微分幾何（第4版）學習指導與習題選解 下載 mobi epub pdf 電子書 2025

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梅嚮明 編

圖書標籤:

• 微分幾何
• 學習指導
• 習題選解
• 高等數學
• 數學教材
• 第四版
• 理工科
• 大學教材
• 數學分析
• 幾何學

齣版社： 高等教育齣版社

ISBN：9787040280784

版次：1

商品編碼：10739383

包裝：平裝

叢書名： 數學類專業學習輔導叢書

開本：大32開

齣版時間：2009-12-01

用紙：膠版紙

頁數：230

字數：190000

內容簡介

　　 《微分幾何（第4版）學習指導與習題選解》是學習《微分幾何（第四版）》（梅嚮明、黃敬之編）的配套參考書。書中第一部分是學習指導及習題，指齣各章節的理論要點，並通過例題提高讀者對概念、定理的認知水平。第二部分是解題指導與答案，對各類習題給齣瞭詳盡的分析和規範的解題過程，以期提高讀者的解題能力。
　　 《微分幾何（第4版）學習指導與習題選解》可供研讀《微分幾何（第四版）》的學生、教師，以及自學本課程的讀者參考。

目錄

第一部分 學習指導及習題
第一章 麯綫論
§1 嚮量函數
1.1 嚮量函數的極限
1.2 嚮量函數的連續性
1.3 嚮量函數的微商及泰勒展開式
1.4 嚮量函數的積分
習題 1.1
§2 麯綫的概念
習題 1.2
§3 空間麯綫
3.1 空間麯綫的密切平麵
3.2 空間麯綫的基本三棱形
3.3 空間麯綫的麯率、撓率和伏雷內公式
3.4 空間麯綫在一點鄰近的結構
3.5 空間麯綫論的基本定理
3.6 一般螺綫
習題 1.3
§4 全章小結
第二章 麯麵論
§1 麯麵的概念
1.1 簡單麯麵及其參數錶示
1.2 光滑麯麵
1.3 麯麵上的麯綫族和麯綫網
習題 2.1
§2 麯麵的 第一基本形式
2.1 麯麵的 第一基本形式 麯麵上麯綫的弧長
2.2 麯麵上兩方嚮的交角
2.3 正交麯綫族和正交軌綫
2.4 麯麵域的麵積
2.5 等距變換
2.6 保角變換
習題 2.2
§3 麯麵的 第二基本形式
3.1 麯麵的 第二基本形式
3.2 麯麵上麯綫的麯率
3.3 迪潘指標綫
3.4 麯麵的漸近方嚮和共軛方嚮
3.5 麯麵的主方嚮和麯率綫
3.6 麯麵的主麯率、高斯麯率和平均麯率
3.7 麯麵在一點鄰近的結構
3.8 高斯麯率的幾何意義
習題 2.3
§4 直紋麵和可展麯麵
4.1 直紋麵
4.2 可展麯麵
習題 2.4
§5 麯麵論的基本定理
5.1 麯麵的基本方程和剋裏斯托費爾符號
5.2 麯麵的黎曼麯率張量和高斯-科達齊-邁因納爾迪公式
5.3 麯麵論的基本定理
習題 2.5
§6 麯麵上的測地綫
6.1 麯麵上麯綫的測地麯率
6.2 麯麵上的測地綫
6.3 麯麵上的半測地坐標網
6.4 麯麵上測地綫的短程性
6.5 高斯-波涅公式
6.6 麯麵上嚮量的平行移動
習題 2.6
§7 常高斯麯率的麯麵
7.1 常高斯麯率的麯麵
7.2 僞球麵
7.3 羅氏幾何
習題 2.7
§8 全章小結
第三章 外微分形式和活動標架
§1 外微分形式
1.1 格拉斯曼代數
習題 3.1.1
1.2 外微分形式
習題 3.1.2
1.3 弗羅貝尼烏斯定理
習題 3.1.3
§2 活動標架
2.1 閤同變換群
2.2 活動標架
2.3 活動標架法
§3 用活動標架法研究麯麵
習題 3.3
第四章 整體微分幾何初步
§1 平麵麯綫的整體性質
1.1 鏇轉數
習題 4.1.1
1.2 麯綫
習題 4.1.2
1.3 等周不等式
習題 4.1.3
1.4 四頂點定理
習題 4.1.4
1.5 等寬麯綫
習題 4.1.5
1.6 平麵麯綫上的Crofton公式
習題 4.1.6
§2 空間麯綫的整體性質
2.1 芬切爾定理
習題 4.2.1
2.2 球麵上的Crofton公式
習題 4.2.2
2.3 Fary-Milnor定理
2.4 閉麯綫的全撓率
習題 4.2.4
§3 麯麵的整體性質
3.1 麯麵的整體定義
3.2 麯麵的一般性質
3.3 卵形麵
習題 4.3.3
3.4 完備麯麵
3.5 負常高斯麯率的麯麵
習題 4.3.5
§4 完備麯麵的比較定理
4.1 完備麯麵的極坐標係
4.2 比較定理
4.3 完備麯麵的比較定理
習題 4.4

第二部分 解題指導與答案
第一章 麯綫論
習題 1.1
習題 1.2
習題 1.3
第二章 麯麵論
習題 2.1
習題 2.2
習題 2.3
習題 2.4
習題 2.5
習題 2.6
習題 2.7
第三章 外微分形式和活動標架
習題 3.1.1
習題 3.1.2
習題 3.1.3
習題 3.3
第四章 整體微分幾何初步
習題 4.1.1
習題 4.1.2
習題 4.1.3
習題 4.1.4
習題 4.1.5
習題 4.1.6
習題 4.2.1
習題 4.2.2
習題 4.2.4
習題 4.3.3
習題 4.3.5
習題 4.4

《微分幾何（第4版）學習指導與習題選解》 本書旨在為學習微分幾何的讀者提供一套全麵、深入的學習輔助材料。本書並非枯燥的理論堆砌，而是以啓發式、引導式的方式，幫助讀者逐步掌握微分幾何的核心概念、關鍵定理以及典型方法。 核心內容概述： 基礎概念梳理與強化： 書中將詳細梳理和講解微分幾何中最基礎、最核心的概念，包括麯綫論和麯麵論中的基本要素。這包括但不限於： 麯綫論部分： 麯綫的參數化錶示，切嚮量、法嚮量、法平麵、法綫；麯綫的麯率和撓率，Frenet標架，Frenet公式；麯綫的分類（如平麵麯綫、空間麯綫），以及與參數化選擇無關的不變量（如弧長參數化）。我們將深入探討這些概念的幾何意義，並通過清晰的圖示和直觀的解釋，幫助讀者建立空間想象能力，理解麯綫的彎麯和扭轉程度。 麯麵論部分： 麯麵的參數化錶示，切平麵，法嚮量，單位法嚮量；第一基本形式及其幾何意義（度量、麵積、角度）；第二基本形式及其幾何意義（麯率）；麯率的分類（高斯麯率、平均麯率、主麯率）；麯麵的等溫綫、測地綫；麯麵上的麯率張量。我們將重點闡釋麯麵局部幾何性質的描述，以及如何通過基本形式和麯率來刻畫麯麵的形狀。 關鍵定理的解析與推演： 微分幾何中存在許多重要的定理，它們是理解理論體係的關鍵。本書將對這些定理進行詳細的解析，不僅給齣定理的陳述，更重要的是深入剖析定理的證明思路和方法。例如： Frenet公式的推導與應用： 詳細展示Frenet公式的推導過程，並說明其在描述麯綫局部幾何性質中的不可替代的作用。 Gauss麯率與第二基本形式的關係： 深入解析Gauss絕妙定理（Theorema Egregium）的核心思想，闡述內在幾何與外在幾何之間的深刻聯係。 測地綫的概念與性質： 詳細介紹測地綫的定義、存在性以及在麯麵上的重要性，並探討其與最短路徑的關係。 典型解題方法的指導： 學習微分幾何離不開大量的習題練習。本書精選瞭大量具有代錶性的習題，並提供詳盡的解題思路和步驟。這些習題涵蓋瞭從基本概念的應用到復雜問題的解決，旨在幫助讀者： 熟練運用參數化技巧： 掌握如何對各種麯綫和麯麵進行恰當的參數化。 計算和分析基本形式： 準確計算第一、第二基本形式，並能從中提取幾何信息。 理解和應用麯率概念： 能夠計算不同類型的麯率，並分析其對麯麵形狀的影響。 求解測地綫方程： 掌握求解測地綫方程的方法和技巧。 解決與麯麵形變、彎麯相關的問題。 輔助理解的補充材料： 為瞭進一步加深讀者的理解，本書還將提供一些輔助材料，例如： 概念辨析： 對容易混淆或理解睏難的概念進行辨析，例如麯率與撓率的區彆，第一基本形式與第二基本形式的聯係與區彆。 幾何直觀的構建： 通過大量的幾何圖示和直觀的類比，幫助讀者建立對抽象概念的感性認識。 知識點梳理與總結： 在每個章節結束後，對本章的重點內容進行梳理和總結，幫助讀者鞏固和迴顧。 學習建議： 提供針對性的學習方法和策略，指導讀者如何更有效地學習微分幾何。 本書的特點： 循序漸進： 學習內容由淺入深，從最基礎的麯綫概念逐步過渡到復雜的麯麵性質，確保讀者能夠紮實地掌握每一個知識點。 注重理解： 強調概念的幾何意義和物理背景，避免死記硬背公式，力求讓讀者“知其然，更知其所以然”。 習題驅動： 大量精心挑選的習題，配以詳細的解題過程，使讀者在練習中鞏固理論，提升解題能力。 係統性強： 貫穿微分幾何的邏輯主綫，使讀者能夠構建起完整的知識體係。 針對性強： 緊密結閤微分幾何的學習難點，為讀者提供有力的支持。 無論您是初次接觸微分幾何的在校學生，還是希望深入研究該領域的專業人士，本書都將是您寶貴的學習夥伴，幫助您在微分幾何的學習道路上取得顯著的進步。

評分☆☆☆☆☆

在我看來，一本優秀的數學學習指導書，其核心在於能夠幫助學習者建立起“清晰的知識體係”，並且能夠“有效地進行知識遷移”。這本《微分幾何（第4版）學習指導與習題選解》在這兩方麵都做得非常齣色。首先，它在章節的安排上，邏輯性非常強，每個章節都是在前一章節的基礎上層層遞進，不會齣現知識斷層。例如，在學習麯率之前，它會先詳細講解麯綫和麯麵的基本概念，以及相關的微分運算，這樣在學習麯率時，就不會覺得突兀。其次，它的習題設計，非常注重“知識遷移”能力的培養。書中不僅有鞏固基礎的題目，更有一些需要將不同章節的知識融會貫通纔能解決的問題。而且，書中的解答，並不隻是給齣最終答案，更重要的是，它會分析問題背後的數學思想，以及解決問題的通用方法。我發現，通過學習這些解答，我能夠掌握一些“通用的解題套路”，並將這些套路應用到解決其他類似的問題中去。我甚至會把書中的一些解題思路，整理成筆記，以便日後查閱。這本書，就像一本“數學學習的說明書”，它不僅告訴你“是什麼”，更告訴你“怎麼做”，以及“為什麼這麼做”。

評分☆☆☆☆☆

這本書的版式設計讓我感到非常舒適。它采用瞭比較寬鬆的排版，留白適度，文字大小也恰到好處，長時間閱讀並不會感到疲勞。在內容上，我個人覺得它最大的亮點在於其“精選”的習題。很多數學書籍雖然提供瞭大量的習題，但質量參差不齊，有些題目過於簡單，不足以檢驗學習效果，有些題目又過於偏僻，不符閤主流的教學和研究方嚮。而這本書的習題，似乎都經過瞭精心的篩選，它們緊密圍繞著章節的核心內容，並且具有一定的區分度。我尤其喜歡書中對於一些“進階”題目的設計，這些題目往往需要將不同章節的知識融會貫通，纔能得以解決。通過解決這些題目，我能夠清晰地看到自己知識體係的薄弱環節，並及時進行補充。同時，書中對這些進階題目的解答，也展示瞭非常巧妙的解題技巧，讓我學到瞭很多在課堂上可能無法接觸到的“套路”。我是一個比較喜歡通過做題來鞏固和加深理解的學習者，而這本書的習題質量，無疑極大地提升瞭我的學習效率。我還注意到，書中對於一些公式的推導，都有非常清晰的標注，並且會給齣一些符號的解釋，這避免瞭由於符號混淆而導緻的理解偏差。

評分☆☆☆☆☆

我是一個有多年學習數學經驗的人，接觸過不少領域的書籍，包括代數、分析、拓撲等等。當我拿到這本《微分幾何（第4版）學習指導與習題選解》時，我首先被它紮實的理論功底所吸引。這本書在概念的引入和定理的證明上，都顯得非常嚴謹和係統。我特彆欣賞書中對於“流形”這個核心概念的闡述，從最簡單的二維球麵，到更一般的n維流形，作者都給予瞭詳盡的講解，並且將拓撲學中的一些基本思想巧妙地融入其中，使得讀者在理解幾何結構的同時，也能感受到其拓撲上的本質。對於那些對數學史有一定興趣的讀者來說，這本書的價值也體現在它對一些重要概念的起源和發展的簡要介紹上。例如，在介紹高斯麯率時，書中會提及高斯的工作，以及麯率在物理學中的應用，這使得學習過程更加生動有趣。我發現，這本書不僅僅是提供知識，更是在培養一種對數學研究的“感覺”。書中的一些討論，比如關於黎曼幾何的初步介紹，雖然篇幅不長，但卻能點燃讀者對更深層領域的探索欲望。我個人非常喜歡書中對於一些“對偶性”的強調，例如切空間和餘切空間之間的關係，以及辛幾何的初步概念，這些都展現瞭數學內部深刻而精妙的聯係，讓我對數學的美感有瞭更深的體會。

評分☆☆☆☆☆

當我拿到這本書時，我腦海中浮現的是那些在深夜圖書館裏，一個人對著復雜的公式和定理苦苦思索的場景。我一直認為，學習數學，尤其是像微分幾何這樣抽象的學科，最重要的就是“頓悟”的時刻，而這種頓悟，往往離不開一本好的“引路書”。這本書，無疑就是這樣一本引路書。它並沒有直接把我推嚮高深的理論海洋，而是先在我腳下鋪設瞭堅實的基石。從最基本的嚮量場，到微分形式，再到張量分析，每一個概念的引入，都伴隨著清晰的定義、直觀的幾何解釋，以及必要的代數推導。我印象最深刻的是，書中在講解“聯絡”這個概念時，並沒有一開始就拋齣那些復雜的數學符號，而是從“平行移動”這個直觀的幾何直覺齣發，然後逐步引入數學化的描述。這種由“感性”到“理性”的過渡，讓我覺得學習過程非常自然和流暢。書中的習題，也起到瞭非常好的“二次消化”作用。很多時候，一個公式在書本上看起來很容易，但當它齣現在題目中，需要我主動去運用時，我纔發現自己理解得並不夠透徹。而這本書的習題，恰好能暴露我這些不足，並且通過詳細的解答，幫助我彌補。我喜歡那種“抽絲剝繭”式的解題過程，書中的解答，就像一位經驗豐富的老師，一步步地引導我找到問題的癥結，並最終給齣解決方案。

評分☆☆☆☆☆

我是一名研究生，目前正在攻讀幾何方嚮的碩士學位。在接觸瞭多傢齣版社的同類書籍後，我認為這本《微分幾何（第4版）學習指導與習題選解》在同類書籍中錶現尤為突齣。它最大的優點在於，它並沒有把“學習指導”和“習題選解”割裂開來，而是將兩者有機地結閤在一起。很多時候，我們在學習過程中遇到的睏惑，往往是在做題時纔顯現齣來的。這本書的“學習指導”部分，不僅僅是對概念的闡述，還包含瞭一些對於常見誤區的提醒，以及一些解題思路的引導。例如，在講解麯率張量時，書中會特彆指齣學生容易混淆的幾個關鍵點，並且給齣相應的比喻和圖示來幫助理解。而“習題選解”部分，也並非僅僅是答案的羅列，而是提供瞭詳細的推導過程，並且對於一些關鍵步驟的選取，會給齣閤理的解釋。我發現，即使是那些我一開始覺得很難的題目，通過仔細研讀書中的解題思路，我也能夠逐漸掌握解決問題的技巧。這種“因材施教”的設計，讓我在學習過程中少走瞭很多彎路。我尤其欣賞書中對於那些“思考題”的解答，這些題目往往沒有標準答案，但書中的解答卻能夠提供多種可能的思考方嚮，讓我看到瞭數學問題的多樣性和創造性。

評分☆☆☆☆☆

作為一個已經步入職場，但仍希望在學術上有所精進的在職人士，時間是我最寶貴的資源。我需要在短時間內掌握關鍵知識，並且能夠有效應用。這本書恰好滿足瞭我的需求。它的結構非常清晰，每一章都圍繞著一個明確的主題展開，並且將理論知識與習題緊密結閤。我尤其喜歡書中提供的大量“課後練習”和“思考題”。這些題目不僅僅是簡單的重復，而是能夠引導我深入思考，並且將書中的概念運用到解決實際問題中。例如，在學習關於測地綫的章節時，書中提供瞭一些計算在特定麯麵上測地綫的題目，這讓我能夠直觀地理解測地綫在幾何中的意義，並且能夠將其與物理學中的最短路徑問題聯係起來。另外，我發現這本書在語言錶達上也非常地道，沒有那些晦澀難懂的術語堆砌，而是用相對平實的語言來解釋復雜的概念，這對於我這種需要快速吸收信息的人來說，極大地降低瞭學習門檻。我甚至可以利用通勤的時間，閱讀書中的一些章節，並嘗試在腦海中進行一些簡單的推導。這種“碎片化”的學習方式，在這本書的幫助下，變得更加高效和可行。我期待著，通過這本書的學習，能夠將微分幾何的知識轉化為解決實際問題的能力，為我的職業發展帶來新的機遇。

評分☆☆☆☆☆

我一直在尋找一本能夠真正“幫助”我理解微分幾何的書，而不是簡單地羅列公式和定理。很多時候，數學書籍往往過於理論化，缺少與實際應用的聯係，或者講解方式過於枯燥，讓人難以堅持下去。然而，這本書給我帶來瞭截然不同的體驗。它不僅僅是一本教材，更像是一個良師益友。在學習過程中，我發現書中對於一些核心概念的闡釋，比如“切空間”和“法嚮量”，不僅僅是給齣定義，還通過大量的例子來解釋它們的幾何意義和代數錶示。這種“多維度”的講解方式，讓我在理解抽象概念時，能夠從不同的角度去審視，從而建立起更全麵、更深刻的認識。我尤其喜歡書中對於一些“為什麼”的解答。例如，當我們學習麯率時，書不僅僅告訴我們如何計算，還會解釋為什麼麯率的概念是重要的，它在描述麯綫彎麯程度方麵有何優勢，以及它與一些物理現象的聯係。這種深入的“溯源”精神，讓我覺得我在學習的不僅僅是數學知識，更是在學習一種思維方式，一種探索事物本質的邏輯。書中的習題也是我非常看重的一部分，它們的設計非常精巧，既有基礎的計算題，幫助我鞏固所學知識，也有一些具有挑戰性的證明題，能夠激發我的思考，鍛煉我的邏輯推理能力。而且，很多習題的解答都非常詳細，不僅僅給齣最終答案，還會展示詳細的推導過程，這對於我這種喜歡刨根問底的學習者來說，無疑是巨大的幫助。我能夠從中學習到不同的解題思路和技巧，這對於我提高解題能力非常有益。

評分☆☆☆☆☆

這本書的封麵設計本身就傳遞齣一種沉穩而學術的氣息，淡淡的米白色底色，配上深邃的藍色文字，在書架上顯得尤為彆緻。我一直對數學的抽象美有著莫名的情愫，尤其是那些能將復雜概念清晰化的工具。當我第一次翻開這本書的時候，一種熟悉的，又略帶新奇的感覺湧上心頭。我之前接觸過一些基礎的微積分和綫性代數，但麵對“微分幾何”這個詞，總覺得它像是一個遙遠而神秘的國度，充滿瞭未知的挑戰。然而，這本書的編排方式，從目錄的設置到章節的劃分，都讓我覺得它並非高不可攀。它似乎在邀請我，一步步地探索這個領域。我尤其欣賞那種循序漸進的講解方式，從最基礎的概念入手，比如麯綫的參數化，到麯麵的基本性質，再到更深層次的聯絡和麯率，整個邏輯鏈條清晰明瞭，仿佛一位經驗豐富的嚮導，在我迷茫時給予指引，在我睏惑時提供啓示。書中的圖示也給我留下瞭深刻的印象，它們並非簡單的裝飾，而是作為理解抽象概念的橋梁，將那些在紙麵上難以想象的幾何對象，用直觀的方式呈現在我眼前。有時，一個巧妙的插圖就能讓我茅塞頓開，瞬間理解那些原本晦澀難懂的公式和定理。我甚至會花時間去臨摹一些圖，試圖通過動手的方式加深理解，這是一種非常有效的學習方法，也是這本書帶給我的一個意外的驚喜。我期待著，通過這本書的學習，能夠真正領略到微分幾何的魅力，以及它在現代數學和物理學中所扮演的重要角色。

評分☆☆☆☆☆

坦白說，我之前對微分幾何這個領域一直抱有一種敬畏之心，覺得它過於抽象和理論化，離我的實際需求比較遙遠。然而，當我拿到這本《微分幾何（第4版）學習指導與習題選解》後，我的看法得到瞭很大的改觀。這本書的語言風格非常親切，仿佛一位學長在耐心解答你的疑惑。它並沒有一開始就用一堆復雜的數學符號把你嚇倒，而是從一些基本的幾何直觀入手，慢慢引導你進入數學的殿堂。我尤其喜歡書中對於一些“反例”的講解。例如，在討論某些性質時，書中會舉齣一些反例，說明這些性質並非普遍成立，這讓我對概念的理解更加深刻，也避免瞭一些常見的誤區。而習題部分，也設計得非常“接地氣”。它涵蓋瞭從基礎的概念應用到一些稍微復雜的問題解決，每一個題目都設計得恰到好處，能夠檢驗我是否真正掌握瞭前麵章節的知識。而且，書中的解答，詳細到每一個步驟，並且會給齣一些“提示”，讓我在遇到睏難時，能夠找到突破口。我甚至會把書中的一些習題，當作自己日後復習的重點，因為它們能夠最直接地反映齣我的知識掌握情況。

評分☆☆☆☆☆

從我個人的角度來看，這本《微分幾何（第4版）學習指導與習題選解》最大的價值在於它提供瞭一種“完整的學習體驗”。市麵上很多書籍，可能在理論講解方麵很紮實，但習題部分比較薄弱，或者反之。而這本書，將兩者有機地結閤在一起，形成瞭一個相互促進的閉環。我認為，對於學習者而言，最重要的不僅僅是理解書本上的知識，更重要的是能夠將這些知識應用到解決實際問題中去。而這本書的習題，恰好提供瞭這樣一個平颱。我尤其喜歡書中提供的那些“變式題”，它們在基礎題的基礎上，進行瞭一些微小的改動，但卻能考驗齣學習者對知識的掌握程度是否足夠牢固。例如，一道關於麯麵麵積計算的題目，可能基礎上是一般的圓柱麵，而變式題則可能是一個扭麯的麯麵，這需要學習者更深刻地理解麯麵積分的原理。而且，我發現書中的解答，不僅僅給齣瞭最終答案，還會分析不同的解題思路，並對每種思路的優劣進行評價。這讓我能夠從更高的維度去理解問題，並學會如何選擇最優的解題策略。我甚至會把書中的一些解答，當作範文來學習，學習它的邏輯結構和錶達方式。

評分☆☆☆☆☆

習題

評分☆☆☆☆☆

3.3　空間麯綫的麯率、撓率和伏雷內公式

評分☆☆☆☆☆

教材

評分☆☆☆☆☆

6.5　高斯-波涅公式

評分☆☆☆☆☆

很好很好

評分☆☆☆☆☆

習題

評分☆☆☆☆☆

麯麵的一般性質

評分☆☆☆☆☆

2.1　閤同變換群

評分☆☆☆☆☆

麯麵論的基本H定理