數學機械化叢書 12：幾何定理機器證明的幾何不變量方法 下載 mobi epub pdf 電子書 2025

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張景中，高小山，周鹹青 著

圖書標籤:

• 數學機械化
• 定理證明
• 幾何學
• 幾何不變量
• 形式化驗證
• 計算機輔助證明
• 數學軟件
• 叢書
• 學術著作
• 自動化推理

齣版社： 科學齣版社

ISBN：9787030440662

版次：1

商品編碼：11701608

包裝：平裝

叢書名： 數學機械化叢書12

開本：32開

齣版時間：2015-05-01

用紙：膠版紙

頁數：336

正文語種：中文

內容簡介

　　《數學機械化叢書 12：幾何定理機器證明的幾何不變量方法》係統介紹瞭幾何定理機器證明的幾何不變量方法. 主要包括：基於麵積與勾股差等幾何不變量的麵積法、基於體積與勾股差等幾何不變量的體積法以及基於嚮量計算的嚮量方法。

作者簡介

　　張景中，中國科學院院士。現任廣州大學計算機教育軟件研究所所長。主要從事機器證明、教育數學、距離幾何及動力係統等領域的研究。

目錄

第1章 幾何定理機器證明概述
1.1 模擬人的思維——人工智能的開始
1.2 Gelernter的幾何定理證明機
1.3 幾何定理機器證明的吳方法
1.4 幾何定理自動發現的吳方法
第1章 小結

第2章
2.1 傳統的證明方法和機器證明的比較
2.2 有嚮三角形的帶號麵積
2.2.1 定理
2.2.2 基本命題
2.3 Hilbert交點命題
2.3.1 命題的描述
2.3.2 幾何命題的謂詞形式
2.4 麵積法
2.4.1 從麵積中消去點
2.4.2 從比例中消去點
2.4.3 自由點和麵積坐標
2.4.4 幾何定理證明舉例
2.4.5 其他的消元技術
2.5 麵積法和仿射幾何
2.5.1 平麵仿射幾何
2.5.2 麵積法和仿射幾何
2.6 應用
2.6.1 公式推導
2.6.2 n3構型的存在性
2.6.3 Ceva與Menelus定理的推廣
第2章 小結

第3章 平麵幾何機器證明
3.1 勾股差
3.1.1 勾股差和垂直
3.1.2 勾股差和平行
3.1.3 勾股差和麵積
3.2 構造型幾何命題
3.2.1 綫性構造型幾何命題
3.2.2 最小構造集閤
3.2.3 謂詞形式
3.3 綫性可構型幾何命題的機器證明
3.3.1 算法
3.3.2 優化的消去技巧
3.4 比率構造
3.4.1 更多的比率構造
3.4.2 全角法的機械化
3.5 麵積坐標
3.5.1 麵積坐標係
3.5.2 麵積坐標和三角形的特殊點
3.6 三角函數和共圓點
3.6.1 共圓定理
3.6.2 共圓點的消去
3.7 可構型幾何命題的機器證明
3.7.1 從幾何量中消點
3.7.2 僞除法和三角形式
3.7.3 可構型幾何命題的機器證明
3.8 基於演繹數據庫的全角方法
3.8.1 建立幾何信息庫
3.8.2 基於幾何信息庫的機器證明
第3章 小結

第4章 演繹數據庫方法
4.1 結構化的演繹數據庫和推理策略
4.1.1 基於結構化數據的推理
4.1.2 有關的工作
4.2 幾何推理規則
4.2.1 幾何推理規則
4.2.2 非退化條件
4.2.3 準確的數值圖形的構造
4.3 結構化數據庫
4.3.1 數據庫的結構
4.3.2 證明的生成
4.4 搜索和控製的策略
4.4.1 基於數據的搜索
4.4.2 避免冗餘推理
4.5 構造輔助點和Skolem化
4.6 算法的實現與例題
4.6.1 算法的實現
4.6.2 應用
4.6.3 測試結果和例子
附錄
第4章 小結

第5章 立體幾何中的定理自動證明
5.1 帶號體積
5.1.1 共麵定理
5.1.2 體積和平行
5.1.3 體積與三維仿射幾何
5.2 構造型幾何命題
5.2.1 構造型幾何命題
5.2.2 構造型幾何圖形
5.3 綫性構造型幾何命題的機器證明
5.3.1 關於體積的消點法
5.3.2 由麵積比中消點
5.3.3 由長度比中消點
5.3.4 自由點和體積坐標
5.3.5 例子
5.4 空間中的勾股差
5.4.1 勾股差與垂直
5.4.2 勾股差與體積
5.5 體積法
5.5.1 算法
5.5.2 例子
5.6 體積坐標係
第5章 小結

第6章 非歐幾何定理的機器證明
6.1 Cayley-Klein九種平麵幾何
6.1.1 直綫上的三種度量
6.1.2 角度的三種度量
6.1.3 九種平麵幾何
6.2 Cayley-Klein幾何的轉化定理
6.3 雙麯幾何麵積法
6.4 雙麯幾何的消元法
6.4.1 基本幾何命題
6.4.2 從比率中消去點
6.4.3 從綫性的幾何量中消去點
6.4.4 從二次幾何量中消去點
6.4.5 消去自由點
6.4.6 消去共圓的點
6.5 算法的實現與例子
第6章 小結

第7章 嚮量和機器證明
7.1 三維度量空間幾何
7.1.1 內積和度量嚮量空間
7.1.2 度量嚮量空間的外積
7.2 立體度量幾何
7.2.1 內積和外積
7.2.2 構造型幾何語句
7.3 基於嚮量計算的機器證明
7.3.1 嚮量消點法
7.3.2 從內積和外積中消點
7.3.3 算法
7.4 度量平麵幾何中的機器證明
7.4.1 歐氏平麵幾何的嚮量方法
7.4.2 Minkowsky平麵幾何中的機器證明
7.5 使用復數的機器證明
第7章 小結
參考文獻
索引

精彩書摘

　　《數學機械化叢書 12：幾何定理機器證明的幾何不變量方法》：
　　第1章 幾何定理機器證明概述
　　1.1 模擬人的思維——人工智能的開始
　　現代意義上的計算機産生於20世紀40年代中期.最初的計算機基本上是用來從事數值計算的，例如計算炮彈的飛行軌跡.能有機會接觸計算機的人無不為其巨大而神奇的計算能力所摺服.很自然人們就開始對計算機提齣新的更高的要求：計算機能否藉助其巨大的計算能力産生隻有人纔能具有的某些智能行為呢？對這一問題的研究在20世紀50年代中期導緻瞭人工智能這一領域的誕生。
　　要讓計算機産生智能行為首先要問：什麼是智能行為呢？人們馬上想到數學定理證明.數學定理證明不僅被認為是高層次的智力活動，也被認為是人類一般問題求解能力最典型的代錶與最好的訓練方法.因此，美國學者Newell，Show與Simon便開始研究用計算機證明數學定理，開發瞭用於命題邏輯的定理證明器“邏輯理論機”（LT）.
　　Newell等采用的證明定理的基本方法是：模擬人證明定理的想法.這實際上是一種“搜索法最基本的搜索證明方法有兩種：前推法與後推法。
　　（1）前推法與大英博物館算法。
　　定理證明的前推法即由一個命題的假設A）開始，使用一組公理R由假設D0推齣新的結論，這些新的結論和Do在一起組成DU再用同樣方法從Dl推齣更新的結論，這些更新的結論和D，一起組成D2，周而復始，直到得齣所要證明的命題結論或得不齣更新的結論為止.這一過程可錶示如下：
　　一個有趣的問題是：如果不論是否已經獲得要證的結論總是繼續推理，是否在某一步必有Dk=Dk+1?果真如此，也就是說，我們已經不能由Dk推導齣新的結論.換句話講，我們達到瞭“推理不動點”：
　　這一不動點應該包含能由假設A）推導齣的所有可能的結論.由此我們不僅可以證明所給定理，實際上還能發現所有能夠用E從A）推導齣的定理.
　　若果能如此，何其妙哉！實際情況並非如此.主要問題是隨著推理步驟的增加，所得到的結論可能非常之多，以緻於用很快且容量很大的計算機也不足以在閤理的時間內解決問題.這就是所謂的“搜索空間爆炸”現象。
　　由此也不難理解前推法的一個彆名“大英博物館方法其意是講如果由英文26個字母和幾個標點符號齣發，使用前推法寫齣字母與標點符號的所有可能組閤，這裏會有所有的單詞、所有的句子，以緻可以自動生成大英博物館內的所有著作.顯而易見，此路是不通的。
　　……

前言/序言

好的，這是一份關於《數學機械化叢書 12：幾何定理機器證明的幾何不變量方法》的圖書簡介，內容將聚焦於該書所涉及的其他數學機械化、幾何證明方法、不變量理論在不同領域（非該書特定主題）的應用，以及相關的前沿研究方嚮，同時確保內容充實、細節豐富，並力求自然流暢，不露人工痕跡。 --- 數學機械化叢書 12：幾何定理機器證明的幾何不變量方法 （以下內容為圍繞“數學機械化叢書”整體係列主題，以及幾何不變量理論在不同領域的拓展性介紹，旨在提供一個廣泛的知識背景與前沿視野。） 凸顯基礎：機械化思維與現代數學的交匯 “數學機械化叢書”係列一直緻力於探索如何將人類的數學直覺與邏輯推理過程，轉化為可供計算機執行的、形式化的算法。這不僅是關於“證明的自動化”，更是對數學本質——結構、關係和變換——的深刻反思。本叢書的諸多捲冊共同構建瞭一個宏大的知識體係，涵蓋瞭從初等代數到高階拓撲的各種證明範式。 本捲聚焦於幾何這一古老而迷人的領域，但我們更關注其背後的結構固化與變換群的視角。在更廣闊的機械化圖景中，幾何的證明挑戰往往在於如何處理連續性和無窮多配置的可能性。成功的機械化需要我們找到那些在特定變換下保持不變的量——即“不變量”。 幾何不變量方法論的基石：超越歐氏空間的視角 幾何學的不變量方法論，其根基可以追溯到十九世紀，特彆是黎曼幾何的興起與剋萊因（Klein）的“埃爾朗根綱領”。這種綱領強調：幾何學的本質是由其不變群所定義的。 在本叢書的更廣泛討論中，不變量方法論絕非僅限於歐氏空間中的長度、角度或麵積的保持。其深刻的價值在於將復雜的幾何問題，轉化為相對簡單且可計算的代數或拓撲不變量的判彆問題。 在非該書特定主題的幾何機械化探索中，我們深入研究瞭以下領域： 1. 代數幾何與不變量理論的橋梁 在代數幾何領域，幾何對象的性質常常通過其關聯的環、域或模空間來刻畫。希爾伯特（Hilbert）的不可約定理和不變量理論（Invariant Theory）提供瞭強大的工具，用於確定哪些多項式錶達式在仿射變換下是絕對不變的。 模空間（Moduli Spaces）的構造： 機械化證明的關鍵挑戰之一是處理參數空間。通過尋找描述幾何結構（如麯綫的模空間）的“模（moduli）”，我們可以將無窮維的幾何問題降維到有限維的代數問題上。不變量理論提供瞭一套成熟的算法來構造這些模函數，例如利用不變量式（Invariants）或協變量式（Covariants）來識彆等價的幾何對象。 2. 拓撲不變量與持久同調（Persistent Homology） 在拓撲學與數據分析的交界處，幾何不變量的概念被推廣到更高層次的抽象。拓撲學關注的是在連續形變下保持不變的性質，如連通分量、洞的數量（即貝蒂數 Betti Numbers）。 持久同調的機械化潛力： 傳統的拓撲計算在高維和復雜流形中是計算密集型的。持久同調作為一種新興工具，通過分析不同尺度下的拓撲特徵，提供瞭一種“可計算”的拓撲不變量。機械化研究正在探索如何將持久同調的計算流程形式化，並集成到幾何定理驗證係統中，用於判斷兩個高維點雲或形變模型是否本質上等價。 3. 機械化中的“形式化語言”選擇 無論采用何種幾何方法，數學機械化的核心難題在於形式化語言的選擇。如果幾何問題被編碼為初等代數語句（如 Tarski 的實閉域理論），那麼柱化分解（Cylindrical Decomposition）或三角化是核心算法。如果問題涉及更復雜的結構（如李群或微分幾何），則需要引入更強大的Groebner基計算或基於微分代數的方法。 幾何不變量的計算往往依賴於張量代數的推廣。在計算機代數係統中，如何高效地錶示、操作和簡化高階張量，並從中提取齣具有幾何意義的簡化不變量，是機械化研究人員必須麵對的工程挑戰。這涉及到對對稱群（Symmetric Group）和錶示論的深度編碼。 前沿探索：從證明到構造 本叢書所探討的機械化不僅停留在“是/否”的判定，更指嚮“如何構造”。當一個幾何不變量被確定為零時，這意味著特定的幾何配置得以實現（例如，點共綫或平麵共麵）。機械化係統如何利用這一不變量的消失，反嚮推導齣構造齣滿足條件的特定幾何配置（如尋找模空間的根點），是現代數學機械化研究的前沿。 幾何不變量不僅是判斷工具，更是連接抽象結構與具體實例的紐帶。在計算機輔助設計（CAD）和機器人運動規劃等應用領域，對運動、約束和形狀進行不變量分析，能夠顯著提高算法的魯棒性和效率，避免在不可行的構型空間中進行徒勞的搜索。 總而言之，本叢書的視野廣闊，旨在為讀者提供一個理解現代數學結構化、可計算化進程的全麵視角。它強調瞭形式邏輯、代數結構與幾何直覺的復雜耦閤，並展示瞭如何通過對“不變性”的精妙把握，使最復雜的幾何問題得以在機器上得到嚴謹的驗證和解決。

評分☆☆☆☆☆

這本書的齣現，對於我這個長期在幾何學領域摸爬滾打的研究者來說，簡直是一場及時雨。長期以來，幾何定理的證明，尤其是那些復雜而精巧的證明，往往需要深厚的幾何直覺和大量的創造性勞動，耗時耗力，且容易齣現疏漏。而“數學機械化”的理念，一直是我所關注的前沿方嚮。這本書將“幾何不變量方法”作為核心，這讓我看到瞭將這一理念具體落地的可行路徑。我尤其感興趣的是，作者是如何界定和提取幾何對象中的“不變量”，以及這些不變量如何在機器證明的過程中發揮作用。是像某些代數方法那樣，通過一係列精確的代數運算來規避幾何直覺的模糊性？還是有更巧妙的方式，直接捕捉幾何圖形的內在屬性？書中的“幾何定理機器證明”部分，更是讓我對接下來的內容充滿瞭期待。我希望它能提供一套係統性的方法論，指導我們如何將經典的幾何定理轉化為機器可理解的語言，並最終實現自動化的證明。對於我們這些在學術道路上不斷探索的人來說，這本書不僅是一本技術手冊，更是一盞指引方嚮的明燈，它為我們勾勒齣瞭未來幾何研究的可能性，這種前瞻性和實踐性，是極為寶貴的。

評分☆☆☆☆☆

這本書的標題“幾何定理機器證明的幾何不變量方法”就極具吸引力。我一直覺得，數學中最美妙的部分之一就是它能夠被精確地描述和邏輯地推導，而“機器證明”更是將這種精確性推嚮瞭極緻。想象一下，那些睏擾數學傢們數個世紀的難題，是否有一天能夠被一颱機器通過算法，在短時間內找到完美的證明？“幾何不變量方法”這個詞組，更是點燃瞭我對這本書內容的極大好奇。不變量，在任何數學領域都扮演著至關重要的角色，它們往往是理解對象本質的關鍵。我迫不及待地想知道，作者是如何運用幾何不變量來構建一套機器證明的係統，以及這套係統在處理復雜的幾何定理時，會有怎樣的錶現。這本書，對於我這個對數學方法論和計算數學充滿熱情的人來說，無疑是一份珍貴的禮物。它不僅預示著數學研究的未來方嚮，也為我們提供瞭一個探索數學世界新路徑的工具。

評分☆☆☆☆☆

拿到這本《數學機械化叢書 12：幾何定理機器證明的幾何不變量方法》，我的第一反應是：這絕對是一本硬核到傢的學術專著。書名就充滿瞭專業性和技術性，對於非數學背景的讀者來說，可能需要相當的耐心和毅力纔能啃下來。但是，對於那些對數學的深層邏輯和計算原理充滿好奇，或者在計算機科學、人工智能等領域有相關研究的讀者來說，這本書無疑打開瞭一個全新的世界。想象一下，如果幾何定理的證明能夠被“機械化”，那麼我們是否可以構建一個龐大的幾何知識庫，讓機器自動地發現新的定理，或者更高效地驗證已有的猜想？“幾何不變量方法”這個關鍵詞，在我看來，是這本書的核心技術所在。不變量往往是數學中最穩定、最深刻的性質，如果能夠有效地利用它們來指導機器進行證明，那麼將極大地簡化證明的復雜度，甚至發現我們人類思維難以觸及的證明路徑。這本書，就像是一把鑰匙，解鎖瞭數學證明的自動化大門，其潛在的應用價值，無論是在理論研究還是在實際工程領域，都不可限量。

評分☆☆☆☆☆

這本書的封麵設計就帶著一種沉靜而又深邃的氣質，深藍色調搭配燙金的字體，仿佛訴說著數學世界那宏大而又精密的邏輯。拿到手中，分量十足，預示著它所蘊含的知識的厚重。雖然我還沒有深入閱讀，但從目錄和前言中，我已經感受到瞭作者構建的那個宏偉圖景：將抽象的幾何定理轉化為可以被機器處理的形式。想象一下，那些橫跨韆年的幾何猜想，那些精妙絕倫的證明，未來有一天，可能不再需要人類皓首窮經，而是交給一颱颱冰冷的機器去完成，去驗證。這種“數學機械化”的概念本身就充滿瞭科幻色彩，而“幾何不變量方法”這個詞組，更是點燃瞭我內心深處的好奇。不變量，在數學中總是扮演著至關重要的角色，它們如同錨點，連接著各種看似無關的數學對象，揭示著隱藏在現象背後的本質。我迫不及待地想知道，作者是如何將這一強大的數學工具應用於復雜的幾何定理證明，又是如何設計齣能夠識彆和操縱這些不變量的“機器”。這本書，或許會顛覆我對數學證明的傳統認知，開啓一個全新的研究視角，這本身就是一種令人興奮的期待。

評分☆☆☆☆☆

這本書的裝幀就給人一種厚重感，沉甸甸的，就像是裏麵承載著許多數學世界的奧秘。雖然我目前還沒有深入到書中的具體內容，但光是書名《數學機械化叢書 12：幾何定理機器證明的幾何不變量方法》就已經足夠吸引人瞭。我一直對“數學機械化”這個概念非常著迷，它意味著將嚴謹的數學邏輯與強大的計算能力相結閤，從而實現數學發現和證明的自動化。而“幾何不變量方法”，更是讓我産生瞭濃厚的興趣。在幾何學中，不變量往往能夠揭示圖形本質的屬性，是理解幾何結構的關鍵。我非常好奇，作者是如何將這種抽象的數學概念，應用到具體的幾何定理的機器證明中去的。這本書是否會提供一套新的算法或者框架，讓我們能夠通過編程的方式，去探索和驗證那些復雜的幾何定理？我期待它能夠帶來一些令人耳目一新的思路，甚至是一些可以實際操作的工具，讓我們能夠更深入地理解幾何世界，並推動數學研究的邊界。