矩阵论 [Matrix Theory] pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

简体网页||繁体网页

☆☆☆☆☆

顾桂定，张振宇 编

图书标签:

• 矩阵论
• 线性代数
• 数学
• 高等数学
• 矩阵分析
• 数值计算
• 理工科
• 大学教材
• 数学建模
• 工程数学

出版社： 上海财经大学出版社

ISBN：9787564227937

版次：1

商品编码：12317742

包装：平装

外文名称：Matrix Theory

开本：16开

出版时间：2017-12-01

用纸：胶版纸

页数：207

字数：318000

正文语种：中文

内容简介

　　《矩阵论》比较全面地介绍了矩阵理论的基础知识。全书共分九章，分别介绍了线性空间与内积空间，线性变换和矩阵的Jordan标准形，范数与极限，矩阵函数与函数矩阵，矩阵分解，一些特殊矩阵，非负矩阵，Kronecher积与矩阵方程和小二乘问题。附录简述了一元多项式的有关概念和性质。每一章都配备习题，以便读者学习与巩固。
　　《矩阵论》可作为理工科以及财经类院校的研究生和高年级本科生的学习教材，也可作为有关专业教师和工程技术人员的参考书。

内页插图

目录

前言

第一章 线性空间与内积空间
§1．1 集合与映射
一、集合
二、映射
§1．2 线性空间及其基与维数
一、线性空间的定义
二、基、维数与坐标
三、基变换与坐标变换
§1．3 线性子空间
一、线性子空间
二、子空间的交与和
三、直和
§1．4 线性空间的同构
§1．5 内积空间
一、欧氏空间
二、标准正交基与Gram-Schmidt正交化过程
三、子空间
四、同构
五、酉空间
习题一

第二章 线性变换和矩阵的Jordan标准形
§2．1 线性变换与线性变换的矩阵
一、线性变换
二、线性变换的矩阵
三、线性变换在不同基下的矩阵
四、正交变换
§2．2 特征值与特征向量
一、基本概念
二、矩阵对角化的相似条件
三、Hamilton-Caylay定理
§2．3 不变子空间与Jordan标准形
一、值域与核
二、不变子空间
三、Jordan标准形
§2．4 对称矩阵的相似对角化
§2．5 入一矩阵
一、基本概念
二、标准形
三、不变因子
四、初等因子
§2．6 Jordan标准形的理论推导
一、矩阵的相似性条件
二、Jordan标准形
三、最小多项式
习题二

第三章 范数与极限
§3．1 范数
一、向量范数
二、矩阵范数
三、赋范线性空间
§3．2 矩阵序列与矩阵级数
一、矩阵序列与收敛性
二、矩阵级数
习题三

第四章 矩阵函数与函数矩阵
§4．1 矩阵函数
一、矩阵多项式
二、矩阵函数的解析定义
三、矩阵函数的一般定义
§4．2 函数矩阵及其导数
一、函数矩阵
二、函数矩阵的导数
三、函数矩阵的二阶导数与Hessian矩阵
习题四

第五章 矩阵分解
§5．1 约化矩阵
一、Gauss矩阵
二、Householder矩阵
三、Givens矩阵
§5．2 三角分解
一、LU分解
二、平方根分解
§5．3 QR分解
§5．4 Schur分解
§5．5 奇异值分解
§5．6 其他分解
习题五

第六章 一些特殊矩阵
§6．1 正规矩阵
§6．2 Hermite矩阵
一、Hermite矩阵
二、Hermite矩阵的特征值极性
§6．3 Hermite正定矩阵
§6．4 不可约矩阵和对角占优矩阵
一、不可约矩阵
二、对角占优矩阵
§6．5 投影矩阵
习题六

第七章非负矩阵
§7．1 非负矩阵及其谱半径性质
§7．2 Perron定理和Frobenius定理
§7．3 随机矩阵与单调矩阵
一、随机矩阵
二、单调矩阵
§7．4 M-矩阵
习题七

第八章Kronecker积与矩阵方程
§8．1 Kronecker积
一、矩阵Kronecker积的定义和基本性质
二、矩阵Kronecker积的特征值
三、矩阵Kronecker积的秩
四、矩阵Kronecker积的幂
§8．2 矩阵方程
一、矩阵的向量化
二、线性矩阵方程
§8．3 矩阵方程AX+XB=C
一、Sylvester方程
二、Sylvester方程解的形式
三、Lyapunoy方程简介
§8．4 求解矩阵方程的数值解法
一、中小规模Sylvester方程的数值解法
二、Sylvester方程系数矩阵A为大规模矩阵，B为小矩阵
三、Sylvester方程系数矩阵A，B均为大规模矩阵
习题八

第九章最小二乘问题
§9．1 最小二乘问题的基本性质
一、最小二乘问题的基本概念
二、最小二乘问题的数学性质
§9．2 满秩矩阵的最小二乘问题
一、法方程（Normal equation）
二、曲线拟合问题
三、基于Cholesky分解求解的最小二乘解
四、基于QR分解求解的最小二乘解
五、奇异值分解方法
§9．3 秩显分解和秩亏最小二乘问题
一、带列选主元的QR分解
二、数值秩显分解
三、秩亏最小二乘问题
§9．4 广义逆矩阵
一、广义逆矩阵
二、广义逆的应用
习题九

附录一 元多项式
一、一元多项式及其基本运算
二、整除
三、最大公因式
四、多项式函数

参考文献

前言/序言

　　上海财经大学于2000年设立应用数学系，2001年开始招收本科生，2005年获得应用数学专业硕士点授予权。作为该专业的基础必修课，从2007年起开设《矩阵论》课程，由编者担任主讲教师。
　　传统意义上《矩阵论》更多地在理工科类学校开设。作为财经类学校，授予学生《矩阵论》中的哪些内容，讲到何种程度，一直是我们思考的问题。前几年，我们主要通过编写讲义给学生们授课，其中一些内容主要参阅了[4，3，7]（见“参考文献”）中的有关章节作为讲课线索，而在非负矩阵和最小二乘问题方面我们讲了比较多的内容，这主要是考虑到在财经类院校的数量经济、统计学（多元统计）等领域用到了许多这方面的知识。2015年底，我们申请到上海财经大学《矩阵论》精品课程建设项目。借此机会，我们把编写出版一本《矩阵论》教材作为该项目的一项主要工作。
　　基于前几年的授课讲义，我们重新整理补充了一些内容，以成完整系统。本书共分九章，前七章和附录由顾桂定编写，后两章由张振宇编写。第一章和第二章介绍线性空间与内积空间、线性变换与矩阵的Jordan标准形，这部分内容属于《高等代数》中的知识，主要是为非数学专业毕业的学生准备。第三章介绍范数与极限，这是矩阵分析运算中所要用到的工具。第四章介绍矩阵函数与函数矩阵，通过矩阵多项式的概念与性质引进了矩阵函数的定义。第五章介绍矩阵分解，主要有三角分解、QR分解、Schur分解和奇异值分解。第六章介绍一些特殊矩阵，包括正规矩阵、Hermite矩阵及其正定矩阵、不可约矩阵和投影矩阵。第七章介绍非负矩阵，包括M-矩阵理论。第八章和第九章分别介绍矩阵方程和最小二乘问题。考虑到一些内容涉及多项式的性质，我们在附录里简述了一元多项式的有关概念和性质。此外，每一章都配备一些习题。
　　感谢上海财经大学研究生院以及数学学院对本书出版给予的支持，感谢上海财经大学出版社刘光本编辑为本书出版付出的辛勤劳动。本书的出版也得到了国家自然基金项目（No.11371105，No.11671246）的资助，在此一并表示感谢。由于编者水平有限，书中不妥之处敬请读者指正。

好的，这是一份关于《矩阵论》的图书简介，内容经过精心组织和撰写，力求详实、专业，并避免任何人工智能痕迹： --- 《线性代数基础与应用：向量空间、特征值与矩阵分解》 图书简介 一、本书概述与定位 本书《线性代数基础与应用：向量空间、特征值与矩阵分解》旨在为读者提供一套严谨、全面且具有高度应用价值的线性代数知识体系。线性代数作为现代数学的基石之一，其核心思想贯穿于纯数学、应用数学、物理学、计算机科学、工程技术及经济金融等多个领域。本书的编写不以罗列繁复的定理为目的，而是着重于构建清晰的几何直觉和扎实的代数运算能力，引导读者深刻理解矩阵、向量、线性映射之间的内在联系。 本书的定位是作为一本面向理工科本科生、研究生入门或进阶学习的教材，同时也是相关领域研究人员和工程师在工作中需要回顾和深入理解线性代数理论时的重要参考书。我们力求在保持理论深度的同时，注重概念的清晰阐释和例证的典型性，确保读者能够平稳地从初次接触线性代数的阶段，过渡到能够熟练运用矩阵工具解决实际问题的能力。 二、核心内容结构与章节要点 本书内容按逻辑顺序精心组织，共分为十二章，从最基本的元素出发，逐步深入到高级的矩阵分解理论。 第一部分：基础代数结构与向量空间 第1章：数域、向量与线性组合 本章是全书的起点，奠定后续所有理论的基石。我们详细讨论了实数域 $mathbb{R}$ 和复数域 $mathbb{C}$ 上的运算规则，引入向量这一基本概念，并定义了线性组合、线性相关性与线性无关性。通过直观的几何解释，帮助读者理解向量空间的基本构型。 第2章：向量空间与子空间 本章正式引入“向量空间”这一抽象代数结构。重点阐述向量空间的公理体系，并严格区分子空间（Subspace）的判定条件。我们详细讨论了由一组向量生成的子空间（生成集 Span），并引出至关重要的概念：基（Basis）与维度（Dimension）。维度概念的引入，使得对空间大小的量化描述成为可能。 第3章：线性映射与矩阵表示 线性映射（Linear Transformation）是连接不同向量空间的桥梁。本章将线性映射的代数性质（如保持加法和标量乘法）与几何意义紧密结合。核心内容在于证明任何线性映射都可以被唯一地表示为矩阵，并探讨了矩阵乘法背后的几何意义，包括复合变换和逆变换的性质。 第4章：矩阵的运算、秩与逆矩阵 本章深入探讨矩阵代数，包括加法、数乘、乘法、转置和迹。我们详细分析了矩阵乘法的非交换性所带来的挑战与机遇。随后，引入“矩阵的秩”（Rank）这一关键指标，它决定了线性方程组解的存在性和唯一性。对可逆矩阵（方阵的性质）的判别准则进行了详尽的讨论。 第二部分：线性方程组的求解与结构 第5章：线性方程组的求解 本章聚焦于实际应用的核心问题：求解形如 $Amathbf{x} = mathbf{b}$ 的线性方程组。我们系统介绍了高斯消元法（Gaussian Elimination）和行阶梯形（Row Echelon Form）的计算过程，并探讨了矩阵初等行变换与矩阵等价性的关系。通过求解过程，自然引出零空间（Null Space）和列空间（Column Space）的实际意义。 第6章：直接法与迭代法概述 在求解大型稀疏矩阵系统时，直接求解法（如 LU 分解）的效率会受限。本章对直接法（如 LU 分解、Cholesky 分解的初步介绍）进行了概述，并简要引入了迭代法（如雅可比法、高斯-赛德尔法）的迭代思想，为后续更复杂的数值方法打下基础。 第三部分：特征值、特征向量与相似性 第7章：特征值与特征向量 本章是理论深入的关键一步。我们定义了特征值（Eigenvalue）和特征向量（Eigenvector），它们揭示了线性变换对特定向量的“拉伸”或“压缩”行为，而方向保持不变。本章详细介绍了如何通过计算特征多项式 $det(A - lambda I) = 0$ 来求解特征值。 第8章：对角化理论 对角化是线性代数中最强大的工具之一，它极大地简化了矩阵的幂运算和高阶导数的计算。本章探讨了矩阵可对角化的充要条件，即代数重数与几何重数的关系。我们不仅关注实对称矩阵的特殊性质，还讨论了非对角化矩阵（涉及 Jordan 标准形）的情况。 第9章：相似性、不变子空间与 Jordan 标准形 本章将讨论矩阵的更深层次的结构。我们引入了相似矩阵的概念，理解它们在不同基下的表现。本章深入分析了矩阵的 Jordan 标准形（Jordan Canonical Form），它是任意方阵在复数域上（或特定条件下）最简化的表示形式，对于理解矩阵函数和微分方程解至关重要。 第四部分：度量、正交性与矩阵分解 第10章：内积空间与正交性 本章将向量空间提升到拥有度量（距离和角度）的内积空间（Inner Product Space）。我们定义了内积、范数（Norm），并重点研究了正交性（Orthogonality）。正交基和标准正交基（Orthonormal Basis）的引入，使得坐标变换和投影运算变得极其简洁高效。 第11章：正交分解与最小二乘法 基于正交性，本章系统介绍了 Gram-Schmidt 正交化过程。这是构造正交基的标准算法。随后，我们利用投影定理解决了线性方程组无解时的“最佳近似解”问题，即最小二乘法（Least Squares Method）。 第12章：重要矩阵分解 本章汇集了最具实用价值的矩阵分解技术： 1. QR 分解 (QR Factorization)： 通过 Gram-Schmidt 过程实现，是数值计算中求解特征值问题和最小二乘问题的核心。 2. 奇异值分解 (Singular Value Decomposition, SVD)： 这是最普适的分解形式，适用于任何 $m imes n$ 矩阵。SVD 不仅提供了矩阵的“几何形状”的完整描述，也是数据压缩、主成分分析（PCA）等现代数据科学技术的基础。 三、本书的特色与优势 1. 理论与直觉并重： 每引入一个抽象概念（如子空间、线性映射），都配有丰富的几何图示和具体的数值例子，确保读者能够建立清晰的感性认识。 2. 严格的数学推导： 重要的定理均给出完整的、逻辑清晰的证明过程，满足了数学专业学生对理论深度的要求。 3. 应用驱动的章节设计： 章节顺序紧密围绕解决实际问题展开，如从方程求解自然过渡到矩阵分解，使学习目标明确。 4. 聚焦核心概念： 大量篇幅用于阐释特征值、SVD、正交性等最核心、最常被误解的概念，而非分散在不重要的细节上。 通过对本书的学习，读者将不仅掌握线性代数的运算技巧，更能深刻理解其背后的数学结构，为后续学习高等数学、数值分析、统计学和机器学习打下坚实的基础。

评分☆☆☆☆☆

我是一名计算机科学专业的学生，在学习线性代数和数值分析时，总是觉得对矩阵的理解不够深入，很多算法背后的数学原理也模模糊糊。当我无意间翻到这本《矩阵论》时，简直像发现了新大陆！这本书的讲解方式非常系统，从最基础的矩阵定义、运算，到特征值、特征向量这些核心概念，再到各种矩阵分解（如SVD、QR分解）的应用，都梳理得非常清晰。特别是对那些抽象的数学定理，作者总是能用通俗易懂的语言和直观的例子来解释，让我这个数学基础不算特别扎实的读者也能逐步理解。它不像教科书那样死板，而是更像一位经验丰富的老师，循循善诱，让我对矩阵这个“大家伙”有了前所未有的认识。我尤其喜欢书中关于矩阵在不同领域应用的章节，比如在图像处理、机器学习和数据科学中的实际案例，这让我看到了理论知识的强大生命力，也激发了我进一步深入学习的兴趣。读这本书的感觉，就像是在攀登一座巍峨的山峰，每一步都走得很踏实，每一次登高都能看到更壮丽的风景。

评分☆☆☆☆☆

最近我正在准备参加一项重要的数学竞赛，其中有一部分的考察内容涉及到了高等代数和矩阵理论。时间紧迫，我需要一本能够快速帮我梳理知识体系、提炼重点、并巩固解题技巧的书籍。这本《矩阵论》的出世，无疑为我解决了燃眉之急。它对每一个知识点都进行了精炼的概括，并配以大量的例题，这些例题的难度和类型都非常贴合竞赛的要求，涵盖了从基础运算到复杂证明的各种题型。作者在讲解过程中，常常会指出一些易错点和解题的“捷径”，这些经验性的指导对于我在短时间内提升解题能力非常有帮助。我反复研读其中的例题和解析，并且尝试自己动手去解决书中给出的习题，感觉自己的解题思路变得更加开阔，逻辑也更加严谨。这本书为我在这场竞赛中打下了坚实的基础，我对此深感满意。

评分☆☆☆☆☆

作为一名资深的金融建模师，我深知矩阵在量化金融中的核心地位。从投资组合的构建、风险管理到衍生品定价，几乎所有的金融模型都离不开矩阵的运算和分析。然而，传统的金融数学书籍往往在矩阵理论的部分讲解得不够深入，或者过于侧重理论而忽略了实际应用。这本《矩阵论》则完全不同，它不仅提供了扎实的理论基础，更重要的是，它非常契合金融领域的实际需求。书中关于矩阵奇异值分解（SVD）在因子分析和降维中的应用、马尔可夫链的转移矩阵在资产价格建模中的作用，以及协方差矩阵在风险度量中的重要性等内容，都给了我深刻的启示。作者还特别强调了数值稳定性和计算效率，这对于处理海量的金融数据和进行实时交易决策至关重要。通过阅读这本书，我感觉自己对金融建模的底层数学原理有了更深刻的理解，也为我开发更先进的量化策略提供了新的思路和工具。

评分☆☆☆☆☆

我是一名对数学充满好奇心的业余爱好者，一直以来都对“矩阵”这个概念感到好奇，但苦于市面上的一些书籍要么过于学术化，要么过于浅显，很难找到一本既能满足我的求知欲，又能让我有所收获的书。直到我遇到了《矩阵论》，这本书简直是为我量身定制的！作者的文笔非常优美，语言生动形象，即使是那些复杂的数学公式，在他的笔下也变得不再那么枯燥。他擅长用类比和故事来解释抽象的概念，比如将矩阵比作一个“数据变换器”，将特征值和特征向量看作是“系统的基本模式”，这些生动的描述让我一下子就抓住了问题的核心。读这本书的过程，对我来说就像是一次愉快的智力冒险，我不仅学到了丰富的矩阵知识，更重要的是，培养了我对数学的更深层的好感和兴趣。我已经迫不及待地想将学到的知识应用到我的数据分析项目中了！

评分☆☆☆☆☆

作为一名应用数学的研究生，我平时接触最多的就是各种模型和算法，而矩阵无疑是构建这些模型和算法的基石。在我的研究过程中，我经常会遇到一些棘手的矩阵问题，比如如何高效地求解大型稀疏线性方程组，如何对高维数据进行降维以提取关键信息，以及如何分析数值计算的稳定性和精度。这本《矩阵论》恰恰在这些方面给了我极大的启发。书中对矩阵理论的阐述非常严谨，但同时也兼顾了实际应用的视角，这一点对我来说非常重要。它不仅仅停留在理论的证明，更关注这些理论在实际问题中的体现和应用。我特别欣赏书中对于矩阵范数、条件数以及扰动分析的深入探讨，这对于理解算法的鲁棒性和可靠性至关重要。读完这本书，我感觉自己对如何选择合适的矩阵算法、如何评估算法的性能以及如何优化计算效率有了更深刻的理解，这无疑将极大地提升我的科研效率。