数理逻辑与集合论 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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房元霞，赵汝木，盛秀艳 编

图书标签:

• 数理逻辑
• 集合论
• 数学基础
• 逻辑学
• 高等数学
• 哲学
• 数学哲学
• 形式化方法
• 离散数学
• 理论计算机科学

出版社： 科学出版社

ISBN：9787030469083

版次：1

商品编码：11853606

包装：平装

开本：16开

出版时间：2016-01-01

用纸：胶版纸

页数：236

正文语种：中文

内容简介

　　《数理逻辑与集合论》是数理逻辑和集合论的基础语言。共8章，前5章是数理逻辑部分：第1-3章是数理逻辑，包括命题逻辑、谓词逻辑及其公理化理论；第4章是简单模态逻辑，第5章是利用基础知识分析基础教育阶段数学教、学中遇到的问题。在每一节的起始将本节内容所渗透的重要的思想方法提炼出来放在前面，以期利于读者对内容的深入理解和对数学思想方法的进一步思考。后3章是集合论部分，包括集合、关系、函数、实数集与基数等基础知识。

目录

前言
数理逻辑部分
数理逻辑简介
1命题逻辑及其思想方法
1.1命题与联结词
1.2命题公式及其赋值
1.3等值式
1.4析取范式与合取范式
1.5联结词的完备集
1.6推理的形式结构
1.7自然推理系统P
1.8反证法的逻辑基础
习题1
2谓词逻辑及其思想方法
2.1谓词逻辑命题符号化
2.2谓词公式及解释
2.3谓词逻辑等值演算
2.4谓词逻辑前束范式
2.5谓词逻辑的推理理论
习题2
3命题逻辑与谓词逻辑的公理化理论及其思想方法
3.1公理化理论的基本思想
3.2命题逻辑的公理系统
3.3谓词逻辑公理系统
习题3
4模态逻辑的基础知识及其思想方法
4.1模态逻辑概述
4.2模态命题逻辑
4.3模态谓词逻辑
习题4
5现代数学课程中的数理逻辑问题分析
5.1开关电路与布尔代数
5.2布尔函数
5.3布尔函数的逻辑电路
5.4高中数学简易逻辑中几个概念的辨析及教学建议
5.5描述法表示集合
5.6命题否定中文献中常见错误及析解
习题5
参考文献
集合论部分
集合论简介
6集合的基础知识及其思想方法
6.1集合的基本概念
6.2集合的运算及其思想方法
6.3有穷集的计数问题及其思想方法
习题6
7关系及其思想方法
7.1有序对与笛卡儿积
7.2关系及其表示
7.3关系的运算
7.4关系的性质
7.5关系的闭包
7.6等价关系与划分
7.7偏序关系
习题7
8函数及其数学思想方法
8.1函数的概念与性质
8.2函数的复合与反函数
8.3集合的等势与优势
8.4基数的概念
习题8
参考文献

前言/序言

现代物理学的基石：量子场论导论 一部深入浅出、严谨细致的量子场论前沿著作 作者： [虚构作者名] 出版社： [虚构出版社名] 出版日期： [虚构日期] --- 内容提要 《现代物理学的基石：量子场论导论》旨在为物理学、数学及相关领域的研究生和高年级本科生提供一个全面、深入且具有现代视角的量子场论（Quantum Field Theory, QFT）基础。本书着重于从基本原理出发，系统地构建和阐述量子场论的数学结构、物理图像及其在描述基本粒子相互作用中的核心地位。 本书的叙事逻辑清晰，从狭义相对论与量子力学的结合点出发，逐步过渡到经典场论的拉格朗日形式，最终构建起规范场论的宏伟框架。我们特别强调物理直觉与数学严谨性的平衡，确保读者不仅能够掌握计算技巧，更能深刻理解其背后的物理意义。 全书共分十六章，结构紧凑，内容覆盖了从基础的狄拉克方程到前沿的重整化群理论。我们避开了早期教材中可能存在的历史遗留问题，直接引入现代物理学家所依赖的、更具普适性的规范对称性方法。 核心章节与内容详解 第一部分：相对论性量子力学与经典场论基础 (Ch. 1 - 4) 第一章：狭义相对论与量子力学的交汇点 本章回顾了洛伦兹协变性、四维时空几何，并引入了描述自由粒子的相对论性波方程。重点讨论了 Klein-Gordon 方程的局限性（如负概率密度问题），并详细推导了 狄拉克方程 的构建过程，成功地将自旋 1/2 粒子纳入相对论框架。本章详述了狄拉克海的物理图像，并引入了反粒子（如正电子）的预测，这是 QFT 诞生的第一个关键思想飞跃。 第二章：经典场论与变分原理 本章是连接经典力学与 QFT 的桥梁。我们系统地介绍了经典场（标量场、旋量场、矢量场）的概念。核心内容是 最小作用量原理 和 欧拉-拉格朗日方程 在场论中的推广。拉格朗日密度 $mathcal{L}$ 被确立为场论的基石，并详细推导了能量-动量张量 $T_{mu u}$ 的定义及其守恒律。对称性与守恒量之间的关系，通过 Noether 定理 进行了严谨的阐述，为后续的规范对称性分析奠定了坚实的数学基础。 第三章：正则量子化方法 本章开始正式的量子化过程。我们主要采用 正则对易关系 量子化（Canonical Quantization）。对于自由标量场（Klein-Gordon 场），我们展示了如何通过定义产生和湮灭算符 $hat{a}^dagger(mathbf{k})$ 和 $hat{a}(mathbf{k})$，将场算符分解为傅里叶级数，并成功构建出 Fock 空间。Fock 空间的概念，包括单粒子态、多粒子态的定义，以及粒子数算符的引入，被详尽阐述。 第四章：自由狄拉克场与旋量子化 本章将正则量子化推广到费米子场。我们处理了狄拉克场的特殊性，即其 反交换关系（Anti-Commutation Relations）是保证粒子服从泡利不相容原理的必要条件。本章详尽地讨论了狄拉克旋量及其在洛伦兹变换下的行为，并解释了自旋-统计定理的初步物理图像。 第二部分：相互作用、散射与微扰论 (Ch. 5 - 8) 第五章：相互作用绘景与S矩阵 本章引入了 相互作用 的概念，将自由场论扩展到实际物理世界。通过海森堡绘景与狄拉克绘景的对比，我们聚焦于相互作用绘景。核心工具 S 矩阵 (Scattering Matrix) 被引入，用于描述粒子在无穷远处相互作用前后的概率幅。我们探讨了 S 矩阵的酉性要求及其物理意义。 第六章：费曼图与微扰展开 本章是计算的基石。我们系统地推导了 S 矩阵的 Dyson 级数 展开，并展示了 费曼图（Feynman Diagrams）如何作为该级数展开的直观且系统的图形化表示。对于 $phi^4$ 理论，本书详细分解了诸如两点函数、三点函数等基本关联函数的费曼规则，并给出了第一个微扰计算实例：电子-电子库仑散射的最低阶修正。 第七章：关联函数与维克定理 关联函数（或称格林函数）是量子场论计算的核心对象。本章深入讨论了 时间排序算符 的定义及其在计算中对费曼规则的重要性。Wick 定理 被严格证明和应用，作为计算高阶关联函数的关键代数工具。 第八章：散射截面与衰变率的计算 本章侧重于将抽象的 S 矩阵元转化为可观测的物理量。详细推导了 散射截面 的运动学关系，并展示了如何利用费曼图计算的振幅 $mathcal{M}$ 来确定微分截面和总截面。同时，我们也讨论了不稳定粒子（如 $ ho$ 介子）的 衰变率 计算，引入了费曼规则中的外部线和实线积分。 第三部分：无穷大的处理与重整化 (Ch. 9 - 12) 第九章：紫外灾难与正则化 随着微扰阶数的增加，计算结果中不可避免地出现了积分的发散——紫外灾难。本章详细分析了这些发散的来源，并引入了处理发散的数学手段：正则化（Regularization）。我们重点讨论了 截断正则化 (Cutoff Regularization) 和 维度正则化 (Dimensional Regularization)，后者被确立为现代 QFT 的首选方法。 第十章：重整化的一般理论 重整化 (Renormalization) 是 QFT 最具革命性的概念之一。本章构建了重整化的形式框架，解释了“裸”参数与“物理”参数之间的关系。我们引入了 Ward-Takahashi 恒等式 的概念，证明了规范不变性如何保证某些修正（如自能修正）可以被吸收进对波函数和电荷的修正中。 第十一章：重整化群与跑动耦合常数 超越了简单的重整化程序，本章引入了 重整化群 (Renormalization Group, RG)。RG 描述了物理量如何依赖于我们进行测量的能量尺度。我们推导了 Callan-Symanzik 方程，并引入了 $eta$ 函数 来描述耦合常数随能量尺度变化的速率。这是理解 QCD 中“渐近自由”现象的数学基础。 第十二章：重整化方案的比较 本章对比了不同的重整化方案，特别是 最小减去法 (MS) 方案及其变体 ($overline{MS}$ 方案)，解释了它们在排除紫外线发散时引入的依赖性，以及 $overline{MS}$ 如何成为标准模型参数定义的基础。 第四部分：规范场论与标准模型基础 (Ch. 13 - 16) 第十三章：对称性与规范场 本部分转向现代粒子物理学的核心——规范理论。本章从整体洛伦兹对称性推广到局域规范对称性。我们详细构建了 Abelian 规范理论 (如 QED) 的拉格朗日量，并展示了引入局域不变性如何必然地要求存在 规范玻色子（如光子）。 第十四章：非阿贝尔规范场与 QCD 雏形 本章是深入理解强相互作用的关键。我们推广到 非阿贝尔群（如 SU(2) 和 SU(3)），推导出非阿贝尔规范场的场强张量 $F_{mu u}^{a}$ 及其 自相互作用 项。本书详细分析了 SU(3) 色对称性如何构成量子色动力学 (QCD) 的基础，并清晰解释了 Gluon 携带色荷的概念。 第十五章：自发对称性破缺与质量的起源 本章探讨了 自发对称性破缺 (SSB)。通过 Goldstone 定理，我们理解了 SSB 导致无质量 Goldstone 玻色子的产生。随后，我们引入了 Higgs 机制，展示了如何将 SSB 应用于规范理论中，从而赋予规范玻色子（W 和 Z 玻色子）以及费米子 质量，而无需破坏规范不变性。 第十六章：有效场论与重力场的展望 最后，本章将理论视野扩展到 有效场论 (EFT) 的观点，强调了在特定能量尺度下，我们只需要保留低能自由度的动力学。这为处理更复杂系统（如标准模型之外的物理）提供了一个强大的概念框架。本书以对 量子引力 的简要讨论作结，指出在 QFT 框架下处理一般协变性所面临的根本困难，为读者指明了未来研究的方向。 --- 本书特色 1. 现代方法论优先： 从一开始就采用规范对称性作为理论构建的中心驱动力，而非依赖于早期的哈密顿量方法。 2. 严谨的数学基础： 充分利用泛函积分方法（Feynman Path Integrals）作为推导工具，而非仅仅是正则量子化的补充。 3. 计算与物理结合： 每引入一个新概念，都伴随着详细的、可操作的计算示例，特别是对 QCD 中渐近自由的现代解释。 4. 覆盖前沿议题： 系统介绍了重整化群、$overline{MS}$ 方案以及 Higgs 机制的规范场论解释，内容紧跟当代粒子物理学的需求。 本书是致力于掌握现代粒子物理学和凝聚态理论高级概念的严肃学者的必备参考书。

评分☆☆☆☆☆

这本书的排版简直是强迫症患者的噩梦，或者说是对“效率至上”的极致体现。页边距窄得惊人，行距紧凑得让人喘不过气，恨不得把每一个毫米的空间都塞满信息。字体选择上，那种宋体加粗的风格，在大段的推导过程中显得尤为刺眼，尤其是那些希腊字母和上下标混排的地方，常常需要我眯着眼睛反复确认变量的归属。说实话，如果不是因为我对这个领域抱有某种近乎偏执的好奇心，我早就把它束之高阁了。它更像是一本技术手册，而非供人阅读的书籍。书中附带的习题部分，更是让人望而生畏，很多题目需要跨越好几页的篇幅才能写完一个完整的证明，清晰的草稿纸都快被我用完了。我甚至怀疑作者在创作时，是否根本没有考虑读者的阅读体验，而仅仅是将自己的研究笔记原封不动地搬了过来。每一次翻阅，都像是在进行一场艰苦的脑力劳动，但奇怪的是，那种枯燥中又蕴含着一种“磨砺心智”的快感，仿佛通过这种繁琐的计算，我的思维也变得更加锋利和有条理了。

评分☆☆☆☆☆

这本书的装帧质量实在不敢恭维，纸张有点薄，墨水似乎也有些渗透，稍微用力一点点，就能看到背面的文字隐隐约约地透出来，这在需要频繁查阅公式符号时，着实让人心烦。而且，全书几乎没有彩图或任何视觉辅助，所有概念都依赖于纯粹的文字和符号来构建，这对于我这种视觉型学习者来说，简直是灾难性的体验。我常常需要在一堆黑白灰的符号中，自己想象出集合之间的关系图，或者逻辑连接词的真值表结构。坦白说，这种纯文本的呈现方式，虽然保留了传统数学教材的“古朴”风格，但在当代信息传播的背景下，显得有些过于固执了。我期待的是能够有一些清晰的流程图来梳理复杂的证明结构，或者用不同颜色标记关键的推理步骤，哪怕是增加一些历史背景的小插曲也好，都能让阅读过程不至于如此单调和抽象。这本书就像一个功能强大的计算器，它能给出最精确的结果，但它不会教你如何更好地“看”待这些结果。

评分☆☆☆☆☆

我本以为这是一本涵盖了数理逻辑发展历史和哲学思辨的综合性著作，毕竟书名听起来很大气。然而，实际内容却高度聚焦于形式系统本身的构建与操作，哲学层面的探讨几乎被压缩到了最小的篇幅，更多的是对特定公理集合下演绎推理的细致展示。书中对哥德尔不完备性定理的阐述，虽然论证严谨，但语言的跳跃性太大，中间省略了许多中间步骤的直观解释，这使得初次接触该理论的读者，很容易在理解“可定义性”和“可证明性”之间的微妙关系时感到迷茫。我不得不求助于网络上的各种辅助视频和图解，才能勉强跟上作者的思路。这本书的优点在于其内容的纯粹性，它毫不妥协地展示了形式系统的核心骨架；但缺点也同样明显，那就是它对读者的预设知识储备要求极高，缺乏必要的“桥梁”来引导新手跨越鸿沟。对于已经有一定基础的人来说，它或许是一本极佳的参考书，但对于想“入门”的人而言，这更像是一剂猛药，药效虽强，但副作用是可能导致“初学者心律不齐”。

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计相当朴实，米黄色的纸张带着一种沉静的质感，封面上烫金的字体排列得一丝不苟，像极了书名本身所暗示的严谨。翻开扉页，映入眼帘的是密密麻麻的公式和定义，简直让人有点头皮发麻。我本来是想找本轻松的入门读物，结果选到了这个“硬骨头”。里面的论证过程，步步为营，每一步都像是建筑师在砌砖，生怕有一丝一毫的误差。读起来绝对称不上“享受”，更像是在攀登一座陡峭的山峰，需要极大的专注力和毅力。有好几次，我感觉自己快要被那些符号和公理体系绕晕了，只能合上书，泡杯浓茶，才能稍微找回一点理智的锚点。不过，当我终于理解了某个晦涩的证明逻辑时，那种豁然开朗的感觉，又是任何通俗读物都无法比拟的，仿佛窥见了宇宙运行的某种底层代码，冰冷、精确，却又充满着一种令人敬畏的美感。这本书显然不是为“消遣”而生的，它是一份严肃的学术邀请函，邀请你进入一个完全由逻辑构筑的殿堂，去接受智力的极限挑战。

评分☆☆☆☆☆

在阅读这本书的过程中，我最大的感受就是一种深层的、近乎冥想的状态。这不是一本可以随便翻阅的书，你需要安排专门的时间，关掉所有通知，甚至可能需要准备好一张白板来随时演算。它很少使用比喻或类比来解释那些高度抽象的概念，而是直接将你置于公理系统的中心，让你在冰冷的逻辑推导中自行摸索前进的路径。我注意到书中对“递归定义”的处理尤为细致和反复，作者似乎非常看重读者对这一核心概念的理解深度，用了好几个章节来从不同角度进行阐述和验证，这一点值得称赞。然而，这种细致也带来了节奏上的拖沓，某些本可以一笔带过的部分被过度展开，反而稀释了读者对关键理论的敏感度。总而言之，这是一本要求读者拿出最大诚意的教材，它不会主动迎合你，你必须主动去征服它。读完它，你会发现自己对“严谨”二字有了全新的、更加沉重的理解，但随之而来的，是对自身智力极限的深刻反思。