几何新方法和新体系（第二版） pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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张景中 著

图书标签:

• 几何学
• 初等几何
• 进阶几何
• 几何新体系
• 几何教学
• 数学教育
• 平面几何
• 立体几何
• 数学方法
• 问题解决

出版社： 科学出版社有限责任公司

ISBN：9787030446831

版次：1

商品编码：11741463

包装：平装

丛书名： 走进教育数学

开本：16开

出版时间：2015-07-01

页数：280

正文语种：中文

编辑推荐

《几何新方法和新体系》可供中学数学教师、师范院校数学教师、数学爱好者、数学奥林匹克工作者和参赛者以及数学研究工作者参考.

内容简介

几何新方法和新体系第二版张景中著北京《几何新方法和新体系》分上下两篇.上篇通俗地阐述了作者所开创的几何解题的“消点法”.用这个方法可以机械地判定所谓“等式型可构造几何命题”的真假.命题成立时还能够产生人容易检验和理解的证明，即可读证明.《几何新方法和新体系》先引入作者所发展的系统面积方法的两个基本工具，即共边定理和共角定理.接着在共边定理的基础上把面积方法算法化，系统地建立了面积消点方法.此外还进一步指出，消点不限于面积法，在全角法、三角法、向量法以及复数法的基础上也能建立消点法.下篇则对几何公理体系提出了新的见解，指出传统的欧几里得公理体系和希尔伯特公理体系的不足，并提出一个与面积法相适应的平面几何公理体系，证明了这个体系和希尔伯特公理体系的等价性.

目录

总序第二版前言
第一版前言
上篇
第1章大师谈小题九点七线面积奏奇效一箭三雕3
第2章总结经验按图索骥探索规律摸石过河9
第3章见微知著从偶然到必然得陇望蜀识技巧出方法15
第4章由此及彼说了共边讲共角举一反三算过三角比四边24
第5章步步为营行看风起云涌层层消点坐等水落石出35
第6章单直尺作图名家点题平行线消点新法立功47
第7章垂直线难用面积相比勾股差恰如向量点乘61
第8章勾股差消去垂线上点新公式证明三高共心71
第9章有圆有线丰富多彩看弧看角简捷明快86
第10章有向弦破解共圆点问题消点法证明托勒密等式100
第11章消两圆交点勾股差再立功解多支问题消点法须发展111
第12章全角概念粉墨登场西姆松线轻松获证122
第13章改造几何体系旧瓶新酒梳理消点方法长话短说136
第14章三角和向量也能消点复数比面积更善攻坚148
第15章几何机器证明万题同法数学自动推理美梦成真158
下篇
第16章几何世界说古论今公理体系追本溯源167
第17章欧几里得创原本开宗明义希尔伯特论基础严谨精深173
第18章现代数学惯用抽象结构古典几何嵌入度量空间180
第19章几何公理服务现代教育数学泰斗撰写初中教材186
第20章四大概念引领公理体系三种度量演绎平面几何191
第21章四点共面新法新招两线平行换汤换药197
第22章角度登台原为方便平行新证更加严谨215
第23章体系对比多位一体结构互容各有千秋228
第24章度量为纲轻车熟路体积唱戏故道新踪243
第25章抛砖引玉愿益学子投石问路敬待来人251
参考文献 254

精彩书摘

上篇
第1章
大师谈小题九点七线
面积奏奇效一箭三雕
著名数学大师华罗庚，在《1978年全国中学生数学竞赛题解》前言中，谈到了这样一个有趣的几何题：
【例1.1】凸四边形ABCD的两边AD、BC延长后交于K，两边AB、CD延长后交于L．对角线BD、AC延长后分别与直线KL交于F，G．
求证：KFLF=KGLG.
图1-1
如图1-1．只看图，不看文字，题目也是一目了然的．几条直线那么一交，不附加任何别的条件，凭空就要你证明一个等式，似乎不容易下手．华罗庚在指出这个题目包含了射影几何的基本原理之后，给出了用中学生所掌握的知识解决它的方法．下述证明引自华罗庚先生所写的前言原文：
证明1设△KFD中KF边上的高为h，利用
得到
同理，再求出LF，LG与KG的类似表达式．因而
同样可得到
所以
类似地可以证明
由此可见KFLF？LGKG2=1， 即证得结论．□
也许你一时还掌握不了上述证明的要领．那不要紧．等一下讲一个简单点的证法．为了介绍那个简单的证法，先要复习一点小学生的几何知识：
三角形的面积等于底乘高的积的一半．
并且由此可知：
共高三角形的面积比等于底之比．
别以为这两条命题平凡简单，它们是平面几何中最重要的基本事实．从它们出发，马上可得一个用途极广的几何解题工具，即
共边定理若直线AB与PQ交于M，则有
△PAB△QAB=PMQM．
图1-2
证明1不妨设A与M不同， 则
证明2在直线AB上取一点N使MN=AB，则△PAB=△PMN，△QAB=△QMN．所以
这两种证法均适用于图1-2的四种情形．在证明2中添加的点N，我们在图1-2中没有画出，留给读者来做．
有了共边定理，便可以对例1.1给出一个十分简捷的证法：
证明2由共边定理得
这比起前一个证法，不但简捷，起点也低得多．共边定理比正弦概念要简单些，准备知识少得多．不但如此，这个证法还有一箭三雕的效果．请看下面的例子.
【例1.2】在图1-1中，试证：
MDMB=FDFB.
图1-3
证明改写图中字母如图1-3所示，要证的等式成为
KFLF=KGLG，
证法是一字不改地照抄例1.1的证明2，
KFLF=△KBD△LBD=△KBD△KBL？△KBL△LBD
=CDCL？AKAD=△ACD△ACL？△ACK△ACD
=△ACK△ACL=KGLG .□
【例1.3】在图1-1中，试证：
图1-4
证明把图1-1中的字母重新标注如图1-4所示，则要证的等式为
证法仍然是照抄例1.1的证明2，
看来，例1.1确是一个富有启发性的题目．它向我们提出了一串问题．
第一个问题：数学大师花了很大气力才证出来的等式，怎么会变得如此简单容易?
首先，不要忘了，我们是站在大师的肩膀上，当然应看得更远，更清楚．后人比前人做得更好，是自然的．其次，具体一点的理由，是我

前言/序言

几何学前沿探索：传统范式与现代视角的交汇 图书名称：《解析几何的演进：从欧几里得到非欧几何的理论重构》 内容简介： 本书旨在深入剖析解析几何在近现代数学发展中的核心地位与演变轨迹，重点探讨其如何作为连接经典几何直觉与抽象代数工具的桥梁，推动了数学思想的深刻变革。我们不着眼于对既有经典教材的简单复述，而是聚焦于解析几何理论体系的内在逻辑张力、其在跨学科应用中的潜力，以及其面对非欧几何和拓扑学挑战时的理论重构过程。 全书结构围绕三大核心板块展开：“空间模型的构建与基石的再审视”、“高维解析的代数化与微分几何的兴起”，以及“非线性范式的挑战与现代几何的融合”。 第一部分：空间模型的构建与基石的再审视 在这一部分，我们将首先回顾欧几里得几何向笛卡尔坐标系转化的历史必然性。然而，我们的关注点并非停留在坐标系的建立技巧，而是深入探究“空间本质的代数化”这一哲学性飞跃。 1. 线性空间的预兆：仿射与射影几何的交融： 传统解析几何依赖于特定度量（如欧氏距离）。本书将追溯射影几何对“点”、“线”、“面”基本概念的解耦过程。射影几何如何通过对无穷远点的引入，统一了平行线与相交线的概念，为后来的微分几何提供了更基础、更具包容性的框架？我们将详细分析单应（Homography）和对偶性原理，阐释它们如何为解析表示法（如齐次坐标）的推广奠定了理论基础，使得几何变换的代数描述更加简洁和统一。 2. 度量选择的相对性： 经典的解析几何往往默认使用内积来定义距离和角度。本书将挑战这一“先验”的度量假设。在研究二次型（Quadratic Forms）时，我们将系统分析不同度量张量对轨迹方程的影响。例如，洛巴切夫斯基几何（双曲几何）的解析模型，如何通过引入特定的度量矩阵，在不改变基础线性代数结构的前提下，导出了与欧氏空间截然不同的几何结论。这部分强调的是，解析方法本身是中性的，几何的特性由所选取的度量结构决定。 3. 拓扑的萌芽：不变量的解析表达： 在线性代数和初等解析几何中，我们关注长度和角度等度量不变量。本书将引入拓扑不变量的概念，探讨如何用解析工具（如连续映射、同胚）来描述那些在伸缩、弯曲等形变下保持不变的性质。我们探讨了早期解析拓扑学思想的雏形，即如何用函数的连续性来刻画空间结构，为后续的微分拓扑打下解析基础。 第二部分：高维解析的代数化与微分几何的兴起 随着物理学和工程学对多维空间的探索，解析几何的重点从二维和三维平面/空间，转向了抽象的$n$维流形。 1. 张量分析的解析基础： 传统解析几何使用坐标分量进行运算。然而，在坐标系旋转或变换时，这些分量会发生复杂的混合。本书将重点解析张量作为解析几何的“语言革命”。张量如何提供了一种独立于坐标系的几何描述？我们将详细剖析协变和逆变分量、黎曼曲率张量等关键概念，解释它们如何使得在任意坐标系下描述测地线、曲率和张力成为可能，这是经典解析几何无法企及的深度。 2. 曲线与曲面的微分几何： 微分几何是解析几何在连续空间上的自然延伸。我们不会停留在计算曲率的公式层面，而是关注其背后的微分算子。如何利用偏微分方程（PDEs）来描述空间中的局部几何特性？例如，表面最小化问题（如肥皂膜的形状）本质上就是对特定泛函的极值求解，这完全依赖于解析工具的集成。本书将深入探讨第一、第二基本形式的解析意义，以及它们如何精确量化了空间内蕴曲率。 3. 欧拉-拉格朗日方程在几何中的应用： 通过将几何量（如长度、面积）视为泛函，我们可以利用变分法来研究几何对象的“最优”形态。我们将解析地导出欧拉-拉格朗日方程在几何问题中的具体形式，展示解析方法如何直接服务于发现自然界中最简洁的几何结构。 第三部分：非线性范式的挑战与现代几何的融合 现代数学的发展要求几何学超越线性空间的局限，直面非线性和复杂结构的挑战。 1. 黎曼几何的解析结构： 广义相对论的成功建立在黎曼几何之上。本书将解析地考察黎曼度规如何被视为一个随空间变化的二次型张量场，并分析测地线方程（一个二阶非线性常微分方程组）的解析解法与稳定性。重点将放在度规张量在描述时空弯曲方面的不可替代性，以及它如何统一了引力和运动的几何描述。 2. 辛几何与保守系统的解析表达： 经典力学中的哈密顿系统具有深刻的几何结构，即辛结构。本书将介绍辛形式（Symplectic Form）的解析定义，它如何提供了一种不依赖于度量、专注于描述相空间中流体动力学和保守系统演化的几何框架。辛几何的解析工具，如李导数（Lie Derivative）在保持辛结构不变的流下的应用，展示了解析方法在动力系统理论中的新方向。 3. 拓扑与解析的交汇点：同调理论的解析雏形： 虽然同调论是代数拓扑的核心，但其早期的发展与解析几何息息相关。我们将探讨微分形式（Differential Forms）的概念，以及通过德拉姆上同调（de Rham Cohomology）将拓扑信息编码到解析函数和微分算子中的方法。斯托克斯定理的推广，作为格林、高斯、斯托克斯定理在微分流形上的统一，完美体现了解析计算如何揭示更高维度的拓扑真相。 总结： 《解析几何的演进：从欧几里得到非欧几何的理论重构》旨在为读者提供一个超越经典二维绘图的解析几何视角。它强调解析工具（坐标系、函数、微分算子、张量）如何成为探索空间本质、构建复杂几何模型的强大引擎，特别是在处理高维、非线性、非欧度量结构时的理论深度和灵活性。本书适合具备扎实微积分和线性代数基础，希望深入理解现代几何学和理论物理学中解析基础的读者。

评分☆☆☆☆☆

我一直认为，数学，尤其是几何学，是理解宇宙运行奥秘的一把钥匙。《几何新方法和新体系（第二版）》这本书，无疑为我提供了这样一把更加锋利的钥匙。它所提出的“新方法”并非是哗众取宠的噱头，而是建立在扎实的理论基础之上，并展现出强大的生命力。我惊叹于作者如何能够将一些看似独立的概念融会贯通，形成一个全新的、更具解释力的“体系”。书中对一些基本几何公理的重新审视，以及由此衍生的全新定理，让我看到了几何学发展的无限可能。我特别喜欢书中对一些抽象几何概念的具象化处理，例如通过巧妙的图形设计来展示高维空间的性质，这极大地提升了我的理解效率。这本书不仅让我学到了新的几何知识，更重要的是，它改变了我看待几何问题的方式，让我学会从更广阔的视野去思考和探索。这不仅仅是一本书，更像是一次深刻的思维训练。

评分☆☆☆☆☆

这本《几何新方法和新体系（第二版）》真是让我眼前一亮！我一直对几何学抱有浓厚的兴趣，但传统的教材总给我一种过于抽象、缺乏直观性的感觉。这本书的出现，无疑为我打开了一扇新的大门。它没有拘泥于枯燥的定理推导，而是巧妙地将几何学的概念与一些现实世界的现象联系起来，让我感觉不再是孤立地学习数学，而是能看到几何学在生活中的应用。书中的插图和图示也做得非常出色，它们清晰地展示了复杂的几何构造，让我能够更直观地理解那些抽象的数学语言。我尤其喜欢其中关于“空间想象力”培养的部分，作者提供了一些非常有趣且具有挑战性的练习，不仅锻炼了我的逻辑思维能力，更重要的是，它激发了我对几何学的探索欲。阅读过程中，我时常会停下来，试图在脑海中构建出作者所描绘的几何模型，这种主动思考的过程让我对知识的掌握更加深刻。总的来说，这是一本非常值得推荐的书，它以一种新颖且富有启发性的方式，重新点燃了我对几何学的热情。

评分☆☆☆☆☆

坦白说，一开始我对《几何新方法和新体系（第二版）》抱有很大的期待，但同时也有一丝担忧，毕竟“新方法”和“新体系”这些词汇，往往意味着较高的阅读门槛。然而，在实际阅读过程中，这种担忧很快就被惊喜所取代。书的开篇部分，作者就以一种非常吸引人的方式，介绍了几何学发展的历史脉络，并引出了为何需要“新方法”和“新体系”的必要性。这种宏观的视角，让我对即将展开的深入探讨有了更清晰的认识。我尤其赞赏书中对不同几何学派的比较分析，它们之间既有联系又有区别，而作者的解读让我能够更好地理解它们的优劣势以及各自的应用领域。对于书中某些需要数学背景的论证，作者也提供了详尽的解释和必要的铺垫，这使得即使我不是专业科班出身，也能在一定程度上跟随作者的思路进行理解。总的来说，这本书在保持学术严谨性的同时，兼顾了内容的易读性，是一本非常成功的学术著作。

评分☆☆☆☆☆

这本书的出版，对于我这样一位长期在科研一线工作的研究者来说，无疑是一场及时雨。我一直致力于寻找能够突破现有理论框架的几何新思路，而《几何新方法和新体系（第二版）》恰恰满足了我的这一需求。它所探讨的并非是陈旧的欧几里得几何或是简单的解析几何，而是更加前沿且富有深度的内容。我欣喜地看到书中对一些新兴几何分支的介绍，这些内容在现有主流文献中并不常见，却可能蕴含着未来数学发展的重要方向。作者在处理这些复杂概念时，并没有回避其内在的难度，而是通过严谨而又富有洞察力的论述，为读者构建了一个清晰的认知框架。我特别欣赏作者在阐述某些抽象概念时，所采用的类比和比喻，这使得原本晦涩难懂的理论变得更加易于理解，同时也引导我去思考这些理论背后更深层次的哲学含义。这本书给我带来了许多新的研究灵感，我已经在其中找到了一些值得深入挖掘的课题，并计划将其融入到我近期的研究工作中。

评分☆☆☆☆☆

作为一名业余爱好者，我对数学的兴趣主要源于对世界运行规律的好奇。《几何新方法和新体系（第二版）》这本书，以其独特的视角，满足了我这种探索的欲望。它不像我之前读过的许多科普读物那样，仅仅停留在表面现象的描述，而是深入到几何学本身的逻辑结构，并从全新的角度去解读。书中的一些“新方法”着实令人耳目一新，它们改变了我对一些经典几何问题的固有认知，让我看到了解决问题的更多可能性。作者在讲解过程中，非常注重逻辑的连贯性和清晰性，即使是面对一些相对复杂的理论，也能够循序渐进地引导读者理解。我特别喜欢书中讨论的“体系”构建部分，它让我认识到，几何学并非是零散知识点的堆砌，而是一个有机整体，不同分支之间存在着深刻的联系。阅读这本书的过程，更像是一次智力的冒险，每一次翻页都充满了期待，每一次理解都带来了深刻的满足感。

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