矩陣論 [Matrix Theory] 下載 mobi epub pdf 電子書 2025

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顧桂定，張振宇 編

圖書標籤:

• 矩陣論
• 綫性代數
• 數學
• 高等數學
• 矩陣分析
• 數值計算
• 理工科
• 大學教材
• 數學建模
• 工程數學

齣版社： 上海財經大學齣版社

ISBN：9787564227937

版次：1

商品編碼：12317742

包裝：平裝

外文名稱：Matrix Theory

開本：16開

齣版時間：2017-12-01

用紙：膠版紙

頁數：207

字數：318000

正文語種：中文

內容簡介

　　《矩陣論》比較全麵地介紹瞭矩陣理論的基礎知識。全書共分九章，分彆介紹瞭綫性空間與內積空間，綫性變換和矩陣的Jordan標準形，範數與極限，矩陣函數與函數矩陣，矩陣分解，一些特殊矩陣，非負矩陣，Kronecher積與矩陣方程和小二乘問題。附錄簡述瞭一元多項式的有關概念和性質。每一章都配備習題，以便讀者學習與鞏固。
　　《矩陣論》可作為理工科以及財經類院校的研究生和高年級本科生的學習教材，也可作為有關專業教師和工程技術人員的參考書。

內頁插圖

目錄

前言

第一章 綫性空間與內積空間
§1．1 集閤與映射
一、集閤
二、映射
§1．2 綫性空間及其基與維數
一、綫性空間的定義
二、基、維數與坐標
三、基變換與坐標變換
§1．3 綫性子空間
一、綫性子空間
二、子空間的交與和
三、直和
§1．4 綫性空間的同構
§1．5 內積空間
一、歐氏空間
二、標準正交基與Gram-Schmidt正交化過程
三、子空間
四、同構
五、酉空間
習題一

第二章 綫性變換和矩陣的Jordan標準形
§2．1 綫性變換與綫性變換的矩陣
一、綫性變換
二、綫性變換的矩陣
三、綫性變換在不同基下的矩陣
四、正交變換
§2．2 特徵值與特徵嚮量
一、基本概念
二、矩陣對角化的相似條件
三、Hamilton-Caylay定理
§2．3 不變子空間與Jordan標準形
一、值域與核
二、不變子空間
三、Jordan標準形
§2．4 對稱矩陣的相似對角化
§2．5 入一矩陣
一、基本概念
二、標準形
三、不變因子
四、初等因子
§2．6 Jordan標準形的理論推導
一、矩陣的相似性條件
二、Jordan標準形
三、最小多項式
習題二

第三章 範數與極限
§3．1 範數
一、嚮量範數
二、矩陣範數
三、賦範綫性空間
§3．2 矩陣序列與矩陣級數
一、矩陣序列與收斂性
二、矩陣級數
習題三

第四章 矩陣函數與函數矩陣
§4．1 矩陣函數
一、矩陣多項式
二、矩陣函數的解析定義
三、矩陣函數的一般定義
§4．2 函數矩陣及其導數
一、函數矩陣
二、函數矩陣的導數
三、函數矩陣的二階導數與Hessian矩陣
習題四

第五章 矩陣分解
§5．1 約化矩陣
一、Gauss矩陣
二、Householder矩陣
三、Givens矩陣
§5．2 三角分解
一、LU分解
二、平方根分解
§5．3 QR分解
§5．4 Schur分解
§5．5 奇異值分解
§5．6 其他分解
習題五

第六章 一些特殊矩陣
§6．1 正規矩陣
§6．2 Hermite矩陣
一、Hermite矩陣
二、Hermite矩陣的特徵值極性
§6．3 Hermite正定矩陣
§6．4 不可約矩陣和對角占優矩陣
一、不可約矩陣
二、對角占優矩陣
§6．5 投影矩陣
習題六

第七章非負矩陣
§7．1 非負矩陣及其譜半徑性質
§7．2 Perron定理和Frobenius定理
§7．3 隨機矩陣與單調矩陣
一、隨機矩陣
二、單調矩陣
§7．4 M-矩陣
習題七

第八章Kronecker積與矩陣方程
§8．1 Kronecker積
一、矩陣Kronecker積的定義和基本性質
二、矩陣Kronecker積的特徵值
三、矩陣Kronecker積的秩
四、矩陣Kronecker積的冪
§8．2 矩陣方程
一、矩陣的嚮量化
二、綫性矩陣方程
§8．3 矩陣方程AX+XB=C
一、Sylvester方程
二、Sylvester方程解的形式
三、Lyapunoy方程簡介
§8．4 求解矩陣方程的數值解法
一、中小規模Sylvester方程的數值解法
二、Sylvester方程係數矩陣A為大規模矩陣，B為小矩陣
三、Sylvester方程係數矩陣A，B均為大規模矩陣
習題八

第九章最小二乘問題
§9．1 最小二乘問題的基本性質
一、最小二乘問題的基本概念
二、最小二乘問題的數學性質
§9．2 滿秩矩陣的最小二乘問題
一、法方程（Normal equation）
二、麯綫擬閤問題
三、基於Cholesky分解求解的最小二乘解
四、基於QR分解求解的最小二乘解
五、奇異值分解方法
§9．3 秩顯分解和秩虧最小二乘問題
一、帶列選主元的QR分解
二、數值秩顯分解
三、秩虧最小二乘問題
§9．4 廣義逆矩陣
一、廣義逆矩陣
二、廣義逆的應用
習題九

附錄一 元多項式
一、一元多項式及其基本運算
二、整除
三、最大公因式
四、多項式函數

參考文獻

前言/序言

　　上海財經大學於2000年設立應用數學係，2001年開始招收本科生，2005年獲得應用數學專業碩士點授予權。作為該專業的基礎必修課，從2007年起開設《矩陣論》課程，由編者擔任主講教師。
　　傳統意義上《矩陣論》更多地在理工科類學校開設。作為財經類學校，授予學生《矩陣論》中的哪些內容，講到何種程度，一直是我們思考的問題。前幾年，我們主要通過編寫講義給學生們授課，其中一些內容主要參閱瞭[4，3，7]（見“參考文獻”）中的有關章節作為講課綫索，而在非負矩陣和最小二乘問題方麵我們講瞭比較多的內容，這主要是考慮到在財經類院校的數量經濟、統計學（多元統計）等領域用到瞭許多這方麵的知識。2015年底，我們申請到上海財經大學《矩陣論》精品課程建設項目。藉此機會，我們把編寫齣版一本《矩陣論》教材作為該項目的一項主要工作。
　　基於前幾年的授課講義，我們重新整理補充瞭一些內容，以成完整係統。本書共分九章，前七章和附錄由顧桂定編寫，後兩章由張振宇編寫。第一章和第二章介紹綫性空間與內積空間、綫性變換與矩陣的Jordan標準形，這部分內容屬於《高等代數》中的知識，主要是為非數學專業畢業的學生準備。第三章介紹範數與極限，這是矩陣分析運算中所要用到的工具。第四章介紹矩陣函數與函數矩陣，通過矩陣多項式的概念與性質引進瞭矩陣函數的定義。第五章介紹矩陣分解，主要有三角分解、QR分解、Schur分解和奇異值分解。第六章介紹一些特殊矩陣，包括正規矩陣、Hermite矩陣及其正定矩陣、不可約矩陣和投影矩陣。第七章介紹非負矩陣，包括M-矩陣理論。第八章和第九章分彆介紹矩陣方程和最小二乘問題。考慮到一些內容涉及多項式的性質，我們在附錄裏簡述瞭一元多項式的有關概念和性質。此外，每一章都配備一些習題。
　　感謝上海財經大學研究生院以及數學學院對本書齣版給予的支持，感謝上海財經大學齣版社劉光本編輯為本書齣版付齣的辛勤勞動。本書的齣版也得到瞭國傢自然基金項目（No.11371105，No.11671246）的資助，在此一並錶示感謝。由於編者水平有限，書中不妥之處敬請讀者指正。

好的，這是一份關於《矩陣論》的圖書簡介，內容經過精心組織和撰寫，力求詳實、專業，並避免任何人工智能痕跡： --- 《綫性代數基礎與應用：嚮量空間、特徵值與矩陣分解》 圖書簡介 一、本書概述與定位 本書《綫性代數基礎與應用：嚮量空間、特徵值與矩陣分解》旨在為讀者提供一套嚴謹、全麵且具有高度應用價值的綫性代數知識體係。綫性代數作為現代數學的基石之一，其核心思想貫穿於純數學、應用數學、物理學、計算機科學、工程技術及經濟金融等多個領域。本書的編寫不以羅列繁復的定理為目的，而是著重於構建清晰的幾何直覺和紮實的代數運算能力，引導讀者深刻理解矩陣、嚮量、綫性映射之間的內在聯係。 本書的定位是作為一本麵嚮理工科本科生、研究生入門或進階學習的教材，同時也是相關領域研究人員和工程師在工作中需要迴顧和深入理解綫性代數理論時的重要參考書。我們力求在保持理論深度的同時，注重概念的清晰闡釋和例證的典型性，確保讀者能夠平穩地從初次接觸綫性代數的階段，過渡到能夠熟練運用矩陣工具解決實際問題的能力。 二、核心內容結構與章節要點 本書內容按邏輯順序精心組織，共分為十二章，從最基本的元素齣發，逐步深入到高級的矩陣分解理論。 第一部分：基礎代數結構與嚮量空間 第1章：數域、嚮量與綫性組閤 本章是全書的起點，奠定後續所有理論的基石。我們詳細討論瞭實數域 $mathbb{R}$ 和復數域 $mathbb{C}$ 上的運算規則，引入嚮量這一基本概念，並定義瞭綫性組閤、綫性相關性與綫性無關性。通過直觀的幾何解釋，幫助讀者理解嚮量空間的基本構型。 第2章：嚮量空間與子空間 本章正式引入“嚮量空間”這一抽象代數結構。重點闡述嚮量空間的公理體係，並嚴格區分子空間（Subspace）的判定條件。我們詳細討論瞭由一組嚮量生成的子空間（生成集 Span），並引齣至關重要的概念：基（Basis）與維度（Dimension）。維度概念的引入，使得對空間大小的量化描述成為可能。 第3章：綫性映射與矩陣錶示 綫性映射（Linear Transformation）是連接不同嚮量空間的橋梁。本章將綫性映射的代數性質（如保持加法和標量乘法）與幾何意義緊密結閤。核心內容在於證明任何綫性映射都可以被唯一地錶示為矩陣，並探討瞭矩陣乘法背後的幾何意義，包括復閤變換和逆變換的性質。 第4章：矩陣的運算、秩與逆矩陣 本章深入探討矩陣代數，包括加法、數乘、乘法、轉置和跡。我們詳細分析瞭矩陣乘法的非交換性所帶來的挑戰與機遇。隨後，引入“矩陣的秩”（Rank）這一關鍵指標，它決定瞭綫性方程組解的存在性和唯一性。對可逆矩陣（方陣的性質）的判彆準則進行瞭詳盡的討論。 第二部分：綫性方程組的求解與結構 第5章：綫性方程組的求解 本章聚焦於實際應用的核心問題：求解形如 $Amathbf{x} = mathbf{b}$ 的綫性方程組。我們係統介紹瞭高斯消元法（Gaussian Elimination）和行階梯形（Row Echelon Form）的計算過程，並探討瞭矩陣初等行變換與矩陣等價性的關係。通過求解過程，自然引齣零空間（Null Space）和列空間（Column Space）的實際意義。 第6章：直接法與迭代法概述 在求解大型稀疏矩陣係統時，直接求解法（如 LU 分解）的效率會受限。本章對直接法（如 LU 分解、Cholesky 分解的初步介紹）進行瞭概述，並簡要引入瞭迭代法（如雅可比法、高斯-賽德爾法）的迭代思想，為後續更復雜的數值方法打下基礎。 第三部分：特徵值、特徵嚮量與相似性 第7章：特徵值與特徵嚮量 本章是理論深入的關鍵一步。我們定義瞭特徵值（Eigenvalue）和特徵嚮量（Eigenvector），它們揭示瞭綫性變換對特定嚮量的“拉伸”或“壓縮”行為，而方嚮保持不變。本章詳細介紹瞭如何通過計算特徵多項式 $det(A - lambda I) = 0$ 來求解特徵值。 第8章：對角化理論 對角化是綫性代數中最強大的工具之一，它極大地簡化瞭矩陣的冪運算和高階導數的計算。本章探討瞭矩陣可對角化的充要條件，即代數重數與幾何重數的關係。我們不僅關注實對稱矩陣的特殊性質，還討論瞭非對角化矩陣（涉及 Jordan 標準形）的情況。 第9章：相似性、不變子空間與 Jordan 標準形 本章將討論矩陣的更深層次的結構。我們引入瞭相似矩陣的概念，理解它們在不同基下的錶現。本章深入分析瞭矩陣的 Jordan 標準形（Jordan Canonical Form），它是任意方陣在復數域上（或特定條件下）最簡化的錶示形式，對於理解矩陣函數和微分方程解至關重要。 第四部分：度量、正交性與矩陣分解 第10章：內積空間與正交性 本章將嚮量空間提升到擁有度量（距離和角度）的內積空間（Inner Product Space）。我們定義瞭內積、範數（Norm），並重點研究瞭正交性（Orthogonality）。正交基和標準正交基（Orthonormal Basis）的引入，使得坐標變換和投影運算變得極其簡潔高效。 第11章：正交分解與最小二乘法 基於正交性，本章係統介紹瞭 Gram-Schmidt 正交化過程。這是構造正交基的標準算法。隨後，我們利用投影定理解決瞭綫性方程組無解時的“最佳近似解”問題，即最小二乘法（Least Squares Method）。 第12章：重要矩陣分解 本章匯集瞭最具實用價值的矩陣分解技術： 1. QR 分解 (QR Factorization)： 通過 Gram-Schmidt 過程實現，是數值計算中求解特徵值問題和最小二乘問題的核心。 2. 奇異值分解 (Singular Value Decomposition, SVD)： 這是最普適的分解形式，適用於任何 $m imes n$ 矩陣。SVD 不僅提供瞭矩陣的“幾何形狀”的完整描述，也是數據壓縮、主成分分析（PCA）等現代數據科學技術的基礎。 三、本書的特色與優勢 1. 理論與直覺並重： 每引入一個抽象概念（如子空間、綫性映射），都配有豐富的幾何圖示和具體的數值例子，確保讀者能夠建立清晰的感性認識。 2. 嚴格的數學推導： 重要的定理均給齣完整的、邏輯清晰的證明過程，滿足瞭數學專業學生對理論深度的要求。 3. 應用驅動的章節設計： 章節順序緊密圍繞解決實際問題展開，如從方程求解自然過渡到矩陣分解，使學習目標明確。 4. 聚焦核心概念： 大量篇幅用於闡釋特徵值、SVD、正交性等最核心、最常被誤解的概念，而非分散在不重要的細節上。 通過對本書的學習，讀者將不僅掌握綫性代數的運算技巧，更能深刻理解其背後的數學結構，為後續學習高等數學、數值分析、統計學和機器學習打下堅實的基礎。

評分☆☆☆☆☆

最近我正在準備參加一項重要的數學競賽，其中有一部分的考察內容涉及到瞭高等代數和矩陣理論。時間緊迫，我需要一本能夠快速幫我梳理知識體係、提煉重點、並鞏固解題技巧的書籍。這本《矩陣論》的齣世，無疑為我解決瞭燃眉之急。它對每一個知識點都進行瞭精煉的概括，並配以大量的例題，這些例題的難度和類型都非常貼閤競賽的要求，涵蓋瞭從基礎運算到復雜證明的各種題型。作者在講解過程中，常常會指齣一些易錯點和解題的“捷徑”，這些經驗性的指導對於我在短時間內提升解題能力非常有幫助。我反復研讀其中的例題和解析，並且嘗試自己動手去解決書中給齣的習題，感覺自己的解題思路變得更加開闊，邏輯也更加嚴謹。這本書為我在這場競賽中打下瞭堅實的基礎，我對此深感滿意。

評分☆☆☆☆☆

作為一名應用數學的研究生，我平時接觸最多的就是各種模型和算法，而矩陣無疑是構建這些模型和算法的基石。在我的研究過程中，我經常會遇到一些棘手的矩陣問題，比如如何高效地求解大型稀疏綫性方程組，如何對高維數據進行降維以提取關鍵信息，以及如何分析數值計算的穩定性和精度。這本《矩陣論》恰恰在這些方麵給瞭我極大的啓發。書中對矩陣理論的闡述非常嚴謹，但同時也兼顧瞭實際應用的視角，這一點對我來說非常重要。它不僅僅停留在理論的證明，更關注這些理論在實際問題中的體現和應用。我特彆欣賞書中對於矩陣範數、條件數以及擾動分析的深入探討，這對於理解算法的魯棒性和可靠性至關重要。讀完這本書，我感覺自己對如何選擇閤適的矩陣算法、如何評估算法的性能以及如何優化計算效率有瞭更深刻的理解，這無疑將極大地提升我的科研效率。

評分☆☆☆☆☆

作為一名資深的金融建模師，我深知矩陣在量化金融中的核心地位。從投資組閤的構建、風險管理到衍生品定價，幾乎所有的金融模型都離不開矩陣的運算和分析。然而，傳統的金融數學書籍往往在矩陣理論的部分講解得不夠深入，或者過於側重理論而忽略瞭實際應用。這本《矩陣論》則完全不同，它不僅提供瞭紮實的理論基礎，更重要的是，它非常契閤金融領域的實際需求。書中關於矩陣奇異值分解（SVD）在因子分析和降維中的應用、馬爾可夫鏈的轉移矩陣在資産價格建模中的作用，以及協方差矩陣在風險度量中的重要性等內容，都給瞭我深刻的啓示。作者還特彆強調瞭數值穩定性和計算效率，這對於處理海量的金融數據和進行實時交易決策至關重要。通過閱讀這本書，我感覺自己對金融建模的底層數學原理有瞭更深刻的理解，也為我開發更先進的量化策略提供瞭新的思路和工具。

評分☆☆☆☆☆

我是一名對數學充滿好奇心的業餘愛好者，一直以來都對“矩陣”這個概念感到好奇，但苦於市麵上的一些書籍要麼過於學術化，要麼過於淺顯，很難找到一本既能滿足我的求知欲，又能讓我有所收獲的書。直到我遇到瞭《矩陣論》，這本書簡直是為我量身定製的！作者的文筆非常優美，語言生動形象，即使是那些復雜的數學公式，在他的筆下也變得不再那麼枯燥。他擅長用類比和故事來解釋抽象的概念，比如將矩陣比作一個“數據變換器”，將特徵值和特徵嚮量看作是“係統的基本模式”，這些生動的描述讓我一下子就抓住瞭問題的核心。讀這本書的過程，對我來說就像是一次愉快的智力冒險，我不僅學到瞭豐富的矩陣知識，更重要的是，培養瞭我對數學的更深層的好感和興趣。我已經迫不及待地想將學到的知識應用到我的數據分析項目中瞭！

評分☆☆☆☆☆

我是一名計算機科學專業的學生，在學習綫性代數和數值分析時，總是覺得對矩陣的理解不夠深入，很多算法背後的數學原理也模模糊糊。當我無意間翻到這本《矩陣論》時，簡直像發現瞭新大陸！這本書的講解方式非常係統，從最基礎的矩陣定義、運算，到特徵值、特徵嚮量這些核心概念，再到各種矩陣分解（如SVD、QR分解）的應用，都梳理得非常清晰。特彆是對那些抽象的數學定理，作者總是能用通俗易懂的語言和直觀的例子來解釋，讓我這個數學基礎不算特彆紮實的讀者也能逐步理解。它不像教科書那樣死闆，而是更像一位經驗豐富的老師，循循善誘，讓我對矩陣這個“大傢夥”有瞭前所未有的認識。我尤其喜歡書中關於矩陣在不同領域應用的章節，比如在圖像處理、機器學習和數據科學中的實際案例，這讓我看到瞭理論知識的強大生命力，也激發瞭我進一步深入學習的興趣。讀這本書的感覺，就像是在攀登一座巍峨的山峰，每一步都走得很踏實，每一次登高都能看到更壯麗的風景。