极限论与微分学新探 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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定光桂 著

图书标签:

• 极限论
• 微分学
• 数学分析
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• 数学
• 理论研究
• 学术著作
• 数学基础
• 解析学

出版社： 科学出版社

ISBN：9787030395528

版次：1

商品编码：11435811

包装：平装

丛书名： 现代数学基础丛书

开本：16开

出版时间：2014-02-01

页数：272

正文语种：中文

内容简介

　　这是一本探索性的书．笔者试图将实数、极限和微分学这些数学分析的基础理论用现代分析的观点来处理．《极限论与微分学新探》既要将上述理论的基本内容全部覆盖，又要将原内容赋予一系列的发展和创新．
　　这是一本“雅俗共赏”的书，《极限论与微分学新探》通俗，是因为阅读《极限论与微分学新探》的预备知识仅仅需要初等数学知识（中学内容）；而《极限论与微分学新探》“雅”，则是因为其观点新、技巧性强且创新内容多．这是一本培养创造性思维的书．《极限论与微分学新探》讲述由浅而深，从形象到抽象；并特别注意引导读者去“举一反三”，从各种“（正）例”“反例”以及“注”的学习中学会联想，并发现且引导出新的结果．《极限论与微分学新探》既可以作为数学分析的教材，亦可作为高年级大学生、研究生和需用此相应知识的科教人员的参考书．

目录

第 1 章 实数的完备性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1
1.1 有理数集 Q 的性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 四则运算性质 (代数结构) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 全序性质 (序结构) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2
1.1.3 拓扑结构 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 实数的定义. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4
1.3 实数的其他公理化引入 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4 数列极限初论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5 定义实数的各公理所对应的完备化定理间之等价性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.6 任何抽象距离空间之完备性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33
1.7 极限点定理与有限覆盖定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39
第 2 章 数列的极限 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.1 数列极限的存在. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .49
2.2 数列极限存在的某些传递性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .56
2.3 Stolz(施笃兹) 定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.4 11
,
0
0
与 11 型极限. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .77
2.5 数列的上、下极限. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .80
第 3 章 数项级数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.1 级数的敛散性及该性质的传递性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.2 同号项级数的敛散性及其判别法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.3 变号级数的收敛 (条件收敛) 与绝对收敛 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
3.4 绝对收敛级数与条件收敛级数的重排级数之特性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
3.5 级数的乘法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
3.6 累次级数与二重级数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .149
3.7 无穷乘积. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .156
￠ viii ￠ 目 录
第 4 章 函数的连续性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
4.1 集的映射与函数 (泛函) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
4.2 函数的极限及其存在性判别法 (含：函数的上、下极限) . . . . . . . . . . . . . . 175
4.3 函数极限的基本性质及其存在性的传递. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .189
4.4 无穷小量 (或无穷大量) 之间的比较. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .199
4.5 函数在一点的连续性及相关性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
4.5.1 多项式函数的连续性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .208
4.5.2 三角函数和反三角函数的连续性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
4.5.3 对数函数和指数函数的连续性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
4.5.4 幂函数的连续性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
4.6 距离空间中的泛函 (函数) 之极限性质 (含：方向极限、
累次极限与重极限) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
4.7 距离空间的初等拓扑性质 (含：上、下半连续泛函) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
4.8 紧集上连续泛函 (函数) 的整体性质. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .242
4.9 连通集上连续函数的性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
4.10 有限维赋范空间中的线性泛函与凸泛函. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .265
第 5 章 一元函数的微分学. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .286
5.1 导数及其求法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
5.2 高阶导数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .300
5.3 函数的单调性、局部极值性、凸凹性及作图 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
5.4 微分中值公式与求不定型极限的 L0Hospital 法则 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
5.5 函数的微分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358
5.6 Taylor 定理 (公式) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
第 6 章 多元函数的微分学. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .384
6.1 偏导数 (含：方向导数) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .384
6.2 多元函数的微分. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .401
6.3 空间 Rn 到 Rm 中映像 (算子) 的微分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413
6.4 隐函数 (隐映像) 定理及逆映像定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .434
6.5 Taylor 公式及条件极值理论. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .457
6.6 几何上的几点应用 (切线、切面及法向量) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477

前言/序言

好的，这是一份不涉及《极限论与微分学新探》内容的图书简介，旨在为读者呈现一部结构严谨、内容丰富的数学著作。 --- 书名：拓扑动力学中的结构稳定性与非线性演化 作者：张志明 教授 出版社：科学出版社 出版年份：2023年 --- 图书简介 引言：现代数学交叉领域的宏大叙事 在二十一世纪的数学前沿，拓扑学与动力系统的深度融合已成为理解复杂系统行为的关键钥匙。本书《拓扑动力学中的结构稳定性与非线性演化》正是基于这一深刻洞察而创作的一部专著。它并非对经典分析学分支的简单回顾，而是致力于探索在特定拓扑空间上定义的动态系统的长期行为、不变性、以及其在微小扰动下的鲁棒性（即结构稳定性）。本书的叙事逻辑清晰，从基础概念的严格构建出发，逐步深入到前沿的研究课题，为从事相关领域研究的学者和高年级研究生提供了一部兼具理论深度与实践指导价值的参考书。 第一部分：基础框架与拓扑测度 本书的开篇部分（第一章至第三章）奠定了整个理论体系的基石。作者首先对所需的拓扑空间理论进行了精炼的复习，重点强调了完备性、紧致性以及函数空间的拓扑性质，这些是后续定义动力系统和讨论收敛性的必备工具。 第一章：动力系统的基本定义与相空间构造 本章详细阐述了离散时间动力系统（映射）和连续时间动力系统（流）的数学定义。不同于侧重于流形上的光滑性讨论，本书更侧重于更一般的度量空间和紧致Hausdorff空间上的动力学。关键概念如轨道、平稳点、极限环（在离散系统中对应周期点）被引入并进行了严格的分析。尤其值得注意的是，本章对半双曲动力系统的初始建模进行了深入探讨，为后续分析复杂性打下基础。 第二章：不变集与吸引子的拓扑性质 不变集是动力系统研究的核心。本章聚焦于拉帕诺夫函数（Lyapunov functions）在确定系统的稳定性方面的应用。我们不仅讨论了经典的吸引子（Attractors）的概念，还引入了奇异吸引子的拓扑表征。作者利用庞加莱截面法（Poincaré sections）来简化高维系统的分析，并通过拓扑共轭的概念来比较不同系统间的本质相似性。本章的亮点在于对扩张性（Expansivity）性质的讨论，它揭示了系统中敏感依赖性的拓扑根源。 第三章：拓扑熵与信息论视角 为了量化系统的复杂性，引入拓扑熵是不可或缺的一步。本章将动力系统与信息论紧密结合，定义了拓扑熵，并探讨了它在区分完全可积系统和混沌系统中的作用。我们深入分析了马尔可夫测度与拓扑熵之间的关系，特别是在紧致空间上定义测度类（Measure Classes）的必要性，为后续的概率性分析做了铺垫。 第二部分：结构稳定性与共轭理论 本书的核心价值体现在对系统结构稳定性的深入挖掘上（第四章至第六章）。结构稳定性是衡量一个系统是否“典型”的关键指标。 第四章：结构稳定性的一般准则 本章详细阐述了结构稳定性的严格定义，即在拓扑空间中存在一个邻域，使得该邻域内的所有系统都与原系统同胚（拓扑共轭）。作者引入了格罗曼-赫勒（Grobman-Hartman）定理的推广版本，讨论了在非流形空间上，局部线性化近似的适用范围和局限性。重点分析了涉及鞍点的稳定性分析，及其在微扰下的拓扑保持性。 第五章：同胚性与共轭问题的计算方法 共轭性是判断两个系统是否本质相同的最高标准。本章着重于在特定函数空间中寻找共轭映射。我们引入了多重尺度分析来处理非线性和奇异性对共轭映射光滑性的影响。对于涉及边界情况的系统，本章提出了拓扑不变量的构造方法，这些不变量在共轭变换下保持不变，是证明“非共轭”的重要工具。具体案例分析涵盖了具有高维稳定流形和中心流形的系统。 第六章：非双曲系统中的亚临界分岔 结构稳定性在遇到分岔点时会失效。本章专门研究了非双曲系统在参数微扰下发生的亚临界分岔现象。通过对系统的局部重整化群（Renormalization Group）分析，我们揭示了周期倍增序列和混沌行为的起源。本章的创新点在于将模空间理论应用于动力系统的分岔分析中，从而对分岔路径的几何结构有了更清晰的认识。 第三部分：非线性演化与极限行为 最后一部分（第七章和第八章）将理论框架应用于更具挑战性的非线性演化问题，特别是那些展现出复杂统计特性的系统。 第七章：遍历理论与随机性建模 遍历理论是连接确定性系统和统计力学的桥梁。本章深入探讨了米尔诺韦-莫泽（Moser）关于遍历性的结果，并将其应用于评估系统中长期平均行为的可靠性。我们介绍了大偏差理论在动力系统中的应用，用于量化极端事件发生的概率。特别地，本章对非平稳遍历过程（Non-stationary ergodic processes）的拓扑结构进行了讨论，这对于处理环境噪声干扰下的系统至关重要。 第八章：复杂网络中的自组织与涌现现象 在现代应用背景下，动力系统常常嵌入到复杂的网络结构中。本章将拓扑动力学的工具应用于网络科学。我们分析了耦合振子系统（如Kuramoto模型）的全局行为，重点关注同步的拓扑条件。通过引入网络的拓扑熵和图拉普诺夫指数，本书阐述了网络结构如何促进或抑制混沌行为的涌现，并讨论了信息在网络中的鲁棒传播机制。 总结与展望 《拓扑动力学中的结构稳定性与非线性演化》是一部面向专业读者的深度探讨，它汇集了经典理论的严谨性与现代研究的前沿性。本书旨在激发读者对复杂系统内在几何结构和动态稳定性的思考，为理解从物理到生物科学中普遍存在的非线性现象提供强有力的数学工具。 适用读者： 数学、物理学、工程学及复杂系统科学领域的研究人员、博士后及高年级研究生。 ---

评分☆☆☆☆☆

当我在书店的架子上看到《极限论与微分学新探》时，内心 immediately 泛起了一丝特别的涟漪。它的书名，在我看来，不仅仅是学科名称的堆砌，更像是一种召唤，邀请读者一同踏上一场智力的探险，去重新审视那些被誉为现代数学基石的“极限”与“微分”。我猜测，这本书的作者一定是在这两个领域有着深厚的造诣，并且怀揣着一种想要分享更深层次理解的愿望。 我非常期待书中能够提供一些不同于我以往接触到的学习材料的视角。也许，它会从一个全新的角度来阐释极限的严谨定义，避免枯燥的符号游戏，转而使用更具说服力的直观例子或历史发展脉络来解释其重要性。在微分学的部分，我希望能够看到作者是如何将微积分的思想巧妙地融入到各种实际问题的分析中的，比如物理学中的速度、加速度，经济学中的边际效应，或者工程学中的优化设计。我希望它能让我不仅仅是“会算”，更能“理解”这些数学工具的强大之处，甚至能够触类旁通，在其他领域也能够灵活运用。

评分☆☆☆☆☆

这本书的名字让我联想到了一场史诗般的数学探险，仿佛要踏上一条鲜有人迹的道路，去揭示那些隐藏在数字和函数背后的最深层奥秘。我一直对数学的抽象美和逻辑严谨性着迷，而“极限”和“微分”无疑是构建起整个微积分大厦的基石，也是理解更复杂数学概念的钥匙。这本书的标题直接点出了这两个核心主题，并以“新探”二字暗示了其可能带来的全新视角和突破性进展。我期待它能不仅仅是教科书式的梳理，而是能够展现出作者在这些经典领域中独到的见解和深刻的洞察。 或许，这本书会带领我重新审视那些看似理所当然的定义和定理。例如，在极限的部分，我希望能够看到对“无限小”和“无限大”更直观、更具启发性的解释，而不仅仅是ε-δ语言的严格形式化。是否会深入探讨某些特殊的函数序列或级数的收敛性问题？或者，它会巧妙地运用一些几何直观来辅助理解极限过程，让我能够“看见”函数的行为是如何趋近于某个值的？而在微分的部分，我设想书中会呈现出微分学在解决实际问题中的强大力量，比如如何用它来描述物体的运动状态、探究函数的增长趋势、甚至是在优化问题中找到最优解。我希望这本书能够让我摆脱死记硬背公式的束缚，真正理解微分的“意义”和“作用”。

评分☆☆☆☆☆

看到《极限论与微分学新探》这个书名，我不禁心头一动，仿佛被一股强大的数学引力所吸引。这不仅仅是一本关于数学的著作，更像是一次深入宇宙数学法则的探索之旅。极限和微分，这两个词本身就带着一种神秘和深刻，它们是理解变化、连续和无穷的基石，也是现代科学技术蓬勃发展的动力源泉。我希望这本书能为我打开一扇新的窗户，让我能够以一种更加透彻、更加富有洞察力的方式去理解这两个概念。 我设想，在极限的部分，作者可能不仅仅会满足于ε-δ语言的定义，而是会深入探讨极限背后的哲学意义，以及它如何在数学的各个分支中发挥着连接和过渡的作用。或许，书中会穿插一些引人入胜的历史故事，讲述那些伟大的数学家是如何一步步建立起极限理论的，以及其中遇到的挑战和创新的闪光点。而在微分学方面，我期待能够看到它在描述和预测自然现象方面展现出的强大威力，比如利用微分方程模拟气候变化，或者通过优化理论来解决复杂的交通流量问题。我希望这本书能够让我感受到数学的生命力，以及它如何深刻地影响着我们对世界的认知。

评分☆☆☆☆☆

我拿到这本《极限论与微分学新探》时，脑海中涌现出的是一种对知识边界的渴求，好像即将打开一扇通往未知数学大陆的大门。我对“新探”这两个字尤为好奇，它预示着这本书可能不仅仅是在重复已有的知识，而是试图在经典的极限和微分理论基础上，挖掘出新的联系、新的应用，甚至是新的理论萌芽。我迫切想知道，作者是如何定义和阐述“极限”这个概念的，是会采用严谨的公理化体系，还是会以一种更具探索性的方式，通过大量的例子和思想实验来引导读者逐步深入？ 至于“微分学”，我希望书中能够超越传统教材中对导数、偏导数、梯度等概念的机械介绍，而是能够深入探究这些工具的本质，以及它们在现代科学研究中的前沿应用。比如，它是否会涉及微分几何的某些内容，将微分的概念与曲线、曲面的形状和性质联系起来？或者，它会展示如何利用微分方程来建模和分析复杂的动态系统，让那些抽象的数学公式变得鲜活起来？我期望这本书能像一位经验丰富的向导，带领我在纷繁复杂的数学海洋中，找到一条清晰的、富有启发性的路径，去理解并掌握极限与微分学的精髓，甚至触碰到它们更深层的数学美感。

评分☆☆☆☆☆

《极限论与微分学新探》这个名字，一下子就勾起了我对数学深邃世界的好奇心，并激发了我想要更深入地探索的冲动。极限与微分，这两个概念在我心中一直扮演着至关重要的角色，它们是理解微积分乃至整个高等数学体系的基石。我深信，一本冠以“新探”之名的著作，必有其独到之处，能够为读者带来全新的视角和更为深刻的理解。 我期待这本书能够从一个更具启发性的角度切入，或许会用一些生动形象的比喻，或者结合引人入胜的实际案例，来帮助我更直观地理解极限的抽象概念，摆脱掉对纯粹符号的迷茫。对于微分学，我希望书中不仅会讲解基本的求导法则和应用，更能深入探讨微分在描述变化率、研究函数性质以及解决优化问题等方面的核心作用。我希望它能让我看到，这些看似复杂的数学工具，是如何被用来解释和预测我们周围世界中的各种现象，从而领略到数学的逻辑之美和实用价值，甚至激发我在数学学习中产生新的灵感和发现。