黎曼几何和几何分析（第6版） [Riemannian Geometry and Geometric Analysis Sixth Edition] pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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[德] 约斯特（Jost J.） 著

图书标签:

• 黎曼几何
• 几何分析
• 微分几何
• 流形
• 拓扑学
• 数学分析
• 第六版
• Riemannian Geometry
• Geometric Analysis
• 高等数学

出版社： 世界图书出版公司

ISBN：9787510084447

版次：6

商品编码：11647751

包装：平装

外文名称：Riemannian Geometry and Geometric Analysis Sixth Edition

开本：24开

出版时间：2015-01-01

用纸：胶版纸

页数：611

正文语种：英文

内容简介

　　Riemannian geometry is characterized, and research is oriented towards and shaped by concepts (geodesics, connections, curvature, ...) and objectives, in particular to understand certain classes of (compact) Riemannian manifolds defined by curvature conditions (constant or positive or negative curvature, ...). By way of contrast, geometric analysis is a perhaps somewhat less systematic collection of techniques, for solving extremal problems naturally arising in geometry and for investigating and characterizing their solutions. It turns out that the two fields complement each other very well; geometric analysis offers tools for solving difficult problems in geometry, and Riemannian geometry stimulates progress in geometric analysis by setting ambitious goals.
　　It is the aim of this book to be a systematic and comprehensive introduction to Riemannian geometry and a representative introduction to the methods of geometric analysis. It attempts a synthesis of geometric and analytic methods in the study of Riemannian manifolds.
　　The present work is the sixth edition of my textbook on Riemannian geometry and geometric analysis. It has developed on the basis of several graduate courses I taught at the Ruhr~University Bochum and the University of Leipzig. The main new feature of the present edition is a systematic presentation of the spectrum of the Laplace operator and its relation with the geometry of the underlying Riemannian marufold. Naturally, I have also included several smaller additions and minor corrections (for which I am grateful to several readers). Moreover, the organization of the chapters has been systematically rearranged.

内页插图

目录

1 Riemannian Manifolds
1.1 Manifolds and Differentiable Manifolds
1.2 Tangent Spaces
1.3 Submanifolds
1.4 Riemannian Metrics
1.5 Existence of Geodesics on Compact Manifolds
1.6 The Heat Flow and the Existence of Geodesics
1.7 Existence of Geodesics on Complete Manifolds
Exercises for Chapter 1

2 Lie Groups and Vector Bundles
2.1 Vector Bundles
2.2 Integral Curves of Vector Fields.Lie Algebras
2.3 Lie Groups
2.4 Spin Structures
Exercises for Chapter 2

3 The Laplace Operator and Harmonic Differential Forms
3.1 The Laplace Operator on Functions
3.2 The Spectrum of the Laplace Operator
3.3 The Laplace Operator on Forms
3.4 Representing Cohomology Classes by Harmonic Forms
3.5 Generalizations
3.6 The Heat Flow and Harmonic Forms
Exercises for Chapter 3

4 Connections and Curvature
4.1 Connections in Vector Bundles
4.2 Metric Connections.The Yang—Mills Functional
4.3 The Levi—Civita Connection
4.4 Connections for Spin Structures and the Dirac Operator
4.5 The Bochner Method
4.6 Eigenvalue Estimates by the Method of Li—Yau
4.7 The Geometry of Submanifolds
4.8 Minimal Submanifolds
Exercises for Chapter 4

5 Geodesics and Jacobi Fields
5.1 First and second Variation of Arc Length and Energy
5.2 Jacobi Fields
5.3 Conjugate Points and Distance Minimizing Geodesics
5.4 Riemannian Manifolds of Constant Curvature
5.5 The Rauch Comparison Theorems and Other Jacobi Field Estimates
5.6 Geometric Applications of Jacobi Field Estimates
5.7 Approximate Fundamental Solutions and Representation Formulas
5.8 The Geometry of Manifolds of Nonpositive Sectional Curvature
Exercises for Chapter 5
A Short Survey on Curvature and Topology

6 Symmetric Spaces and Kahler Manifolds
6.1 Complex Projective Space
6.2 Kahler Manifolds
6.3 The Geometry of Symmetric Spaces
6.4 Some Results about the Structure of Symmetric Spaces
6.5 The Space Sl（n，IR）／SO（n，IR）
6.6 Symmetric Spaces of Noncompact Type
Exercises for Chapter 6

7 Morse Theory and Floer Homology
7.1 Preliminaries： Aims of Morse Theory
7.2 The Palais—Smale Condition，Existence of Saddle Points
7.3 Local Analysis
7.4 Limits of Trajectories of the Gradient Flow
7.5 Floer Condition，Transversality and Z2—Cohomology
7.6 Orientations and Z—homology
7.7 Homotopies
7.8 Graph flows
7.9 Orientations
7.10 The Morse Inequalities
7.11 The Palais—Smale Condition and the Existence of Closed Geodesics
Exercises for Chapter 7

8 Harmonic Maps between Riemannian Manifolds
8.1 Definitions
8.2 Formulas for Harmonic Maps.The Bochner Technique
8.3 The Energy Integral and Weakly Harmonic Maps
8.4 Higher Regularity
8.5 Existence of Harmonic Maps for Nonpositive Curvature
8.6 Regularity of Harmonic Maps for Nonpositive Curvature
8.7 Harmonic Map Uniqueness and Applications
Exercises for Chapter 8

9 Harmonic Maps from Riemann Surfaces
9.1 Two—dimensional Harmonic Mappings
9.2 The Existence of Harmonic Maps in Two Dimensions
9.3 Regularity Results
Exercises for Chapter 9

10 Variational Problems from Quantum Field Theory
10.1 The Ginzburg—Landau Functional
10.2 The Seiberg—Witten Functional
10.3 Dirac—harmonic Maps
Exercises for Chapter 10

A Linear Elliptic Partial Differential Equations
A.1 Sobolev Spaces
A.2 Linear Elliptic Equations
A.3 Linear Parabolic Equations
B Fundamental Groups and Covering Spaces
Bibliography
Index

前言/序言

好的，这是一本关于黎曼几何和几何分析的权威教材的详细内容介绍，着重于其核心概念、方法论和在现代数学中的地位，但不包含您提到的特定版本（第六版）的任何具体内容或章节细节。 --- 现代微分几何与分析的基石：一部跨越理论与应用的深度探索 本书旨在为高等数学、理论物理以及相关工程领域的研究者和高级学生提供一个全面、严谨且富有洞察力的知识体系。它不是一本简单的入门读物，而是一部深入剖析黎曼几何核心原理并将其与现代几何分析工具相结合的权威参考书。全书构建了一个从基础拓扑和微分流形理论出发，逐步攀升至抽象黎曼几何，最终触及前沿几何分析问题的理论框架。 第一部分：微分流形的基础架构 本书的起点建立在坚实的拓扑和光滑流形理论之上。我们首先细致地回顾了必要的拓扑学预备知识，特别是紧致性、连通性和可微性空间的概念。随后，重点转向微分流形的构造。这包括对坐标图集（atlas）、光滑结构以及切空间的严格定义。切空间被视为理解局部线性化结构的关键，它不仅是后续所有几何构造的根基，也为张量场、微分形式和向量场奠定了基础。 在流形上进行分析的前提是定义光滑函数和微分形式。本书详尽阐述了这些概念，包括楔积（wedge product）和外导数（exterior derivative）。德拉姆上同调（de Rham cohomology）作为衡量流形拓扑结构的重要工具，得到了深入的讨论。我们通过链复形（chain complex）的视角，清晰地展示了如何将拓扑信息编码进光滑结构之中，这为理解拓扑不变量与几何度量之间的深刻联系埋下了伏笔。 第二部分：黎曼几何的核心结构：度量与联络 本书的核心在于引入黎曼几何。这首先要求在流形上安装一个黎曼度量 $g$。度量的引入，使得我们能够在切空间上定义内积，从而谈论长度、角度和正交性。这个结构将光滑流形提升为一个度量空间，并赋予了空间曲率的概念。 围绕度量，联络（Connection）的构造是必不可少的。本书深入探讨了仿射联络的性质，特别是它如何定义切向量的平行移动（parallel transport）。随后的重点自然落在了黎曼联络（Levi-Civita 联络）的唯一性和构造上，它完全由黎曼度量决定。通过黎曼联络，我们得以定义协变导数（covariant derivative），这是在曲面上进行微分运算的唯一一致方式。 曲率的几何诠释： 曲率是黎曼几何的灵魂。本书系统地推导并分析了几个关键的曲率概念： 1. 黎曼曲率张量（Riemann Curvature Tensor）： 它是衡量切空间中平行移动路径依赖性的量度，其定义与李括号和挠率的消失紧密相关。 2. 里奇张量（Ricci Tensor）和里奇标量（Ricci Scalar）： 这些是黎曼曲率张量的缩并形式，直接关联到体积的局部变化率，是连接几何与物理（如爱因斯坦场方程）的桥梁。 3. 截面曲率（Sectional Curvature）： 通过考察流形上任意二维子空间的曲率，提供了对局部几何形态最直观的理解。 测地线（Geodesics）作为黎曼流形上“最直”的曲线，其定义基于变分原理或黎曼联络的零协变导数。测地线的存在性和唯一性定理，构成了黎曼几何中关于距离和全局结构的分析基础。 第三部分：从黎曼流形到几何分析 在建立了坚实的黎曼几何框架后，本书转向了如何利用这些几何结构进行现代分析。这要求我们将微分算子（如拉普拉斯-德拉姆算子 $Delta$）置于弯曲空间中进行研究。 几何分析的核心工具： 1. 黎曼流形上的微分算子： 我们详细分析了形如 $Delta$ 的椭圆型算子在弯曲空间上的行为。这不仅涉及对经典拉普拉斯算子在更高维度上的推广，还包括对上同调类别的关联。 2. 谱理论与特征值问题： 空间（流形）的几何结构与其谱性质（如特征值）之间存在深刻的联系。本书探讨了谱几何的基本问题，例如“谱能否决定几何？”（What does the spectrum tell about the shape?）。 3. 变分方法与势能理论： 利用能量泛函的最小化来寻找重要的几何对象，例如极小曲面（Minimal Surfaces）理论在黎曼流形上的推广，或稳定向量丛的分析。 特殊的几何结构与高级主题： 为了展示黎曼几何的广阔应用，本书深入探讨了几种具有特殊性质的流形结构，这些结构在理论物理和拓扑学中占据重要地位： 对称性与常曲率空间： 讨论了如球面、双曲空间等具有极大对称性的空间，及其在李群理论中的体现。 提莫里（Teichmüller）空间与模空间： 考察了度量和结构如何随参数变化而变化的空间，这是几何拓扑学的前沿领域。 卡拉比-丘流形（Calabi-Yau Manifolds）或相关Kähler几何结构： 简要介绍了在复几何和弦理论中至关重要的结构，展示了黎曼几何与复分析的交汇点。 总结： 本书通过严谨的数学语言和丰富的几何直觉，为读者构建了一个完整的从局部到全局的理解体系。它强调了度量、联络和曲率之间的内在统一性，并将这些概念转化为可供分析研究的强大工具。它不仅是学习经典黎曼几何的必备教材，更是进入现代几何分析、拓扑学和理论物理交叉领域的研究指南。其目标是培养读者运用几何思维解决复杂分析问题的能力。

评分☆☆☆☆☆

对于我来说，阅读这本书更像是在进行一场思维的马拉松，需要极大的耐心和毅力。我常常需要反复阅读同一个段落，甚至同一个公式，才能勉强抓住其精髓。书中的某些证明，冗长而复杂，需要我调动全部的注意力，才能不迷失其中。有时候，我会停下来，冥思苦想，试图理解作者是如何从一个看似简单的条件推导出如此深远的结论的。这种挑战，既让我感到沮丧，又让我充满斗志。我喜欢在阅读过程中，不断地进行自我提问和反思，试图找到新的视角来理解那些抽象的概念。而且，书中的一些例题，虽然不是为了“教”而设计，但却能极大地帮助我检验自己对理论的掌握程度。通过尝试解决这些问题，我能更清楚地认识到自己的不足，并有针对性地进行复习。这本书，就像一块磨刀石，不断地打磨着我的数学思维，让我变得更加敏锐和深刻。

评分☆☆☆☆☆

不得不说，这本书的排版和印刷质量相当不错，纸张触感很好，字迹清晰，这对于一本技术性很强的书籍来说，是非常重要的加分项。我喜欢它那种严谨的风格，每一页都充满了数学的逻辑和深度。每次打开它，都有一种进入一个纯粹数学世界的错觉，这里的语言是清晰而精确的，没有丝毫的含糊不清。作者在讲解一些核心概念时，往往会提供非常详细的推导过程，这对于我这种需要抠细节的学习者来说，简直是福音。我能够跟着他的思路一步一步地去理解，而不是被直接告知一个结论。有时候，我会把书中的一些证明过程抄写下来，反复琢磨，直到每一个符号和每一个逻辑跳转都变得清晰可见。这种沉浸式的学习过程，虽然耗时，但效果却是显而易见的。我能感觉到自己对黎曼几何的理解在一点点加深，那些曾经看起来难以理解的定理，也逐渐变得生动起来。而且，书中穿插的一些历史背景和思想渊源的介绍，也让这本纯粹的数学著作增添了一丝人情味，让我了解到这些抽象概念是如何在人类智慧的长河中孕育而生的。

评分☆☆☆☆☆

这本书的目录设计非常清晰，每个章节的主题都明确标注，这对于我规划学习路径非常有帮助。我可以根据自己的需求，选择性地阅读感兴趣的部分，或者按照既定的顺序，循序渐进地深入。我特别喜欢书中对某些重要定理的引述和证明，作者在阐述过程中，总是力求做到逻辑严密，论证充分。即使是对于初学者来说，虽然理解起来可能需要花费一番功夫，但这种严谨的学术态度，无疑是值得赞赏的。我曾经尝试过阅读一些其他相关的资料，但总感觉不够系统和深入，而这本书，就像一个宝藏，里面蕴含着丰富的知识体系。我尤其对其中关于“测地线”和“曲率”的讨论印象深刻，这些概念不仅仅是抽象的数学符号，更是对空间性质的深刻洞察。我常常会花很长时间去理解这些概念的几何意义，试图将它们与我们熟悉的三维空间联系起来。这本书，就像一位严谨的老师，引导着我一步步探索数学的深邃之处，每一次的阅读，都是一次智力的挑战，也是一次愉悦的收获。

评分☆☆☆☆☆

这本书带给我的，更多的是一种对于数学之美的敬畏。当我读到那些精妙的证明，那些深刻的定理，我常常会感叹于数学的逻辑性和优雅性。作者在字里行间透露出的深厚功底，以及他对黎曼几何的热爱，都深深地感染着我。虽然我目前可能还无法完全领会其中的所有奥秘，但这种探索的过程本身，就已经足够令人着迷。我喜欢它那种不回避困难、直面挑战的风格，这与我对待学习的态度不谋而合。每次合上书本，我都能感觉到自己对这个世界的理解又多了一层维度，这种感觉是无法用语言来形容的。这本书，不仅仅是一本教科书，更像是一扇窗户，让我得以窥见数学那宏伟而迷人的世界。我相信，在未来的某个时刻，我会再次翻开它，或许那时，我会有更深的领悟。

评分☆☆☆☆☆

这本书在我的书架上已经躺了好一阵子了，我总觉得它散发着一种“高冷”的气质，仿佛在说：“我不是随便什么人都能轻易驾驭的。” 翻开它，扑面而来的数学符号和抽象概念，一开始确实让我有些望而却步。那些关于流形、张量、联络的论述，像是在构建一个精密的宇宙，我需要花费大量的精力去理解其中的每一个构件，以及它们如何相互作用，构成宏大的理论框架。有时候，我会看着图示，试图在脑海中勾勒出那些高维空间的形状，但这种想象总是显得捉襟见肘，因为我的直观经验实在是太有限了。特别是当讨论到黎曼曲率张量时，那个铺天盖地的指标运算，让我一度怀疑自己是不是走错了房间，是不是应该去找一本更“接地气”的数学书。尽管如此，每当我啃下一小段，理解了一个新的概念，那种克服困难后的豁然开朗感，又是如此的令人着迷。它就像一座宏伟的建筑，虽然建造过程艰辛，但最终的景象却是壮丽辉煌的。我常常在想，那些伟大的数学家们，是如何在如此抽象的世界里游刃有余的，他们看到的究竟是怎样的景象？这本书，无疑是通往那个境界的一块重要的基石，即使过程充满挑战，也值得我继续探索下去。

评分☆☆☆☆☆

人都是有局限性的，「提升自我」这件事不只是技能上的提升，更核心的是视野、理念、思维方式这些意识世界里的东西。「读史使人明智，读诗使人灵秀，数学使人周密，科学使人深刻，伦理学使人庄重，逻辑修辞之学使人善辩：凡有所学，皆成性格。」第

评分☆☆☆☆☆

黎曼流形上的几何学。德国数学家G.F.B.黎曼19世纪中期提出的几何学理论。1854年黎曼在格丁根大学发表的题为《论作为几何学基础的假设》的就职演说，通常被认为是黎曼几何学的源头。在这篇演说中，黎曼将曲面本身看成一个独立的几何实体，而不是把它仅仅看作欧几里得空间中的一个几何实体。他首先发展了空间的概念，提出了几何学研究的对象应是一种多重广义量 ，空间中的点可用n个实数（x1，……，xn）作为坐标来描述。这是现代n维微分流形的原始形式，为用抽象空间描述自然现象奠定了基础。这种空间上的几何学应基于无限邻近两点（x1，x2，……xn）与（x1+dx1，……xn+dxn）之间的距离，用微分弧长度平方所确定的正定二次型理解度量。亦即 （gij）是由函数构成的正定对称矩阵。这便是黎曼度量。赋予黎曼度量的微分流形，就是黎曼流形。

评分☆☆☆☆☆

很不错的一本书

评分☆☆☆☆☆

Riemannian geometry is characterized, and research is oriented towards and shaped by concepts (geodesics, connections, curvature, ...) and objectives, in particular to understand certain classes of (compact) Riemannian manifolds defined by curvature conditions (constant or positive or negative curvature, ...). By way of contrast, geometric analysis is a perhaps somewhat less systematic collection of techniques, for solving extremal problems naturally arising in geometry and for investigating a

评分☆☆☆☆☆

对非欧几里得几何做了很深入的研究。

评分☆☆☆☆☆

黎曼流形上的几何学。德国数学家G.F.B.黎曼19世纪中期提出的几何学理论。1854年黎曼在格丁根大学发表的题为《论作为几何学基础的假设》的就职演说，通常被认为是黎曼几何学的源头。在这篇演说中，黎曼将曲面本身看成一个独立的几何实体，而不是把它仅仅看作欧几里得空间中的一个几何实体。他首先发展了空间的概念，提出了几何学研究的对象应是一种多重广义量 ，空间中的点可用n个实数（x1，……，xn）作为坐标来描述。这是现代n维微分流形的原始形式，为用抽象空间描述自然现象奠定了基础。这种空间上的几何学应基于无限邻近两点（x1，x2，……xn）与（x1+dx1，……xn+dxn）之间的距离，用微分弧长度平方所确定的正定二次型理解度量。亦即 （gij）是由函数构成的正定对称矩阵。这便是黎曼度量。赋予黎曼度量的微分流形，就是黎曼流形。

评分☆☆☆☆☆

Riemannian geometry is characterized, and research is oriented towards and shaped by concepts (geodesics, connections, curvature, ...) and objectives, in particular to understand certain classes of (compact) Riemannian manifolds defined by curvature conditions (constant or positive or negative curvature, ...). By way of contrast, geometric analysis is a perhaps somewhat less systematic collection of techniques, for solving extremal problems naturally arising in geometry and for investigating a

评分☆☆☆☆☆

不错

评分☆☆☆☆☆

丘老的文集太难啃了，这本书作为入门恰到好处。