北京大学数学教学系列丛书：数学分析（第一册） pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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伍胜健 著

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• 数学分析
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• 连续
• 微分

出版社： 北京大学出版社

ISBN：9787301156858

版次：1

商品编码：11645795

包装：平装

丛书名： 北京大学数学教学系列丛书

开本：32开

出版时间：2009-08-01

用纸：胶版纸

页数：308

编辑推荐

　　《北京大学数学教学系列丛书：数学分析（第一册）》是本科生数学基础课教材。

内容简介

　　《北京大学数学教学系列丛书：数学分析（第一册）》是综合性大学和高等师范院校数学系本科生数学分析课程的教材。全书共分三册。第一册共六章，内容为函数、序列的极限、函数的极限与连续性、导数与微分、导数的应用、不定积分；第二册共六章，内容为定积分、广义积分、数项级数、函数序列与函数项级数、幂级数、傅里叶级数：第三册共五章，内容为n维欧氏空间与多元函数的极限和连续、多元函数微分学、重积分与广义重积分、曲线积分与曲面积分及场论、含参变量的积分。《北京大学数学教学系列丛书：数学分析（第一册）》每章配有适量习题，书末附有习题答案或提示，供读者参考。
　　作者多年来在北京大学为本科生讲授数学分析课程，按照教学大纲，精心选取教学内容并对课程体系优化整合，经过几届学生的教学实践，收到了良好的教学效果。《北京大学数学教学系列丛书：数学分析（第一册）》注重基础知识的讲述和基本能力的训练，按照认知规律，以几何直观、物理背景作为引入数学概念的切入点，对内容讲解简明、透彻，做到重点突出、难点分散，便于学生理解与掌握。
　　《北京大学数学教学系列丛书：数学分析（第一册）》可作为高等院校数学院系、应用数学系本科生的教材，对青年教师《北京大学数学教学系列丛书：数学分析（第一册）》也是一部很好的教学参考书。为了帮助读者学习，《数学分析(第1册)》配有学习辅导书《数学分析解题指南》供读者参考。

作者简介

　　伍胜健，北京大学数学科学学院教授、博士生导师。1992年在中国科学院数学研究所获博士学位。主要研究方向是复分析。在北京大学长期讲授数学分析、复变函数、复分析等课程。

目录

第一章 函数
1.1 实数
1.1.1 数集
1.1.2 实数系的连续性
1.1.3 有界集与确界
1.1.4 几个常用不等式
1.1.5 常用记号
1.2 函数的概念
1.2.1 函数的定义
1.2.2 由已知函数构造新函数的方法
1.3 函数的性质
1.3.1 函数的有界性
1.3.2 函数的单调性
1.3.3 函数的周期性
1.3.4 函数的奇偶性
1.4 初等函数
习题一

第二章 序列的极限
2.1 序列极限的定义
2.1.1 序列
2.1.2 序列极限的定义
2.1.3 无穷小量
2.1.4 无穷大量
2.2 序列极限的性质
2.3 单调收敛原理
2.3.1 单调收敛原理
2.3.2 无理数e和欧拉常数c
2.4 实数系连续性的基本定理
2.4.1 闭区间套定理
2.4.2 有限覆盖定理
2.4.3 聚点原理
2.4.4 柯西收敛准则
2.5 序列的上、下极限
习题二

第三章 函数的极限与连续性
3.1 函数的极限
3.1.1 函数极限的定义
3.1.2 函数极限的性质
3.1.3 函数极限概念的推广
3.1.4 序列极限与函数极限的关系
3.1.5 极限存在性定理和两个重要极限
3.2 函数的连续与间断
3.2.1 函数的连续与间断
3.2.2 连续函数的性质
3.2.3 初等函数的连续性
3.3 闭区间上连续函数的基本性质
3.4 无穷小量与无穷大量的阶
习题三

第四章 导数与微分
4.1 导数
4.1.1 导数概念的引入
4.1.2 导数的定义
4.1.3 单侧导数
4.2 求导数的方法
4.2.1 函数四则运算的导数
4.2.2 反函数的求导法则
4.2.3 复合函数的求导法则
4.2.4 隐函数的求导法
4.2.5 参数式函数的求导法
4.2.6 极坐标式函数的求导法
4.3 微分
4.3.1 微分的定义
4.3.2 一阶微分的形式不变性
4.4 高阶导数与高阶微分
4.4.1 高阶导数
4.4.2 莱布尼茨公式
4.4.3 一般函数的高阶导数
4.4.4 高阶微分
习题四

第五章 导数的应用
5.1 微分中值定理
5.1.1 费马定理
5.1.2 罗尔微分中值定理
5.1.3 拉格朗日微分中值定理
5.1.4 柯西微分中值定理
5.2 洛必达法则
5.2.1 0/0型不定式
5.2.2 ∞/∞型不定式
5.2.3 其他类型不定式
5.3 泰勒公式
5.3.1 带佩亚诺余项的泰勒公式
5.3.2 带拉格朗日余项的泰勒公式
5.3.3 拉格朗日插值多项式
5.4 利用导数研究函数
5.4.1 函数的单调性
5.4.2 函数的极值
5.4.3 函数的凹凸性
5.4.4 拐点
5.4.5 渐近线
5.4.6 函数的作图
习题五

第六章 不定积分
6.1 原函数与不定积分
6.1.1 原函数与不定积分的概念
6.1.2 基本不定积分表和不定积分的线性性质
6.2 换元法与分部积分法
6.2.1 第一换元法
6.2.2 第二换元法
6.2.3 分部积分法
6.3 其他类型函数的不定积分
6.3.1 有理函数的不定积分
6.3.2 三角函数有理式的不定积分
6.3.3 无理函数的不定积分
习题六
部分习题答案与提示
名词索引

前言/序言

　　自1995年以来，在姜伯驹院士的主持下，北京大学数学科学学院根据国际数学发展的要求和北京大学数学教育的实际，创造性地贯彻教育部“加强基础，淡化专业，因材施教，分流培养”的办学方针，全面发挥我院学科门类齐全和师资力量雄厚的综合优势，在培养模式的转变、教学计划的修订、教学内容与方法的革新，以及教材建设等方面进行了全方位、大力度的改革，取得了显著的成效。2001年，北京大学数学科学学院的这项改革成果荣获全国教学成果特等奖，在国内外产生很大反响。
　　在本科教育改革方面，我们按照加强基础、淡化专业的要求，对教学各主要环节进行了调整，使数学科学学院的全体学生在数学分析、高等代数、几何学、计算机等主干基础课程上，接受学时充分、强度足够的严格训练；在对学生分流培养阶段，我们在课程内容上坚决贯彻“少而精”的原则，大力压缩后续课程中多年逐步形成的过窄、过深和过繁的教学内容，为新的培养方向、实践性教学环节，以及为培养学生的创新能力所进行的基础科研训练争取到了必要的学时和空间。这样既使学生打下宽广、坚实的基础，又充分照顾到每个人的不同特长、爱好和发展取向。与上述改革相适应，积极而慎重地进行教学计划的修订，适当压缩常微、复变、偏微、实变、微分几何、抽象代数、泛函分析等后续课程的周学时，并增加了数学模型和计算机的相关课程，使学生有更大的选课余地。

《数学分析（第一册）》 本书为“北京大学数学教学系列丛书”中的一册，旨在系统、深入地介绍数学分析的 foundational concepts and techniques。数学分析是现代数学的重要基石，也是许多学科（如物理、工程、经济、计算机科学等）深入研究的必备工具。本书力求以严谨的数学语言和清晰的逻辑结构，引导读者逐步掌握这一学科的核心内容。 第一章 实数及其基本性质 本章将从实数的构造出发，建立起实数的基本概念，包括戴德金分割、柯西序列等。我们将详细阐述实数的完备性，这是理解后续数学分析内容的关键。同时，本章还将介绍实数集上的集合论初步，如开集、闭集、稠密集等基本概念，并探讨它们在实数轴上的几何直观意义。此外，还将引入一些重要的实数序列，如等比数列、调和数列等，并分析它们的收敛性，为后续函数的极限奠定基础。 第二章 数列的极限 本章是进入数学分析的核心部分。我们将严格定义数列的极限，并在此基础上给出收敛数列的判定定理，如单调收敛定理、夹逼定理等。我们将通过大量的实例，演示如何运用这些定理来判断数列的收敛性。此外，本章还将讨论无穷小量、无穷大量以及它们的运算法则，并介绍洛必达法则的初步思想，为求解极限提供更有效的工具。 第三章 函数的极限与连续性 在本章中，我们将把极限的概念推广到函数。我们将分别介绍函数在某一点的极限和在无穷远处的极限，并给出严格的 ε-δ 定义。在此基础上，我们将深入探讨函数的连续性，包括连续函数的定义、性质以及不连续点的情况。我们将重点讲解几种特殊的连续函数，如多项式函数、有理函数、指数函数、对数函数和三角函数等，并分析它们在不同区间上的行为。本章还将介绍连续函数在闭区间上的重要性质，如介值定理和最值定理，这些定理在许多数学问题中具有重要的应用价值。 第四章 导数与微分 导数是描述函数变化率的核心概念，本章将对此进行系统介绍。我们将定义函数的导数，并探讨导数的几何意义（切线斜率）和物理意义（瞬时速度）。我们将详细推导各种基本初等函数的导数公式，并掌握导数的四则运算规则和复合函数求导法则。此外，本章还将介绍高阶导数，以及导数在判断函数单调性、凹凸性以及求函数极值方面的应用。微分的概念及其与导数的关系也将被清晰阐述。 第五章 导数的应用 本章将集中展示导数在解决实际问题中的强大威力。我们将详细介绍洛必达法则，并给出其应用条件，用以求解复杂的未定式极限。然后，我们将深入探讨利用导数研究函数的单调性、极值和最值，并介绍函数图像的绘制方法，通过分析导数和二阶导数的信息，精确描绘函数的形态。此外，本章还将涉及泰勒公式，它是用多项式逼近复杂函数的重要工具，在微积分和数值分析中有着广泛的应用。曲率、渐近线等概念也将作为导数应用的拓展内容进行介绍。 第六章 不定积分 不定积分是求导的逆运算，本章将系统介绍不定积分的概念、性质和基本计算方法。我们将给出不定积分的定义，并推导基本积分公式。我们将重点讲解几种重要的积分技巧，如换元积分法（第一类和第二类）、分部积分法等，并通过大量实例巩固这些方法的运用。此外，还将介绍有理函数的积分，以及一些超越函数的积分方法。 第七章 定积分 定积分是求解曲线下面积、体积等的重要工具。本章将从黎曼积分的角度出发，严格定义定积分，并给出定积分存在的条件。我们将介绍微积分基本定理，它将定积分与不定积分紧密联系起来，是求解定积分的关键。我们将学习利用微积分基本定理计算定积分，并推广到各种函数的定积分计算。此外，本章还将探讨定积分的应用，如计算平面图形的面积、体积、弧长等。 附录：集合论初步 为了更好地理解本书内容，附录中将简要介绍集合论的一些基本概念，包括集合、元素、子集、并集、交集、差集、补集等基本运算。还将引入映射、关系等概念，为理解函数和更抽象的数学结构打下基础。 本书内容丰富，结构清晰，从基础概念到应用技巧，层层递进。我们希望通过对本书的学习，读者能够建立起扎实的数学分析功底，为未来更深入的数学研究或应用奠定坚实的基础。

评分☆☆☆☆☆

我最近一直在琢磨着怎么能让自己的数学思维更上一层楼，正巧碰上了这套书。初读之下，我最大的感受就是它的“系统性”。它不是零散的知识点堆砌，而是像一条精心编织的丝线，将数学分析的各个部分有机地联系起来，形成一个完整而严密的体系。这种体系化的构建，对于我这种需要建立清晰知识框架的人来说，简直是福音。你不会觉得前面学的东西和后面学的东西脱节，反而有一种“承上启下”的感觉，每一步都建立在前一步的基础上，稳固而扎实。我喜欢它那种循序渐进的讲解方式，从最基础的概念入手，一步步深入，难度曲线设计得非常合理。即使是初学者，也能在作者的引导下，逐步建立起对数学分析的理解。而且，它在讲解过程中，并非一味地灌输，而是通过大量的例子和思考题，引导读者主动去探索和发现。我常常在做题的过程中，反复琢磨作者的思路，那种“啊，原来是这样！”的顿悟时刻，是学习过程中最令人兴奋的。这本书给我最直观的感受就是，它真的在乎你能不能“懂”，而不是你能不能“背”。它鼓励你去思考，去质疑，去用自己的语言去阐释数学概念。这种学习方式，让我在掌握知识的同时，也提升了自己的逻辑思维能力和分析问题的能力。

评分☆☆☆☆☆

说实话，我之前对数学分析一直抱着一种“敬而远之”的态度，觉得它过于抽象和枯燥。但是，这套书彻底改变了我的看法。它拥有者一种独特的“感染力”，能够将那些原本枯燥的数学概念，变得生动有趣。作者在叙述过程中，并没有刻意去使用那些晦涩难懂的专业术语，而是尽量用简洁明了的语言来阐述。而且，它在讲解一些关键概念时，会引用一些历史典故或者数学家的故事，让整个学习过程不再是冰冷的知识灌输，而是充满了人文关怀。我发现，当我对某个数学概念产生兴趣后，学习的动力就会大大增加。这本书恰恰能够点燃我的好奇心，让我主动去探索那些未知。它就像一位引人入胜的说书人，将复杂的数学世界，以一种我能够接受的方式呈现出来。我喜欢它那种“循循善诱”的教学风格，不强制，不压迫，只是静静地引导，让我自己去发现数学的美。

评分☆☆☆☆☆

最后，我不得不提的是这本书的“可读性”。我知道，数学分析通常被认为是一门比较难学的学科，但这本书却做得非常“友好”。作者在语言的组织上，非常注重逻辑性和流畅性。即使是在讲解非常抽象的概念时，也不会让人感到晦涩难懂。它就像一篇优美的散文，虽然内容严谨，却又不失文学的美感。我喜欢它那种“举重若轻”的表达方式，能够将复杂的数学理论，用一种轻松自然的方式呈现出来。这种高超的写作技巧，让我在学习的过程中，始终保持着轻松愉悦的心情。它让我感受到，学习数学也可以是一件很享受的事情，而不仅仅是一种负担。这本书，无疑是我数学学习道路上的一盏明灯，照亮了我前行的方向。

评分☆☆☆☆☆

作为一名对数学有着深厚兴趣的自学者，我一直在寻找一本能够真正引领我进入数学分析殿堂的领路人。这套书，恰恰扮演了这个角色。它不是那种“速成”式的教材，而是更侧重于培养读者的数学“感觉”和“直觉”。它不追求华丽的辞藻，也不刻意卖弄高深的术语，而是用最朴实、最清晰的语言，将复杂的数学思想娓娓道来。我尤其欣赏它在概念的引入上，那种“润物细无声”的处理方式。它不会突然抛给你一个定义，而是通过一系列的铺垫和引导，让你在不知不觉中，对这个概念产生自然的理解。这种方式，相比于那些直接给出定义然后要求记忆的教材，更能激发读者的学习兴趣，也更能让读者深刻地理解概念的内涵。书中的一些论述，常常让我产生“醍醐灌顶”之感，仿佛那些曾经模糊不清的数学概念，瞬间变得清晰明朗。这种“豁然开朗”的体验，是任何其他学习方式都无法比拟的。它不像是老师在讲课，更像是朋友在交流，这种亲切的沟通方式，大大降低了学习的门槛，也让我更加乐于投入其中。

评分☆☆☆☆☆

我是一个对细节有着极致追求的人，在选择学习材料时，总是会特别关注其严谨性和准确性。这套书在这一点上，做得非常出色。它在数学概念的定义、定理的证明以及推导过程中，都力求做到一丝不苟，逻辑严密。我从来没有在这本书中发现任何含糊不清或者模棱两可的表述。这种高度的严谨性，给我一种“安全感”，让我能够完全信任书中所提供的信息。而且，书中对于一些容易混淆的概念，作者会进行详细的辨析，帮助读者建立起清晰的界限。例如，在区分“极限”与“趋近”时，作者就花了大量的篇幅进行阐述，让我对这两个概念有了更深刻的理解。我喜欢这种“锱铢必较”的态度，它不仅仅体现在对数学本身的尊重，更是对读者的负责。有了这样一本可靠的学习资料，我的学习过程也变得更加高效和安心。

评分☆☆☆☆☆

我之前尝试过几本数学分析的书，但总感觉差了点什么。直到我遇到了这套书，才真正体会到了什么叫做“匠心独运”。它在内容的编排上，有着非常独到的见解。作者似乎非常清楚读者在学习过程中可能会遇到的难点和困惑，并且巧妙地在书中加以规避和解决。比如，在讲解一些比较抽象的概念时，它会穿插一些非常形象的比喻，或者给出一些直观的几何解释，帮助读者建立起感性的认识。这种“具象化”的处理方式，对于我这种“视觉型”的学习者来说，简直是太友好了。而且，书中的例题设计也十分精妙，每一个例题都不是孤立的，而是与所讲的概念紧密相连，能够有效地帮助读者巩固和加深对知识的理解。我常常在做完一个例题后，再回过头来看书本的讲解，就会有“原来如此”的豁然开朗。这本书的魅力在于，它不仅仅教会你“怎么做”，更重要的是教会你“为什么这样做”，这种对数学思想的深入挖掘，是我在其他地方很难看到的。

评分☆☆☆☆☆

收到！我将以读者的身份，为您的《北京大学数学教学系列丛书：数学分析（第一册）》撰写10段风格迥异、内容详实且不包含具体书籍内容的评价。 这套书，说是“数学分析”，但我读起来，感觉更像是一场思维的探险，一次与严谨逻辑的亲密对话。从拿到书的那一刻起，我就被它散发出的那种沉静而厚重的气息所吸引。封面设计朴素大方，没有花哨的装饰，却透着一股子“内功深厚”的劲儿。翻开扉页，印刷清晰，纸质也相当不错，长时间阅读也不会感到疲劳。我一直认为，一本好的教材，不仅仅是知识的载体，更是一种精神的传递。而这本书，恰恰做到了这一点。它不炫技，不卖弄，只是静静地铺陈开那些精妙绝伦的数学思想。每一次翻阅，都像是推开一扇新的门，门后是更为广阔的数学世界。我尤其欣赏其中蕴含的那种“追根溯源”的精神，它不仅仅告诉你“是什么”，更会让你思考“为什么是这样”，这种对数学本质的挖掘，让我受益匪浅。读这本书，需要耐心，需要投入，但当你真正沉浸其中，你会发现，那些抽象的概念，在作者的引导下，变得鲜活而富有生命力。它就像一位循循善诱的老师，不疾不徐，却总能点拨到你的心坎里，让你在不知不觉中，领悟到数学的魅力所在。我不是数学专业的科班出身，但通过这本书，我仿佛重新认识了数学，它不再是枯燥的符号和公式，而是一种思考问题、解决问题的强大工具，一种探索世界、理解世界的独特视角。这本书给予我的，远不止于知识本身，更是一种学习的态度，一种对真理的不懈追求。

评分☆☆☆☆☆

这套书给我最深刻的感受之一，就是它对“基础”的重视。在数学分析的领域，基础不牢，地动山摇。作者深谙此道，在处理每一个概念时，都力求将其本源挖得清清楚楚。它不会跳过任何一个必要的步骤，也不会省略任何一个关键的细节。这种“抠细节”的精神，对于初学者来说，至关重要。它帮助我打下了一个非常扎实的基础，让我能够更自信地去应对后续更加复杂的知识。我尤其喜欢它在引入一些新的概念时，都会先回顾相关的旧知识，建立起知识之间的联系。这种“温故而知新”的方式，让我在学习新知识的同时，也巩固了旧知识，形成了良性的循环。这本书就像一位经验丰富的建筑师，在建造一座宏伟的数学大厦之前，一定会确保地基是坚固无比的。

评分☆☆☆☆☆

从另一个角度来看，这套书更像是一本“数学哲学”的入门读物。它不只是告诉你数学的“术”，更是在引导你思考数学的“道”。作者在阐述每一个数学概念时，都会触及到一些更深层次的哲学思考。例如，在讲解“无穷”的概念时，书中会探讨关于“可数无穷”和“不可数无穷”的差异，以及它们所带来的哲学 implications。这种对数学思想背后哲学内涵的挖掘，让我对数学的理解上升到了一个新的高度。它让我意识到，数学不仅仅是一门严谨的科学，更是一种对理性、逻辑和宇宙规律的探索。读这本书，不仅仅是在学习知识，更是在进行一次精神的洗礼，一次对人类思维极限的挑战。

评分☆☆☆☆☆

我必须说，这套书的“思维训练”功能，是我最看重的一点。它不仅仅是知识的传递，更是一种数学思维方式的培养。作者在设计讲解内容时，似乎特别注重引导读者进行批判性思考，鼓励读者去独立地分析问题，而不是被动地接受结论。书中的一些论述，常常会抛出一些“为什么”的问题，让我不得不停下来思考，去探究其背后的逻辑。这种“启发式”的学习方式，大大提升了我的主动学习能力。我发现，当我在思考一个问题时，不仅仅是在运用已有的知识，更是在创造新的理解。这种学习过程，让我觉得充满了挑战和乐趣。而且，它在讲解过程中，常常会展示不同的证明方法，让我看到同一个问题可以有多种解决思路，这极大地拓宽了我的视野，也让我学会了从多个角度去审视问题。

评分☆☆☆☆☆

不错的书，暂新的，快递也很给力！

评分☆☆☆☆☆

书很好，是正版，送货很快。

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哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈太好了

评分☆☆☆☆☆

老师推荐的，数分必备，赞

评分☆☆☆☆☆

油烟少

评分☆☆☆☆☆

北大基础数学 逻辑清晰合理 值得学习 数学专业基础必修

评分☆☆☆☆☆

非常不错，书的质感不错，纸张的颜色很舒服

评分☆☆☆☆☆

北京大学数学系的数学分析教材，很简单明快的书

评分☆☆☆☆☆

书籍正版，很喜欢，考研实用。