微积分及其应用（中译本） pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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[美] 彼得·拉克斯（Peter Lax），[美] 玛丽亚·特雷尔（Maria Terrell） 著，林开亮等 译

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出版社： 科学出版社

ISBN：9787030569172

版次：31

商品编码：12336104

包装：平装

丛书名： 现代数学译丛

开本：16开

出版时间：2018-03-01

页数：472

字数：593000

正文语种：中文

内容简介

《微积分及其应用（中译本）》是美国著名数学家彼得·拉克斯与康奈尔大学数学教授玛丽亚·特雷尔合著的单变量微积分教材，内容覆盖了一元微积分的基础，包括：数列的极限、函数的连续性、函数的微分、可微函数的基本理论、导数的应用、函数的积分、积分的方法、积分的近似计算，以及微分方程。另有两章介绍复数与概率。《微积分及其应用（中译本）》与拉克斯的另一著名教材《线性代数及其应用》简明清晰、行云流水的风格一致，通过引入许多背景自然的应用实例，两位作者致力于引导读者对微积分这一重要的基础课题获得理解。《微积分及其应用（中译本）》末尾还提供了部分习题的答案。

目录

目录
序言
第1章 数和极限 1
1.1 不等式 1
1.1.1 不等式的法则 3
1.1.2 三角不等式 3
1.1.3 算术-几何平均值不等式 4
问题 7
1.2 实数和最小上界定理 10
1.2.1 实数作为无限小数 10
1.2.2 最小上界定理 12
1.2.3 舍入 14
问题 16
1.3 数列及其极限 17
1.3.1 的近似 20
1.3.2 数列与级数 21
1.3.3 区间套 32
1.3.4 柯西数列 33
问题 35
1.4 数字e 39
问题 42
第2章 函数及其连续性 45
2.1 函数的概念 45
2.1.1 有界函数 48
2.1.2 函数的运算 49
问题 51
2.2 连续性 52
2.2.1 用极限定义函数在一点处的连续性 54
2.2.2 区间上的连续性 57
2.2.3 介值定理与最值定理 58
问题 61
2.3 函数的复合及逆 63
2.3.1 反函数 66
问题 70
2.4 正弦与余弦 71
问题 74
2.5 指数函数 75
2.5.1 放射性衰变 76
2.5.2 细菌繁殖 76
2.5.3 代数定义 77
2.5.4 指数型增长 78
2.5.5 对数 80
问题 84
2.6 函数列及其极限 85
2.6.1 函数列 85
2.6.2 函数项级数 92
2.6.3 函数与 96
问题 101
第3章 导数和微分 105
3.1 导数的概念 105
3.1.1 几何意义 107
3.1.2 可导与连续 110
3.1.3 导数的应用 112
问题 117
3.2 求导法则 119
3.2.1 和、积与商的导数 120
3.2.2 复合函数的导数 124
3.2.3 高阶导数及记号 127
问题 128
3.3 函数ex和lnx的导数 132
3.3.1 函数ex的导数 132
3.3.2 函数lnx的导数 133
3.3.3 幂函数的导数 135
3.3.4 微分方程y'= ky 135
问题 136
3.4 三角函数的导数 138
3.4.1 正弦和余弦函数的导数 138
3.4.2 微分方程y"+y=0 140
3.4.3 反三角函数的导数 142
3.4.4 微分方程y"-y=0 144
问题 146
3.4.5 幂级数的导数 148
问题 151
第4章 可导函数的理论 153
4.1 中值定理 153
4.1.1 一阶导数用于最优化 156
4.1.2 利用微分证明不等式 160
4.1.3 推广的中值定理 162
问题 163
4.2 高阶导数 166
4.2.1 二阶导数检验 170
4.2.2 凸函数 171
问题 173
4.3 泰勒定理 175
4.3.1 泰勒级数的例子 180
问题 185
4.4 逼近导数 186
问题 191
第5章 导数的应用 194
5.1 气压 194
问题 196
5.2 运动定律 196
问题 201
5.3 求函数零点的牛顿法 201
5.3.1 平方根的逼近 203
5.3.2 多项式根的逼近 204
5.3.3 牛顿法的收敛性 206
问题 209
5.4 光的反射和折射 210
问题 215
5.5 数学与经济学 216
问题 219
第6章 积分 221
6.1 积分的例子 221
6.1.1 从速度表确定路程 221
6.1.2 细棒的质量 223
6.1.3 正函数下方图的面积 225
6.1.4 负函数和净总值 227
问题 228
6.2 积分 229
6.2.1 积分的近似 231
6.2.2 积分的存在性 235
6.2.3 积分的进一步的性质 238
问题 241
6.3 微积分基本定理 243
问题 251
6.4 积分的应用 253
6.4.1 体积 253
6.4.2 累积量 255
6.4.3 弧长 256
6.4.4 功 257
问题 259
第7章 积分方法 260
7.1 分部积分 260
7.1.1 带积分形式余项的泰勒公式 264
7.1.2 优化数值近似 266
7.1.3 微分方程的应用 267
7.1.4 π的Wallis乘积公式 267
问题 269
7.2 换元法 271
问题 276
7.3 广义积分 277
问题 290
7.4 积分的其他性质 292
7.4.1 函数列的积分 292
7.4.2 含参变量的积分 295
问题 297
第8章 积分的近似数值计算 298
8.1 近似积分 298
8.1.1 中点法则 300
8.1.2 梯形法则 301
问题 302
8.2 辛普森法则 304
8.2.1 辛普森法则的替代方法 307
问题 309
第9章 复数 310
9.1 复数 310
9.1.1 复数的运算 311
9.1.2 复数的几何 315
问题 320
9.2 复值函数 323
9.2.1 连续性 323
9.2.2 导数 324
9.2.3 复值函数的积分 325
9.2.4 复变量的函数 326
9.2.5 复指数函数 329
问题 332
第10章 微分方程 334
10.1 用微积分描述振动 334
10.1.1 力学系统的振动 334
10.1.2 耗散和能量守恒 338
10.1.3 没有摩擦力时的振动 339
10.1.4 没有摩擦力的线性振动 342
10.1.5 带摩擦力的线性振动 344
10.1.6 外力驱动的线性系统 348
问题 352
10.2 种群动力学 355
10.2.1 微分方程 355
10.2.2 人口增长与涨落 361
10.2.3 两个物种 365
问题 373
10.3 化学反应 374
问题 381
10.4 微分方程的数值求解 382
问题 386
第11章 概率 387
11.1 离散概率 387
问题 396
11.2 信息论：感兴趣的事有多有趣? 397
问题 400
11.3 连续概率 401
问题 409
11.4 误差律 411
问题 419
部分问题的答案 421
术语对照表 448
译后记 454
《现代数学译丛》已出版书目 456

现代数学方法论导论 本书特色与内容概述 本书旨在为读者提供一套全面、深入且实用的现代数学工具箱，重点聚焦于那些在理论物理、工程科学、经济学以及数据科学等领域中扮演核心角色的数学分支。本书的叙述风格力求清晰、严谨而不失直观性，力图在保持数学深度与提高应用性之间找到完美的平衡点。我们相信，真正的数学理解源于对其内在逻辑的掌握和对其外部世界建模能力的深刻洞察。 本书并非仅仅是对传统分析或代数概念的简单重复，而是着重于介绍和系统阐述那些在当代前沿研究中不可或缺的“连接性”数学结构和高级分析技术。全书内容共分为五个主要部分，共计二十章，结构设计上遵循从基础框架到复杂模型的递进路线。 第一部分：线性代数的高级视角与张量分析基础 本部分彻底超越了矩阵运算的初级阶段，深入探讨了抽象向量空间、线性变换的几何意义，以及特征值问题的深层结构。 第一章：向量空间与内积结构 我们从集合论的视角重新审视向量空间，引入了域（Fields）的概念及其对代数结构的影响。重点阐述了完备性在泛函分析中的重要性，并详细讨论了希尔伯特空间（Hilbert Spaces）的结构和傅立叶级数作为其正交基展开的物理意义。 第二章：张量代数与多线性映射 张量被视为多线性函数的推广，是描述物理量（如应力、应变、电磁场）在坐标变换下保持不变性的核心工具。本章详细介绍了张量的定义、指标表示法（协变与反变）、张量积、收缩运算，以及张量场在流形上的微积分基础。通过具体的例子（如惯性张量），展现了张量分析在刚体力学中的应用。 第二章：谱理论与矩阵分解 重点讲解了谱理论，不仅限于对称矩阵，更深入讨论了非对称矩阵的若尔当标准型（Jordan Canonical Form）及其在求解微分方程组中的作用。引入了奇异值分解（SVD），阐述了其在数据压缩、降维（如主成分分析PCA）和伪逆矩阵构造中的不可替代性。 第二部分：实分析与测度论的严谨构建 此部分构筑了现代分析学的坚实基础，为理解概率论和泛函分析的抽象概念做准备。 第三章：集合论与拓扑预备 简要回顾勒贝格积分的必要性，重点介绍拓扑空间的基本概念——开集、闭集、紧致性、连通性，以及度量空间的完备性。强调了拓扑结构如何定义极限和连续性的广义概念。 第四章：勒贝格测度与积分 本书对勒贝格积分的介绍力求严谨而清晰。从外测度开始，构造σ-代数，直至定义勒贝格可测函数和勒贝格积分。深入探讨了积分的收敛定理——单调收敛定理、法图勒引理（Fatou's Lemma）和占优收敛定理，这些定理是概率论和偏微分方程理论的基石。 第五章：$L^p$ 空间与泛函分析的初探 基于测度论，定义了Banach空间中的$L^p$ 空间，并探讨了Hölder不等式和Minkowski不等式。简要介绍了线性泛函和算子，为后续的函数空间分析打下基础。 第三部分：常微分方程的定性分析与稳定性理论 本部分聚焦于超越传统初等积分方法的常微分方程（ODE）处理技巧，特别是针对无法求出解析解的系统。 第六章：一阶微分方程的几何解释 从相空间的视角审视一阶微分方程，讨论了等倾线（Isoclines）和相轨迹的绘制，以及积分曲线的存在性与唯一性定理（Picard-Lindelöf）。 第七章：线性系统与矩阵指数 详细分析线性常微分方程组的解法，特别是使用矩阵指数函数$e^{At}$。讨论了齐次与非齐次方程的解法，以及常系数线性系统的稳定性分类（鞍点、结点、焦点等）。 第八章：非线性系统的稳定性与分支理论 这是现代动力学系统的核心。重点讲解了不动点（平衡点）的线性化分析，即雅可比矩阵的特征值判据。引入了李雅普诺夫（Lyapunov）稳定性概念，并简要介绍了Hopf分支和鞍结分支等初级非线性动力学现象。 第四部分：偏微分方程的经典模型与变分法 本部分处理描述空间和时间演化过程的偏微分方程（PDE），并引入了解决此类问题的强大数学工具——变分法。 第九章：热传导方程（扩散方程） 详细推导了二维和三维热传导方程，并使用分离变量法求解具有简单边界条件（如狄利克雷、诺伊曼）的定解问题。重点讨论了傅立叶级数在边值问题求解中的应用。 第十章：波动方程（波的传播） 分析了弦振动和电磁波传播的偏微分方程。使用达朗贝尔（d'Alembert）公式展示了常微分方程的解法在特定边界条件下的推广。 第十一章：拉普拉斯方程与势论 研究稳态问题的椭圆型方程，特别是其在静电学和流体力学中的应用。讨论了调和函数的性质，如最大值原理。 第十二章：变分法基础 从欧拉-拉格朗日方程的推导出发，介绍了求解泛函极值的基本方法。重点在于理解共轭变量和勒让德变换，为后续的优化问题做准备。 第五部分：概率论的公理化视角与随机过程简介 本部分将概率论置于测度论的框架内，为处理复杂随机现象提供严谨的分析工具。 第十三章：概率测度与随机变量 将概率空间定义为 $(Omega, mathcal{F}, P)$。区分了离散、连续和混合随机变量，并讨论了它们的联合分布函数和边际分布函数。 第十四章：期望、条件期望与鞅论 基于勒贝格积分，严格定义了期望和条件期望。引入了鞅（Martingale）的概念，这是金融数学和信息论中的关键工具，阐述了鞅收敛定理及其意义。 第十五章：随机过程导论 简要介绍了马尔可夫链（Markov Chains）的状态空间和转移概率。对布朗运动（Wiener Process）的性质进行了初步介绍，如其路径的连续性、无穷变差性以及二次变差的确定性。 总结与展望 本书的结构设计旨在构建一座坚实的桥梁，连接初级微积分的直观概念与研究生水平的数学分析和应用技术。通过对张量、测度、稳定性和随机性的深入探讨，读者将掌握分析现代科学问题的必备“语言”。本书适合数学、物理、工程及定量经济学专业的高年级本科生和研究生作为核心教材或参考书，尤其适合希望从计算导向转向理论导向的自学者。

评分☆☆☆☆☆

阅读《微积分及其应用》（中译本）的过程，对我而言，是一场思维的洗礼。这本书的魅力在于它能够将看似复杂的数学原理，用一种非常“接地气”的方式呈现出来。我尤其赞赏作者在引言部分所描绘的微积分“灵魂”——它捕捉变化、量化无穷的能力。这种深刻的洞察力贯穿全书，使得我在学习每一个概念时，都能体会到其背后的数学思想的精妙。书中的插图和图示更是功不可没，它们将抽象的函数图像、变化趋势以及面积、体积等概念形象化，让我能够直观地理解微积分的几何意义。例如，在讲解定积分的概念时，书中通过一系列细分的矩形面积逼近曲线下方区域的过程，让我对“积分”这一概念有了具象的认识，而不再是简单的公式套用。此外，书中在介绍应用时，也挑选了许多贴近生活的场景，比如物理学中的功的计算、工程学中的材料力学问题，甚至还有一些关于生物学模型构建的例子。这些生动的案例，不仅让我看到了微积分的实际价值，也为我日后的学习和工作提供了宝贵的思路。这本书让我对数学的理解上升到了一个新的层面，不再是枯燥的符号，而是鲜活的、解决问题的工具。

评分☆☆☆☆☆

不得不承认，这本《微积分及其应用》（中译本）在我学习数学的道路上扮演了至关重要的角色，它以其独特的叙事方式和深入浅出的讲解，彻底改变了我对微积分的看法。我一直以为微积分是大学才需要接触的高深内容，但这本书从最基础的概念讲起，循序渐进，即使是完全没有接触过微积分的读者，也能找到学习的起点。作者在讲解每一个公式、每一个定理时，都会先从其背后的数学直觉出发，解释“为什么会是这样”，而不是直接抛出结论，这种方式极大地降低了学习门槛，并且能够培养读者独立思考的能力。书中的一些“思考与讨论”环节，更是让我乐在其中，它们鼓励读者去质疑、去探索，甚至去尝试构建自己的数学模型，这极大地提升了我的学习主动性。我还发现，这本书在引导读者建立数学模型方面做得非常出色，它会分析现实世界中的问题，然后逐步将其抽象成数学语言，再运用微积分的工具去求解，最后再将结果解释回现实世界，这种完整的建模过程，让我深刻理解了数学在解决实际问题中的应用逻辑。

评分☆☆☆☆☆

这本《微积分及其应用》（中译本）给我留下了极其深刻的印象，它不仅仅是一本教科书，更像是一位循循善诱的老师，将原本抽象晦涩的微积分概念，以一种极其清晰、直观的方式呈现出来。我尤其欣赏书中对数学思想的深度挖掘，它没有止步于冰冷的公式和定理，而是花大量篇幅去解释这些概念的由来、它们解决的问题以及它们所蕴含的深刻逻辑。每一次翻阅，都感觉像是在进行一场智力探险，在作者的引导下，我得以窥见数学世界的精妙结构。书中大量的例题更是令人叫绝，它们涵盖了从基础的求导、积分到更复杂的应用，每道题都设计得别出心裁，能够充分检验对知识的掌握程度，并且提供了详细的解题步骤和思路分析，让我这种曾经在啃硬骨头时倍感吃力的人，也能一步步攻克难关，找到学习的乐趣和成就感。更重要的是，作者在阐述理论时，总是能巧妙地联系到实际生活中的各种现象，比如物理学中的运动学、工程学中的优化问题，甚至是经济学中的成本分析。这种“学以致用”的教育理念，极大地激发了我学习微积分的动力，让我切实感受到数学并非脱离现实的空中楼阁，而是解决现实世界难题的强大工具。这本书为我打开了理解世界的新视角，让我能够更深入地思考事物发展的规律和内在联系。

评分☆☆☆☆☆

我不得不说，这本《微积分及其应用》（中译本）在理解数学的“为什么”上做得相当出色，这对于我这样总想刨根问底的学习者来说，简直是福音。书中的内容组织并非简单的知识堆砌，而是遵循着一条清晰的逻辑脉络，从最基本的极限概念出发，层层递进，将导数、积分等核心概念一一铺展开来。作者在介绍每个新概念时，都会先回顾与之相关的旧知识，并解释新概念是如何在前者的基础上发展而来，以及它解决了哪些先前无法解决的问题。这种“温故而知新”的学习方式，让我在理解新知识的同时，也巩固了基础，使得整个学习过程连贯而顺畅。而且，书中对定理的证明也处理得恰到好处，既保证了严谨性，又不会过于冗长枯燥，很多证明都配有形象的比喻或几何解释，让抽象的数学语言变得生动起来。我特别喜欢那些“思考题”部分，它们往往提出一些开放性的问题，引导读者去探索微积分在更广泛领域中的潜在应用，这极大地拓展了我的视野，让我意识到微积分的强大力量远不止书本上的那些例子。总的来说，这本书让我从被动接受知识，转变为主动探索和理解，这是一种质的飞跃。

评分☆☆☆☆☆

这本《微积分及其应用》（中译本）给我最直观的感受就是其结构的严谨性和内容的丰富性。在我看来，一本好的数学书籍，不仅要讲清楚“是什么”，更要讲透“怎么做”和“有什么用”。这本书在这几方面都做得非常到位。在讲解每一个章节时，作者都会先清晰地界定本章的学习目标，然后系统地介绍相关概念和理论，并辅以大量的例题进行巩固。这些例题的设计可谓匠心独运，它们不仅覆盖了基础知识的练习，还包含了一些具有挑战性的综合应用题，能够有效地检验读者对知识的掌握程度。我尤其喜欢书中对一些经典数学问题（例如，如何计算不规则图形的面积）的深入剖析，它通过将这些问题分解为无穷小的累加，巧妙地引出了积分的概念，让我在理解数学原理的同时，也体会到了数学的创造性。此外，书中对微积分在各个学科领域的应用介绍，也让我受益匪浅，从物理学中的速度、加速度，到工程学中的曲线拟合、最优化设计，再到经济学中的边际成本、边际收益，都得到了生动的展示。这种跨学科的应用视野，极大地拓展了我的知识面，也让我看到了微积分作为一门基础学科的普适性和重要性。