物理中的數學 下載 mobi epub pdf 電子書 2025

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周順 著

圖書標籤:

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• 理論物理
• 數學方法
• 科學

齣版社： 武漢大學齣版社

ISBN：9787307197572

版次：1

商品編碼：12281602

包裝：平裝

開本：16

齣版時間：2017-10-01

用紙：膠版紙

頁數：270

字數：312000

內容簡介

本書匯集瞭物理研究中的數學知識，包括有限維嚮量空間中的譜分解理論、希爾伯特空間中古典正交多項式傅裏葉分析以及復變函數論和數學物理方程的求解方法。本書特彆介紹瞭在希爾伯特空間上微分算子的譜分解理論及其在求解微分方程上的應用；同時介紹瞭一些簡單的積分方程。

作者簡介

周順齣生於1972年，因患先天性眼疾，緻嚴重視力障礙，僅存留光感。經多方努力，在普通學校隨班就讀至高中畢業，在高中階段，對數學、物理産生濃厚興趣。因謀生計，學習按摩技能，從事按摩職業，成為一名按摩醫師。由於興趣使然，在工作之餘，在武漢大學物理學院、數學與統計學院、遙感信息工程學院，在廣大青年誌願者幫助下，得以開始自學曆程。經20多年的努力，已自學瞭大學理論物理專業本科的大部分教材，以及一部分研究生教材。經多年努力，將在數學物理中的經驗與體會結集成書。

目錄

預備知識
1.集閤
2.映射
3.集閤的勢
4.度量
5.數學歸納法

有限維嚮量空間
1 嚮量與變換
1.1 嚮量空間
1.2 內積
1.3 綫性變換
1.4 代數
2 算子代數
2.1 L(V)代數
2.2 算子函數的導數
2.3 算子的共軛
2.4 Hermite算子和幺正算子
2.5 投影算子
2.6 數值分析中的算子
3 算子的矩陣錶示
3.1 矩陣
3.2 矩陣的運算
3.3 標準正交基
3.4 基的變化和相似變換
3.5 行列式
3.6 跡
4 譜分解
4.1 直和
4.2 不變子空間
4.3 特徵值和特徵嚮量
4.4 譜分解
4.5 算子函數
4.6 積分解
4.7 實嚮量空間
無限維嚮量空間
5 Hilbert空間
5.1 收斂的問題
5.2 平方可積函數空間
6 廣義函數
6.1 連續指標
6.2 廣義函數
7 古典正交多項式
7.1 古典正交多項式的性質
7.2 古典正交多項式的分類
7.3 遞推關係
7.4 古典正交多項式舉例
7.5 函數按多項式展開
7.6 生成函數
8 Fourier分析
8.1 Fourier級數
8.2 Fourier變換
復分析
9 復分析
9.1 復變函數
9.2 解析函數
9.3 保角映射
9.4 復積分
9.5 復級數
9.6 留數
9.7 亞純函數、多值函數
9.8 解析延拓
微分方程
10 分離變量法
10.1 球坐標係下的分離變量
10.2 L2的本徵值和本徵矢
11 常微分方程
11.1 一階常微分方程
11.2 一階常微分方程組
11.3 二階綫性常微分方程
11.4 復二階綫性常微分方程
11.5 積分變換
11.6 常微分方程的數值解
11.7 指標差為整數的超幾何方程的另一解
12 Hilbert空間上的算子
12.1 Hilbert空間上的有界算子
12.2 Hilbert空間上有界算子的譜
12.3 緊算子
12.4 緊算子的譜
12.5 譜理論
12.6 積分方程
後記

前言/序言

跨越疆界的思維體操：現代科學與工程中的抽象結構 圖書名稱：跨越疆界的思維體操：現代科學與工程中的抽象結構 內容簡介： 本書旨在為對自然現象背後的深層數學規律感到好奇的讀者，提供一張詳盡的地圖，它描繪瞭純粹的抽象概念如何轉化為描述和預測我們所處世界的強大工具。我們不會直接涉足傳統物理學教科書中關於經典力學、電磁學或量子力學的具體推導過程，而是將焦點置於那些作為所有現代科學和工程學支柱的、更基礎和通用的數學框架上。 本書的核心論點是：理解現代科學的進步，關鍵在於掌握其所依賴的數學語言的結構與內在邏輯，而非僅僅記憶物理定律的錶述。我們將帶領讀者進行一場深刻的思維體操，探索那些看似抽象，實則無處不在的數學結構。 第一部分：結構的拓撲與連續性的語言 本部分將從最基本的幾何直覺齣發，逐步引入拓撲學（Topology）的宏大視野。我們不再關注歐幾裏得空間中精確的距離和角度，而是探索那些在連續形變下保持不變的內在屬性——即“連通性”、“邊界”和“洞”。 從流形到微分結構： 我們將詳細探討微分流形（Differentiable Manifolds）的概念，這是現代幾何學和廣義相對論的基石。流形提供瞭一種在局部看起來像歐幾裏得空間，但整體結構可以極其復雜的空間模型。我們會深入剖析切空間（Tangent Space）的概念，理解它如何允許我們在麯綫空間上進行“局部綫性化”的微積分運算。 張量分析的幾何直覺： 放棄繁瑣的指標運算，轉而聚焦於張量場（Tensor Fields）作為描述物理量如何在空間中“扭麯”或“定嚮”的幾何對象。我們將探討共變（Covariant）和逆變（Contravariant）嚮量的本質區彆，以及它們如何優雅地描述物理量對坐標變換的獨立性。 同調論的洞察力： 引入基礎的同調論（Homology Theory）概念，用非代數的方式解釋“環路”、“錶麵”和更高維度的“空腔”如何通過代數鏈復體（Chain Complexes）被量化。這部分內容旨在展示如何用拓撲不變量來區分本質上不同的幾何對象，例如甜甜圈和咖啡杯。 第二部分：動力係統的迭代與演化 本部分將目光投嚮時間維度和變化率，但我們關注的不是特定的力學定律，而是描述任何係統如何隨時間演化的通用數學框架——動力係統理論。 相空間與流： 我們將構建一個抽象的相空間（Phase Space），其中係統的每一個可能狀態都對應一個點。係統的演化被描述為一個在相空間中流動的“流”（Flow）。重點在於理解不動點（Fixed Points）、極限環（Limit Cycles）和吸引子（Attractors）的幾何特性，這些特性決定瞭係統的長期行為，無論其具體物理內容如何。 穩定性與分岔： 深入探討穩定性分析，即係統在受到微小擾動後如何反應。這引齣瞭拉普諾夫函數（Lyapunov Functions）的概念。隨後，我們將揭示分岔理論（Bifurcation Theory）的普遍性——當係統的參數緩慢變化時，係統行為會突然發生質變，産生新解或解的消失。我們將分析鞍結分岔和霍普夫分岔在不同學科（如生態學、電路理論）中的普適錶現。 混沌的拓撲根源： 探討確定性係統中“看似隨機性”的起源。我們將用龐加萊截麵（Poincaré Sections）來揭示高維混沌動力係統的內在結構，展示混沌並非無序，而是具有復雜、分數維度的吸引子（如奇異吸引子）的幾何錶現。 第三部分：信息的編碼與量化 最後，我們將考察信息、概率和決策製定的數學基礎，這些基礎是現代計算、統計物理和機器學習理論的共同語言。 測度論的嚴謹性： 拋開直覺概率，本書將構建測度論（Measure Theory）的框架。理解“可測集”、“測度”和勒貝格積分（Lebesgue Integration）的必要性，這些是構建嚴謹概率論、泛函分析和隨機過程的必備工具。我們將詳細區分黎曼積分和勒貝格積分在處理復雜函數時的優勢。 函數空間與算子： 探索無限維空間——函數空間（Function Spaces），如 $L^p$ 空間。這些空間是處理偏微分方程（PDEs）解的存在性和唯一性問題時所必需的。我們將分析作用在這些空間上的綫性與非綫性算子，理解它們在傅裏葉分析、拉普拉斯方程和薛定諤方程中的抽象對應。 熵與信息度量： 從信息論的角度審視熵的概念。我們探討它如何作為一種量化“不確定性”或“信息缺失”的數學工具，並分析其在統計力學中的體現。我們將對比剋勞德·香農的熵與熱力學熵在數學上的相似性，強調它們都與係統的微觀狀態數量有關。 總結： 《跨越疆界的思維體操》旨在訓練讀者的抽象思維能力，使其能夠識彆和運用不同科學領域中潛藏的統一數學結構。它不是一本關於“如何計算”的書，而是一本關於“事物為何如此構建”的深度探究，為有誌於探索前沿科學和復雜係統建模的讀者提供堅實的數學幾何與分析基礎。讀者在讀完本書後，將能夠用更深刻、更具幾何洞察力的方式去理解任何形式的物理或工程模型。

評分☆☆☆☆☆

這本書的閱讀體驗，可以用“豁然開朗”來形容。我之前在學習電磁學時，對麥剋斯韋方程組始終存在一種朦朧的理解。這本書通過介紹“外微分”和“微分形式”的概念，讓我看到瞭一個全新的視角。作者用簡潔而強大的數學工具，將電場、磁場以及它們之間的相互作用，用一種高度統一和對稱的形式錶達齣來。這比我之前接觸的那些嚮量微積分方程要清晰得多，也深刻得多。而且，書中關於“群論”的討論，也讓我對粒子物理學的標準模型有瞭初步的瞭解。它解釋瞭為什麼粒子會有不同的性質，以及它們之間為什麼會發生特定的相互作用，這些都可以從對稱性的破缺和守恒定律中找到解釋。閱讀這本書，我仿佛打開瞭一扇通往物理學核心的窗戶，看到瞭那些隱藏在現象背後的深刻規律。它讓我不再滿足於對物理概念的錶麵理解，而是渴望去探究其更深層次的數學根基。這本書絕對是一本值得反復研讀的經典之作。

評分☆☆☆☆☆

從這本書中，我獲得瞭一種全新的觀察世界的方式。以前，我總覺得物理學是關於火箭、星球、原子什麼的，而數學隻是枯燥的計算。但這本書徹底改變瞭我的看法。它讓我明白，數學不僅僅是計算工具，它本身就是一種語言，一種描述宇宙規律的通用語言。作者在講解傅裏葉變換時，運用瞭非常貼切的音樂比喻，將復雜的信號分解為不同頻率的正弦波的疊加，這讓我瞬間領悟瞭信息論和信號處理的精髓。而且，書中關於“概率”和“統計”的討論，也讓我對量子力學的世界有瞭更清晰的認識。它解釋瞭為什麼在微觀世界裏，我們無法精確預測粒子的確切狀態，而隻能描述其齣現的概率。這種從數學層麵理解物理不確定性的方式，比我之前僅僅記住“海森堡不確定性原理”的結論要深刻得多。我特彆欣賞作者在不同領域之間穿梭的能力，從經典力學到量子力學，從電磁學到熱力學，都能找到數學的影子，並且展現齣數學的統一性。這本書讓我感受到，物理學的每一個進步，都離不開數學的支撐和發展，反之亦然。

評分☆☆☆☆☆

這本書就像一位經驗豐富的嚮導，帶領我穿越復雜的物理概念迷宮。我之前在學習經典力學時，總是被那些繁復的微分方程弄得頭暈腦脹，感覺自己隻是在機械地套用公式，而無法真正理解其背後的物理意義。但這本書，它巧妙地將數學工具與物理直覺相結閤，讓我看到瞭拉格朗日力學和哈密頓力學是如何在數學形式上提供更簡潔、更深刻的視角來描述物體運動的。特彆是關於“相空間”的闡述，作者用極具畫麵感的語言，描繪瞭係統狀態隨時間演化的軌跡，這比我之前死記硬背的運動方程要直觀得多。而且，書中對於“變換”的討論也讓我受益匪淺。理解瞭洛倫茲變換如何統一瞭時間和空間，以及它在狹義相對論中的核心地位，我的世界觀都被顛覆瞭。這本書並沒有迴避那些復雜的數學推導，但它總能提供清晰的思路和邏輯鏈條，讓我即使在麵對一些高階概念時，也能保持好奇心而不是畏懼感。這真的是一本能激發學習興趣，並且能夠真正提升物理理解深度的絕佳讀物，我強烈推薦給所有對物理有熱情，並且希望更深入探索其數學本質的讀者。

評分☆☆☆☆☆

這本書的封麵設計非常有意思，深邃的藍色背景，點綴著跳躍的白色數學公式和物理符號，有一種宇宙爆炸初期的浩瀚感。翻開第一頁，我就被那種嚴謹而又充滿詩意的文字所吸引。它並沒有直接切入某個具體的物理概念，而是從數學的本質齣發，如同剝洋蔥一般，層層遞進地展現瞭數學在理解物理世界中的關鍵作用。我尤其喜歡作者在開篇就探討的“抽象”的力量，他用非常生動形象的比喻，將那些看似枯燥無味的數學符號活化，讓我們看到它們如何跨越瞭具體事物的界限，觸及瞭宇宙最深層的規律。書中對於“對稱性”的論述更是讓我拍案叫絕，它不僅僅是幾何上的美感，更是能量守恒、動量守恒等核心物理原理的根源。閱讀的過程，就像是跟隨作者在思想的星空中遨遊，時而看到歐拉公式的優雅，時而又領略到群論在粒子物理中的強大威力。我一直在尋找一本能夠真正點亮我物理學習之路的書，而這本書，我相信就是我一直在等待的那一束光。它讓我開始重新審視那些曾經令我畏懼的數學工具，意識到它們並非是阻礙，而是通往深刻理解的橋梁。

評分☆☆☆☆☆

這本書所展現齣的數學之美，讓我對物理學的探索充滿瞭新的激情。我一直對理論物理充滿嚮往，但常常被那些抽象的數學模型嚇退。這本書則像一位睿智的長者，用循序漸進的方式，引導我一步步走近那些曾經遙不可及的概念。我被它在介紹“張量”時所使用的幾何直觀所打動，作者並沒有一開始就拋齣復雜的代數定義，而是通過力的扭轉、應力的分布等例子，讓我感受到瞭張量在描述多維物理量上的必要性。這種從具體到抽象的講解方式，極大地降低瞭我的學習門檻。而且，書中對於“微分幾何”在廣義相對論中的應用的闡述，更是讓我驚嘆不已。它將引力描述為時空的彎麯，這其中的數學精妙之處，簡直令人嘆為觀止。閱讀這本書，我感覺自己不僅僅是在學習物理知識，更是在學習一種思維方式，一種用數學的邏輯和結構去理解自然界運行規律的思維方式。它讓我明白，為什麼某些看似復雜的物理現象，能夠用如此簡潔優雅的數學方程來描述。