高中数学竞赛专题讲座：平面几何解题思想与策略 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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过伯祥 著

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• 高中数学
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• 平面几何
• 解题思想
• 解题策略
• 数学辅导
• 学习方法
• 技巧总结
• 思维训练
• 难题攻克

出版社： 浙江大学出版社

ISBN：9787308083874

版次：1

商品编码：10538320

包装：平装

开本：16开

出版时间：2011-02-01

用纸：胶版纸

页数：211

内容简介

　　《高中数学竞赛专题讲座：平面几何解题思想与策略》重视平几题的解法思路的探索发现，非但特辟专章，给予探讨研究，多个例题的“分析”中，也力求有所体现。《高中数学竞赛专题讲座：平面几何解题思想与策略》的“分析”是与众不同的，
　　平面几何新题真是千变万化、变幻无穷的，这也是它被确定为各届奥林匹克竞赛必考的一类试题的一个背景，但在这千变背后不变的要素，就是基本图形，基本结论；种种解法与常用的探索分析方法。

目录

引言 作为中学数学学科之一的“平面几何”的特殊性
第一章 奥林匹克平几的探索分析法
1.1 从最简单的情形入手
1. 从粗略的估计开始，从熟悉的地方开始
2. 从特款（特殊情形）入手
3. 从简单的情形开始
4. 轮换对称性的利用
1.2 充分利用已有信息
1. 从结论逆溯
2. 同时从条件与结论出发，双向夹击互推
3. 量与关系的分析
4. 不断地提出你的问题，以问题引导你的思考与探索的方向
1.3 基本问题与引理的发现
1. 注视基本的东西——分析出基本图形
2. 抓住主要矛盾——关注之点要分清主与次
3. 引理的发现
1.4 “老鼠尾巴”与切入点
1. 形式上的“老鼠尾巴”
2. 数据上的“老鼠尾巴”
3. 方向上的“老鼠尾巴”
4. 任意性的利用——一种切入点
5. 对称性的利用——又一种切人点
1.5 发现题目及解法的本质
1.6 几何试题的来源揭秘
1. A.Engel（德国）关于数学竞赛问题的论述
2. 提出逆命题再引申，类比、扩展加推广
3. 移植转换至异域，陈题改换成新景
4. 追求一种新趣向，达到一个新境界
5. 多角度追索提问，增加解题的层次
第二章 奥林匹克平几中的常用定理——几何基本图形与基本结论之一
2.1 梅涅劳斯定理与塞瓦定理
2.2 三角形的五心
2.3 三角形几何学中的一些常用结论
2.4 西摩松定理与托勒密定理
2.5 圆幂，等幂轴与圆的位似
2.6 圆几何学中的一些常用结论
2.7 平面几何题的错解与几何错题浏览
1. 错解回眸
2. 错题分析
第三章 解奥林匹克平几题的常用方法
3.1 三角法“乙”
3.2 解析法
3.3 四点共圆与角弧法
3.4 比例线段与代数法
3.5 几何蛮椽决
3.6 同一法与反证法
3.7 向量法与复数法
3.8 面积方法，构造法等
第四章 解平几题的其他方法
4.1 仿射变换与用仿射法解平几题
4.2 射影变换与用射影法解平几题
4.3 反演变换与用反演法解平几题
4.4 向量法与复数法的一些拓展
4.5 三角形几何学的新方法与新成果——论共轭点、共线点与一些几何不等式
练习题的提示与参考解答

前言/序言

高中数学竞赛专题讲座：平面几何解题思想与策略 内容简介 本书旨在为广大高中生提供一套系统、深入的平面几何解题思想与策略指导，是备战各类数学竞赛的优秀辅导材料。平面几何作为数学竞赛中的重要组成部分，不仅考察学生扎实的几何基础知识，更考验其逻辑思维能力、空间想象能力以及灵活运用各种解题方法的综合素质。本书紧扣这一目标，从基础概念的梳理到高深技巧的剖析，层层递进，力求帮助读者建立起一套科学、高效的解题体系。 本书结构与特色 本书打破了传统教材按知识点罗列的模式，而是以“解题思想”和“解题策略”为主线，将相关的几何知识点巧妙地融入其中，使读者在学习方法的同时，也巩固了基础知识。全书内容详实，涵盖了平面几何中的核心内容，并辅以大量精心挑选的例题和习题，力求做到理论与实践相结合。 第一部分：平面几何基础与思维启蒙 本部分将从最基础的几何概念入手，但并非简单的复述定义，而是着重于这些概念在解题中的实际意义和应用。 点、线、面、角、三角形、四边形、圆等基本概念的深刻理解： 我们将深入探讨这些基本概念的本质属性，以及它们之间相互关联的方式。例如，在讲解三角形时，不仅仅是介绍边、角关系，更会强调三角形的稳定性、共轭性等在解题中的潜在应用。 公理、定理的思维转化： 重要的不是记住所有定理，而是理解定理的证明思路和其背后蕴含的数学思想。我们将引导读者思考“为什么是这样？”，并学会如何将抽象的定理转化为具体的解题工具。例如，相似三角形的判定与性质，我们会从其几何意义出发，探讨如何通过构造相似三角形来解决一些看似复杂的问题。 几何直观与逻辑推理的融合： 强调数学问题的解决需要直观的想象和严谨的逻辑推理并重。书中将通过大量图形分析，培养读者的空间想象能力，同时也会详细讲解如何将直观的想法转化为严密的数学论证。 从已知到未知： 引导读者养成审题习惯，准确把握已知条件和所求结论，并思考已知条件之间以及已知条件与结论之间的逻辑联系。 第二部分：核心解题思想深度剖析 本部分将聚焦于平面几何中最具影响力的几种解题思想，并进行细致入微的讲解。 化归思想： 这是数学竞赛中最普遍、最核心的思想之一。我们将讲解如何将复杂问题转化为简单问题，将未知问题转化为已知问题。 降维化归： 将立体几何问题转化为平面几何问题，或者将高维问题转化为低维问题。 等价转化： 将待求量转化为等价的已知量，或者将复杂的图形关系转化为简单的图形关系。 特殊化与一般化： 通过研究特殊情况下的解法，来寻找一般情况下的解题思路。 构造法： 许多平面几何问题，尤其是涉及求长度、求角度、证明恒等关系等，往往需要巧妙地构造辅助线或辅助图形。 构造全等三角形： 利用已知条件，通过添加一条或几条辅助线，使得出现全等三角形，从而利用全等三角形的性质解决问题。 构造相似三角形： 类似于构造全等三角形，通过添加辅助线，使得出现相似三角形，从而利用相似三角形的性质解决问题。 构造特殊图形： 例如，构造正方形、矩形、圆、等边三角形等，利用这些特殊图形的性质来简化问题。 构造平行线、垂线： 平行线和垂线在几何问题中扮演着重要角色，它们常常能带来角度、长度上的便利。 构造等腰三角形： 在处理角度问题时，等腰三角形的底角相等性质非常有用。 对称思想： 利用图形的对称性来简化问题。 轴对称： 构造对称图形，利用对称性来简化论证。 中心对称： 利用中心对称的性质，例如对称点到中心的距离相等，对称连线的中点为对称中心等。 运动与变换思想： 将几何图形视为可以运动的整体，通过平移、旋转、翻折等变换来研究图形的性质。 旋转： 发现图形中的旋转对称性，或者通过旋转构造全等三角形。 平移： 将平行的线段或图形进行平移，以便进行比较或构造。 翻折（轴对称）： 利用翻折来使得图形重合，从而证明相等关系。 整体思想： 将图形中的多个部分看作一个整体来考虑。 整体代换： 将多个式子或长度视为一个整体进行代换。 整体分析： 从图形整体的性质出发，来分析局部的关系。 第三部分：精选解题策略与技巧 本部分将聚焦于具体问题的解决策略和常用的几何技巧。 坐标法的应用： 介绍如何利用坐标系来解决几何问题，包括点的坐标表示、直线方程、圆的方程，以及利用向量坐标进行距离、角度、垂直、平行等计算。 向量法的应用： 讲解向量的基本概念、运算以及在几何问题中的应用，例如利用向量的模长表示长度，利用向量的内积表示角度和垂直关系，以及利用向量的线性组合表示点的位置。 三角函数的应用： 探讨如何利用正弦定理、余弦定理以及三角函数的其他性质来解决几何问题，尤其是在涉及长度和角度的计算中。 解析几何技巧： 结合代数方法，例如韦达定理、判别式等，来解决涉及直线与圆、圆与圆等相交问题的几何问题。 面积法： 利用图形的面积关系来解决问题，例如通过计算同一图形的面积的两种不同方式来建立等式。 反证法： 在某些情况下，直接证明困难时，可以考虑反证法，即假设待证明的命题不成立，然后推出矛盾。 分类讨论： 当问题涉及多种可能性时，需要进行分类讨论，确保解题的完备性。 构造比例式与射影定理： 在处理相似三角形相关问题时，如何利用比例式进行转化，以及射影定理在直角三角形中的应用。 第四部分：专题突破与竞赛真题解析 本部分将精选各类数学竞赛中出现的经典平面几何题目，并结合前几部分介绍的解题思想与策略进行深入解析。 圆的综合题： 涉及圆的切线、割线、弦、圆周角、圆心角等性质的综合运用。 三角形的综合题： 涉及三角形的重心、外心、内心、垂心等重要点的性质，以及中线、高线、角平分线等性质的应用。 多边形的综合题： 涉及平行四边形、菱形、矩形、正方形、梯形等特殊四边形的性质，以及一般多边形的内角和、外角和等。 几何不等式与最值问题： 运用几何方法证明不等式，或者求解几何量在一定条件下的最值。 动态几何问题： 随着图形的运动，研究几何量之间的关系变化，以及特殊位置的分析。 如何使用本书 本书内容循序渐进，建议读者按照章节顺序进行学习。在学习每个部分时，务必仔细阅读讲解，理解其中的思想方法，并认真研习例题。对于例题，不要急于看答案，先尝试独立思考，实在困难再参考解析。在完成每个部分的学习后，应认真完成配套的习题，并对照答案进行反思，找出自己的薄弱环节。 结语 平面几何的学习是一个不断探索、不断实践的过程。希望本书能够成为您在平面几何学习道路上的得力助手，帮助您掌握解题的精髓，培养出色的数学思维，在未来的数学竞赛中取得优异的成绩。相信通过系统的学习和不懈的努力，您一定能驾驭平面几何的魅力，享受解题的乐趣。

评分☆☆☆☆☆

作为一名长期关注高中数学竞赛的家长，我一直在寻找一本能够真正帮助孩子提升平面几何解题能力的书籍。《高中数学竞赛专题讲座：平面几何解题思想与策略》这本书，绝对是我的不二之选。我仔细翻阅了内容，发现它最大的特点在于其“思想性”和“策略性”。它不像市面上一些充斥着大量公式和例题的教辅，而是更加注重引导孩子理解几何问题的本质，以及如何运用不同的思维方式去解决问题。书中关于“利用已知条件反推”的章节，让我眼前一亮。它教会孩子如何从题目所给的条件出发，一步步推导出可能存在的结论，而不是被动地等待题目给出线索。这种主动探索式的解题方法，对于培养孩子的独立思考能力非常有益。此外，书中对于“几何变换”在解题中的应用，也有着非常独到的见解。通过对图形的平移、旋转、对称等变换，能够发现隐藏的几何关系，从而简化解题过程。我特别欣赏书中“化归思想”的运用，它教会孩子如何将一个难以直接解决的问题，转化为一个已知的问题，或者一个更简单的问题，从而找到突破口。这本书，不仅为孩子提供了解决平面几何问题的“方法论”，更重要的是，它激发了孩子对数学的兴趣和探索精神。

评分☆☆☆☆☆

我是一名对数学竞赛充满热情的高中生，在接触《高中数学竞赛专题讲座：平面几何解题思想与策略》之前，我对平面几何的理解可以说是一知半解，遇到稍微复杂一点的题目就显得力不从心。这本书的出现，无疑是我数学学习旅途中的一个重要里程碑。它并没有给我提供现成的“答案”，而是教会了我如何去“找答案”。我非常欣赏作者在讲解不同几何专题时的切入点，他总是能从最基本的概念出发，然后逐步引导读者去发现更深层次的规律和技巧。例如，在讲解“三角形内切圆与外接圆”的性质时，他不是简单地给出公式，而是通过对图形的细致分析，展示了如何通过“点线面”的转化，将复杂的计算转化为简单的几何关系。更让我惊喜的是，书中还涉及了一些关于“共点”、“共线”等问题的证明思路，这对于解决一些看起来非常规的题目非常有帮助。我特别喜欢书中“化繁为简”的解题策略，它教会我如何通过引入适当的辅助元素，将一个复杂的问题分解成若干个更易于处理的小问题，从而层层递进，最终找到问题的答案。阅读这本书，我感觉自己的几何思维能力得到了质的飞跃。

评分☆☆☆☆☆

坦白说，《高中数学竞赛专题讲座：平面几何解题思想与策略》这本书，在众多数学辅导书中，显得尤为独特和珍贵。它不像一些教材那样，上来就堆砌复杂的公式和证明，而是非常有意识地引导读者去思考“为什么”和“怎么做”。我曾一度认为平面几何的解题就是一套固定的流程，但这本书彻底颠覆了我的认知。它让我明白，很多时候，解题的关键在于观察、分析和联想，以及如何灵活运用各种几何工具。书中关于“角平分线与中线性质的综合运用”的章节，令我印象深刻。作者通过对几个典型例题的拆解，层层深入地分析了如何根据题目中给出的已知条件，逐步构建出解题的逻辑链条，并在其中巧妙地融入了多种几何定理。让我觉得特别受用的是，书中提到了“类比法”在几何猜想中的作用，虽然这并非直接的解题技巧，但对于培养几何直觉和发现隐藏的性质非常有帮助。此外，书中还花了相当大的篇幅来讨论“图形的动态分析”，比如当图形中的某些元素发生变化时，结论是否依然成立，以及如何通过分析这些变化来找到不变的性质，这对于处理一些参数化的题目非常有启发。总的来说，这本书不仅教会了我如何解题，更重要的是，它培养了我独立思考和探索几何问题的能力。

评分☆☆☆☆☆

这本书简直是为我量身打造的！我一直对平面几何的证明题感到头疼，总觉得解题思路飘忽不定，即使掌握了一些基本定理，遇到复杂的题目也束手无策。这本《高中数学竞赛专题讲座：平面几何解题思想与策略》就像一盏明灯，照亮了我前行的道路。它没有直接罗列大量的习题和公式，而是着重于讲解解题背后的“思想”和“策略”。作者用非常生动形象的比喻，将抽象的几何概念具象化，比如在讲解相似三角形的运用时，不是简单地给出判定定理，而是深入剖析了如何通过“放大缩小”、“旋转平移”等直观的手段来找到相似的图形。更让我惊喜的是，书中对于一些经典几何题的解法，并非只有一种标准答案，而是展示了多种不同的思路，从不同角度去分析问题，这让我意识到，数学解题并非死板的套用，而是充满创造力的过程。我特别喜欢其中关于“构造法”的章节，它教会我如何在看似无关的图形中巧妙地添加辅助线，从而打开解题的突破口。以前总觉得辅助线是凭空出现的，看完这部分内容，才明白原来辅助线的添加是有章可循，背后蕴含着深刻的几何直觉。总而言之，这本书极大地提升了我对平面几何的理解深度和解题的信心，绝对是备赛高中数学竞赛必备的宝藏。

评分☆☆☆☆☆

这本《高中数学竞赛专题讲座：平面几何解题思想与策略》的出现，无疑是一场及时雨，正当我为如何系统性地提升平面几何解题能力而苦恼时，它便如期而至。我原本以为会是一本枯燥乏味的定理汇编或者习题集，但事实证明，我的担忧是多余的。这本书最大的亮点在于它独辟蹊径，将重点放在了“解题思想”和“策略”上，这恰恰是我最需要的部分。作者通过大量的实例，深入浅出地阐述了多种经典的几何解题思路，例如，在讲解“燕尾定理”的应用时，他不仅给出了定理的证明，更重要的是，分析了在什么样的情况下可以联想到使用燕尾定理，以及如何通过对图形的分析来“发现”符合燕尾定理的条件。这种“点拨式”的教学方式，比单纯的知识灌输更为有效。书中对于“旋转不变性”、“对称性”等抽象概念的讲解，也运用了非常巧妙的图示和类比，让我能够更直观地理解这些概念在解题中的妙用。我尤其赞赏书中关于“反证法”在几何证明中的应用分析，这是一种我之前很少接触到的解题思路，在这本书的引导下，我开始尝试运用反证法来解决一些看似难以直接证明的问题，并取得了意想不到的效果。阅读这本书的过程，就像是在与一位经验丰富的几何大师对话，学习他深厚的解题功力。

评分☆☆☆☆☆

从最简单的情形入手

评分☆☆☆☆☆

我们本着为数学竞赛的普及、提高做点有益事情的愿望，在全国范围内组织一批长期从事数学竞赛且作出杰出成绩的一线专家编写了一套"高中数学竞赛专题讲座丛书"。丛书包括《初等数论》、《函数与函数方程》、《复数与多项式》、《不等式》、《组合问题》、《排列组合与概率》、《数列与归纳法》、《集合与简易逻辑》、《三角函数》、《立体几何》、《平面几何》、《解析几何》和《数学结构思想及解题方法》13种。

评分☆☆☆☆☆

1f.

评分☆☆☆☆☆

东西不错，便宜实惠方便

评分☆☆☆☆☆

东西不错，便宜实惠方便

评分☆☆☆☆☆

数学解题的思维过程是指从理解问题开始，从经过探索思路，转换问题直

评分☆☆☆☆☆

竞赛用书，不错

评分☆☆☆☆☆

圆幂S，等幂S轴与圆的位似U

评分☆☆☆☆☆

5.