增加一章多维仿射与射影几何和一章张量代数，那就完美了。

评分☆☆☆☆☆

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评分☆☆☆☆☆

Israel Gelfand，Lectures on Linear Algebra。（这本书看看作者就知道了。Gelfand是第一届Wolf数学奖得主，Kolmogorov的学生，年纪和陈老、华老差不多，现在还活着，在美国的Rutgers大学，他最出名的工作是建立了泛函分析中的赋范环理论，在拓扑学、微分方程、李群李代数、表示论、生物数学方面也有开创性的贡献，比如说Atiyah-Singer指标定理，其实最早是他得出的。自Kolmogorov去世以后，大概只有Gelfand还能算是全能数学家，未来还会不会有这样的全能数学家，这是个问题。不过我要指出，这本书不是一本线性代数的入门书，40年代的俄罗斯数学系，学生现学习两学期的高扥代数，主要是方程式论和一些基本的线性代数，再上一学期的线性代数，这本书的背景就是这样的。但是如果有人学了简明线性代数想强化一下自己的基础，或者说学了线性代数，想复习一下，这本书是很合适的，这本书既简明又清晰，很快可以看一遍，最后一章给出了一个张量代数的最简单的介绍。对于这门课的重要性，Gelfand有个说法，翻译过来大概是“一切数学都是某种形式的线性代数”。）

评分☆☆☆☆☆

Israel Gelfand，Lectures on Linear Algebra。（这本书看看作者就知道了。Gelfand是第一届Wolf数学奖得主，Kolmogorov的学生，年纪和陈老、华老差不多，现在还活着，在美国的Rutgers大学，他最出名的工作是建立了泛函分析中的赋范环理论，在拓扑学、微分方程、李群李代数、表示论、生物数学方面也有开创性的贡献，比如说Atiyah-Singer指标定理，其实最早是他得出的。自Kolmogorov去世以后，大概只有Gelfand还能算是全能数学家，未来还会不会有这样的全能数学家，这是个问题。不过我要指出，这本书不是一本线性代数的入门书，40年代的俄罗斯数学系，学生现学习两学期的高扥代数，主要是方程式论和一些基本的线性代数，再上一学期的线性代数，这本书的背景就是这样的。但是如果有人学了简明线性代数想强化一下自己的基础，或者说学了线性代数，想复习一下，这本书是很合适的，这本书既简明又清晰，很快可以看一遍，最后一章给出了一个张量代数的最简单的介绍。对于这门课的重要性，Gelfand有个说法，翻译过来大概是“一切数学都是某种形式的线性代数”。）

评分☆☆☆☆☆

发货快,书是正版,很有用

评分☆☆☆☆☆

Peter Lax，Linear Algebra and Its Applications。（Peter Lax写的书一向都是很好的，这本也不例外，里面有很多内容是通常的教科书里没有的。而且他从泛函分析的观点来看线性代数，对于将来学习泛函分析相当有帮助。更重要的是，这本书讲了很多线性代数的应用，让学生不至于学完线性代数不知道线性代数能干什么。）

评分☆☆☆☆☆

方法进行了归类,是一个不一样的练习书,但是编排不是很好,习题的选择不是很科学.不过也不是一本可以参考的书籍.

评分☆☆☆☆☆

Peter Lax，Linear Algebra and Its Applications。（Peter Lax写的书一向都是很好的，这本也不例外，里面有很多内容是通常的教科书里没有的。而且他从泛函分析的观点来看线性代数，对于将来学习泛函分析相当有帮助。更重要的是，这本书讲了很多线性代数的应用，让学生不至于学完线性代数不知道线性代数能干什么。）

评分☆☆☆☆☆

还不错吧。还不错吧。