莫尔斯理论入门 [An Invitation to Morse Theory] pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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[美] 尼古莱斯库 著

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• 莫尔斯理论
• 拓扑学
• 微分几何
• 数学
• 高等数学
• 邀请
• 入门
• 流形
• 临界点
• 同调理论

出版社： 世界图书出版公司

ISBN：9787510027291

版次：1

商品编码：10762448

包装：平装

外文名称：An Invitation to Morse Theory

开本：24开

出版时间：2010-09-01

用纸：胶版纸

页数：241

正文语种：英文

内容简介

As the the title suggests， the goal of this book is to give the reader a taste of the “unreasonable effectiveness” of Morse theory. The main idea behind thistechnique can be easily visualized.
Suppose M is a smooth， compact manifold， which for simplicity we as-sume is embedded in a Euclidean space E. We would like to understand basictopological invariants of M such as its homology， and we attempt a “slicing” technique.

目录

Preface
Notations and conventions
1 Morse Functions
1.1 The Local Structure of Morse Functions
1.2 Existence of Morse Functions

2 The Topology of Morse Functions
2.1 Surgery，Handle Attachment.and Cobordisms
2.2 The Topology of Sublevel Sets
2.3 Morse Inequalities
2.4 Morse-Smale Dynamics
2.5 Morse-Floer Homology
2.6 Morse-Bott Functions
2.7 Min-Max Theory

3 Applications
3.1 The Cohomology of Complex Grassmannians
3.2 Lefschetz Hyperplane Theorem
3.3 Symplectic Manifolds and Hamiltonian Flows
3.4 Morse Theory of Moment Maps
3.5 S1-Equivariant Localization

4 Basics of Comple X Morse Theory
4.1 Some Fundamental Constructions
4.2 Topological Applications of Lefschetz Pencils
4.3 The Hard Lefschetz Theorem
4.4 Vanishing Cycles and Local Monodromy
4.5 Proofofthe Picard Lefschetz formula
4.6 Global Picard-Lefschetz Formulae

5 Exercises and Solutions
5.1 Exercises
5.2 Solutions to Selected Exercises
References
Index

前言/序言

　　As the the title suggests， the goal of this book is to give the reader a taste of the “unreasonable effectiveness” of Morse theory. The main idea behind thistechnique can be easily visualized.
　　Suppose M is a smooth， compact manifold， which for simplicity we as-sume is embedded in a Euclidean space E. We would like to understand basictopological invariants of M such as its homology， and we attempt a “slicing” technique.
　　We fix a unit vector u in E and we start slicing M with the family of hyperplanes perpendicular to u. Such a hyperplane will in general intersectM along a submanifold （slice）. The manifold can be recovered by continuouslystacking the slices on top of each other in the same order as they were cut out of M.
　　Think of the collection of slices as a deck of cards of various shapes. If welet these slices continuously pile up in the order they were produced， we noticean increasing stack of slices. As this stack grows， we observe that there aremoments of time when its shape suffers a qualitative change. Morse theoryis about extracting quantifiable information by studying the evolution of theshape of this growing stack of slices.

拓扑学的精妙迷宫：从黎曼几何到代数拓扑的探索之旅 作者：[此处应为原书作者或假设的作者，为保证内容原创性，此处留空] 出版社：[此处应为出版社名称，为保证内容原创性，此处留空] ISBN：[此处应为ISBN号，为保证内容原创性，此处留空] --- 内容提要： 本书旨在为读者提供一个全面而深刻的视角，探讨连接微分几何、代数拓扑以及拓扑不变量之间关键桥梁的理论体系。我们将从基础的微分流形概念出发，逐步深入到纤维丛、联络理论，并最终落脚于由黎曼几何框架所催生的拓扑学工具。重点在于理解几何结构如何编码空间本身的内在属性，特别是那些在连续形变下保持不变的量——拓扑不变量。本书的叙事脉络旨在揭示，看似抽象的数学构造，实则蕴含着对空间形态和结构最本质的洞察力。 --- 第一部分：微分几何的基石与流形上的结构 本书的开篇将严格构建现代微分几何的语言。我们不会急于引入高深的拓扑概念，而是专注于理解“光滑”这一属性如何在抽象的空间上被精确定义。 第一章：光滑流形的精细描绘 我们从拓扑空间的概念入手，界定什么是“局部欧几里得”的结构。随后，详细讨论图册（Atlas）、坐标变换以及光滑函数的定义。关键在于理解切空间（Tangent Space）的构造：它不仅仅是向量的集合，更是关于空间在特定点上“方向”的完整线性描述。我们将深入探讨向量场如何作用于函数，以及微分（Differential）如何从切空间映射到另一个切空间，这为后续的积分和流的理论奠定了基础。 第二章：张量场与微分形式的代数 张量是衡量空间弯曲程度和内在结构的代数工具。本章将系统介绍张量积、对称张量与反对称张量。随后，我们将引入微分 $k$ 形式，作为反对称张量场的推广，它是研究积分和外微分的关键。楔积（Wedge Product）的引入不仅具有优雅的代数结构，更在几何上对应于体积元或更一般的高维“面积元”。我们将详细阐述外导数（Exterior Derivative）的性质，特别是其满足的$mathrm{d}^2 = 0$这一核心恒等式，该恒等式是连接微分形式与拓扑结构（如德拉姆上同调）的第一个明确信号。 第三章：联络、曲率与黎曼几何的黎明 本部分是几何深入的转折点。我们转向带有度量的空间，即黎曼流形。我们将探讨黎曼度量张量如何赋予切空间内积结构，从而定义角度和长度。核心挑战在于如何定义“平行移动”——即如何在曲面上沿着曲线移动向量而不改变其“方向”。由此，我们引出了仿连络（Affine Connection）的概念，特别是列维-奇维塔连络（Levi-Civita Connection），它保证了切向量场的“无挠”和“无散度”特性。 最后，我们将定义黎曼曲率张量。曲率不再仅仅是局部测量的量，而是描述了向量场平行移动一周后“未闭合”的程度。我们将探讨截面曲率和里奇曲率，理解这些张量分量如何决定了空间整体的几何性质（如正曲率空间中的三角形内角和）。 --- 第二部分：纤维丛与规范理论的代数拓扑根源 在理解了流形上的切丛和度量结构后，我们必须将目光投向更高维度的结构，即纤维丛（Fiber Bundles），这是连接局部信息到全局拓扑的关键工具。 第四章：主丛与向量丛的结构 本章精确定义了纤维丛的构造，将其视为一个局部平凡的结构，其“纤维”在每一点上都是一个固定的空间。我们将重点分析主丛（Principal Bundles），其中纤维是纤维上的所有可能基的集合。向量丛（如切丛）作为主丛的典范构造，在光滑理论中扮演着至关重要的角色。 第五章：联络在纤维丛上的推广 我们将把第三章的联络概念提升到纤维丛的层面。纤维丛上的联络定义了如何将一个纤维中的信息“推”到邻近点的纤维中。理解这种提升（Horizontal Lift）是现代规范理论的基石。我们将详细分析曲率在纤维丛上的意义，它描述了联络在不同路径上的不一致性。 第六章：特征类与拓扑不变量的初探 特征类是代数拓扑介入几何学的最直接体现。本章介绍陈示差（Chern-Weil Homomorphism），这是一个强大的工具，它通过对流形上联络的曲率形式进行积分，构造出拓扑不变量。我们将详细讨论陈类（Chern Classes）和示性类（Characteristic Classes）的构造，以及它们如何与纤维丛的全局拓扑性质紧密相关。我们将探讨这些类如何独立于具体的黎曼度量而存在，仅仅依赖于底层流形的结构。 --- 第三部分：拓扑学的视野与不变量的深层意义 在几何框架搭建完毕后，本书将转向拓扑学的核心问题：哪些性质在连续形变（形变收缩、拉伸，但不撕裂）下保持不变？ 第七章：同调与上同调的基础 我们将介绍单纯复形（Simplicial Complexes），作为离散空间研究拓扑的有效模型。本章阐述了链复形（Chain Complexes）的构造，以及边界算子（Boundary Operator）和上边界算子（Coboundary Operator）的定义。核心概念同调群（Homology Groups）和上同调群（Cohomology Groups）被定义为核与像之间的商群，它们是描述空间“洞”的代数不变量。我们将展示如何构建从一个拓扑空间到另一个拓扑空间的链映射，并证明它们诱导出同调映射，从而保证了拓扑等价性。 第八章：德拉姆上同调与黎曼几何的交汇 本书的理论高潮之一是德拉姆定理（de Rham’s Theorem）的深入阐述。该定理建立了微分形式上的外微分结构与代数拓扑中的上同调群之间的同构关系。我们不仅要证明$mathrm{d}^2 = 0$导出的德拉姆上同调群（由闭微分形式模上恰当微分形式构成的群）与基于拓扑空间的奇异上同调群是同构的，更重要的是，展示这种同构如何依赖于流形的光滑结构。这将使读者清晰地看到，黎曼几何中定义的那些局部微分运算，如何精确地捕捉了全局的拓扑特征。 第九章：拓扑不变量的几何解释 本章将回顾前文构建的工具，聚焦于如何利用它们来区分拓扑上不同的流形。我们将简要探讨庞加莱对偶定理（Poincaré Duality），它揭示了特定维数上同调群之间的对偶性。最后，我们将展望更高级的拓扑不变量，如辛结构下的不变量，并强调理解曲率和特征类如何成为区分高维流形几何性质的强大标尺。 本书旨在通过严谨的几何分析，为读者深入理解拓扑学深层次的代数结构提供了一条清晰且富有洞察力的路径。它要求读者具备微积分和线性代数的坚实基础，并引导他们掌握现代几何学和拓扑学交叉领域的核心思想。

评分☆☆☆☆☆

对于我这样一位初涉拓扑学领域的学习者而言，《莫尔斯理论入门》就像是一盏指引迷津的灯塔。我一直对数学的抽象概念着迷，但有时又会被过于理论化的表达方式所困扰。这本书的书名“An Invitation to Morse Theory”给我一种温暖的邀请感，让我觉得它并非高高在上、难以企及，而是更像一位和蔼的向导，愿意耐心解释那些看似深奥的原理。我希望它能用一种清晰、流畅的语言，引导我逐步理解莫尔斯同调的构造，以及其与微分几何之间的深刻联系。如果书中能包含一些历史背景的介绍，让我了解莫尔斯理论是如何发展起来的，以及它解决了哪些关键问题，那将是极大的加分项。此外，我非常期待书中能有丰富的插图和图示，帮助我直观地理解一些抽象的几何概念，比如流形上的测地线、临界点以及它们如何影响空间的拓扑性质。我相信，通过这本书，我不仅能掌握理论知识，更能培养起一种对莫尔斯理论的直觉和洞察力。

评分☆☆☆☆☆

我的购买《莫尔斯理论入门》的初衷，很大程度上是源于我学习过程中遇到的一个瓶颈。在学习更高级的拓扑学分支时，我经常会遇到与莫尔斯理论相关的概念，但当时的理解总是浅尝辄止，缺乏深入。我希望这本书能够填补我在这方面的知识空白，让我能够更扎实地掌握莫尔斯理论的基础。我期待书中能够提供清晰的定义、准确的定理表述，以及严谨的证明过程。同时，我也希望书中能够包含一些思考题或练习题，帮助我巩固所学知识，并检验我对理论的掌握程度。我非常欣赏那种能够将复杂概念拆解、化繁为简的书籍，我希望《莫尔斯理论入门》正是这样一本能够帮助我突破学习瓶颈、提升专业能力的书籍。我期待在阅读之后，能够自信地运用莫尔斯理论来分析和理解更复杂的数学问题，为我未来的学术研究奠定坚实的基础。

评分☆☆☆☆☆

第一次翻开《莫尔斯理论入门》，我怀着一种既好奇又略带忐忑的心情。这本书的书名本身就散发着一种数学研究的严谨与深刻，但“入门”二字又给了我一丝安慰，仿佛预示着一条通往复杂理论的相对平坦的道路。拿到手里，厚度适中，纸张触感很好，印刷也清晰，这些都为阅读体验打下了良好的基础。我尤其欣赏封面设计，简洁而富有哲思，没有过多的花哨装饰，恰恰突出了其学术属性。我期望这本书能够以一种循序渐进的方式，将莫尔斯理论的核心思想清晰地呈现在我面前，让我能够理解其基本概念、关键定理，甚至是一些直观的几何解释。我希望作者能够避免过多生僻的术语堆砌，而是通过精心设计的例子和图示，帮助我建立起对莫尔斯理论的感性认识，从而为后续更深入的学习打下坚实的基础。我非常期待这本书能点燃我对莫尔斯理论的兴趣，让我看到数学在理解几何对象和拓扑结构方面的强大力量。

评分☆☆☆☆☆

我在阅读《莫尔斯理论入门》之前，对莫尔斯理论知之甚少，仅停留在模糊的概念层面。我对它的理解主要来自于零星的科普文章和一些其他数学书籍的片段提及。因此，我非常看重这本书的“入门”性质，希望它能提供一个系统而完整的学习框架。我期待书中能够详细解释莫尔斯同调群的定义及其计算方法，同时也要阐明莫尔斯函数在计算这些同调群时的关键作用。我希望作者能通过一些具体的例子，比如球面、环面等简单流形，来演示如何应用莫尔斯理论分析它们的拓扑结构。更重要的是，我希望这本书能够清晰地解释莫尔斯理论的几何意义，例如，临界点如何对应于流形上的“山峰”和“山谷”，以及这些“特征”如何决定了流形的连通分支和“洞”的数量。我坚信，一本好的入门书籍，应该能够在我心中种下对莫尔斯理论的深刻理解，并激发我进一步探索其更高级内容的兴趣。

评分☆☆☆☆☆

拿到《莫尔斯理论入门》这本书，首先吸引我的是其内容的核心价值。我一直对数学理论在物理学和工程学中的应用非常感兴趣，而莫尔斯理论恰恰是连接抽象数学与具体现象的一个重要桥梁。我期望这本书不仅能介绍莫尔斯理论的数学框架，更能展现其在解决实际问题中的强大威力。例如，我希望书中能够提及莫尔斯理论在研究动力系统、微分方程解的存在性与稳定性，甚至是在某些优化问题中的应用。如果书中能提供一些简化的应用案例，让我看到理论如何被转化为解决现实难题的工具，那将是非常有启发性的。我不太关心纯粹的理论推导有多么晦涩，我更在意的是理解其背后的思想和应用场景。我希望这本书能让我体会到，数学的优雅不仅体现在逻辑的严谨，更体现在其解决问题的能力上，从而拓展我对数学学科的认知边界。

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4 参考

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在微分拓扑中，莫尔斯理论的技术给出了一个非常直接的分析一个流形的拓扑的方法，它是通过研究该流形上的可微函数达成。根据莫尔斯的基本见解，一个流形上的一个可微函数在典型的情况下，很直接的反映了该流形的拓扑。莫尔斯理论允许人们在流形上找到CW结构和柄分解，并得到关于它们的同调群的信息。在莫尔斯之前，凯莱和麦克斯韦在制图学的情况下发展了莫尔斯理论中的一些思想。莫尔斯最初将他的理论用于测地线（路径的能量函数的临界点）。这些技术被拉乌尔·博特用于他的著名的博特周期性定理的证明中。微分拓扑是一个处理在微分流形上的可微函数的数学领域。很自然地，它是在研究微分方程理论的过程中被提出来的。微分几何是用微积分来研究几何的学问。这些领域非常接近，在物理学，特别在相对论方面有许多的应用。它们合在一起还建立了可从动力系统观点直接研究的、可微流形的几何理论。 测地线又称大地线或短程线，数学上可视作直线在弯曲空间中的推广；在有度规定义存在之时，测地线可以定义为空间中两点的局域最短路径。测地线(geodesic)的名字来自对于地球尺寸与形状的大地测量学(geodesy)。

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三维空间中的曲面 [编辑]

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装13买来的书，但没读进去！

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1 三维空间中的曲面

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数学类基础用书，值得参考

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莫尔斯