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冯荣权，宋春伟 著

图书标签:

• 组合数学
• 离散数学
• 数学
• 算法
• 图论
• 排列组合
• 计数原理
• 数学建模
• 高等数学
• 理论数学

出版社： 北京大学出版社

ISBN：9787301261057

版次：1

商品编码：11754167

包装：平装

丛书名： 北京大学数学教学系列丛书

开本：16开

出版时间：2015-08-01

用纸：胶版纸

页数：328

字数：328000

编辑推荐

本书注重对抽象概念和定理的理解，强调方法的运用以及组合数学在各个领域的应用。该书内容丰富新颖，富有时代气息；叙述简洁明了、逻辑严谨、条理清晰、深入浅出，便于读者理解和掌握。

内容简介

本书是基于作者多年来在北京大学讲授"组合数学" 课程的讲义补充、修改而成的 内容包括组合计数、存在性结果、图论基础、集合相交理论、组合设计、组合的代数和概率方法等. 本书注重对基本概念、基本理论和基本方法的理解和掌握 强调组合思想及组合数学在各个领域的应用.
全书分为十章 第一章给出了本书用到的一些基本概念以及初等计数方法; 第二章至第五章给出几种组合计数的方法 如递推关系、生成函数、容斥原理、Polya 计数定理等 以及几个重要的组合数 如Catalan 数、Stirling 数、分拆数等; 第六章给出鸽笼原理以及它的推广—— Ramsey 理论和相异代表系等存在性结果; 第七章介绍了图论的基础知识; 第八章介绍了初步的集合相交理论; 第九章详细介绍了组合设计理论; 第十章简要介绍了组合数学的概率方法. 书中每章之后都配有丰富的习题 书末给出了习题的解答或提示 便于教师教学与学生自学时选用和参考.
本书可以作为高等院校数学及相关学科的本科生和研究生"组合数学" 课程的教材或教学参考书 也可供数学、计算机、生物、信息通信、经济等学科的科技工作者参考.

作者简介

冯荣权：北京大学教授，博士生导师。宋春伟：北京大学教授，博士生导师。

目录

第一章 预备知识 1
1.1 集合, 关系, 函数 1
1.2 偏序集 3
1.3 初等计数方法 6
1.4 组合恒等式 14
习题一 19
第二章 递推关系与生成函数 22
2.1 线性齐次递推关系 22
2.2 线性非齐次递推关系 27
2.3 生成函数理 30
2.3.1 普通生成函数 39
2.3.2 指数型生成函数 43
2.3.3 Dirichlet 生成函数 50
习题二 56
第三章 容斥原理及其推广 59
3.1 容斥原理在计数理论中的应用 59
3.2 偏序集上的M?obius 反演 66
3.3 生成函数与容斥原理的推广 77
习题三 81
第四章 特殊计数序列 83
4.1 Catalan 数, Dyck 路, q-模拟和组合统计量 83
4.2 Schroder 数, Schroder 路和格路径 95
4.3 第一、二类Stirling 数 100
4.4 分拆数 109
习题四 116
第五章 Polya 计数定理 120
5.1 问题的提出 120
5.2 置换群, 群在集合上的作用 121
5.3 Polya 计数定理 128
5.4 带权的P?olya 计数定理 132
习题五 139
第六章 鸽笼原理, Ramsey 理论和相异代表系 140
6.1 鸽笼原理及其应用 140
6.2 从鸽笼原理到Ramsey 定理 146
6.3 相异代表系和Hall 定理 152
习题六 156
第七章 图论简介 159
7.1 一些基本概念 159
7.2 树 165
7.3 欧拉图和Hamilton 图 169
7.4 染色理论 172
7.5 匹配与覆盖 178
7.6 完美图 183
习题七 188
第八章 代数结构与集合相交的理论 191
8.1 偶镇与奇镇 191
8.2 相交的集合 196
8.3 几个经典结果 204
8.4 多项式空间 209
习题八 214
第九章 组合设计 216
9.1 关联结构 216
9.2 t-设计 218
9.3 平衡不完全区组设计 223
9.4 Hadamard 矩阵和Hadamard 设计 232
9.5 差集 238
9.6 正交拉丁方 243
习题九 254
第十章 概率的方法 260
10.1 几个例子 260
10.2 线性与修补 265
10.3 二阶矩 275
10.4 Lovasz 局部定理 285
习题十 291
参考文献 292
习题答案与提示 298

前言/序言

《算法的奥秘》 在这本引人入胜的《算法的奥秘》中，我们将踏上一段探索计算世界基石的非凡旅程。本书并非枯燥乏味的理论堆砌，而是通过精巧的案例、生动的讲解和严谨的逻辑，揭示构成我们数字生活核心的算法思维。 为何算法如此重要？ 从搜索引擎的精准匹配，到社交媒体的个性化推荐，再到导航软件的实时路线规划，算法无处不在，深刻地影响着我们的日常生活。它们是信息时代高效运转的驱动力，是解决复杂问题的强大工具。理解算法，就是理解现代科技的脉搏，掌握驾驭信息洪流的能力。 本书将带您领略什么？ 《算法的奥秘》将带领您深入浅出地探索一系列经典的算法思想与技术： 排序的艺术： 我们将从最基础的冒泡排序、插入排序开始，逐步深入到更高效的快速排序、归并排序。您将理解不同排序算法的时间复杂度和空间复杂度，以及它们在实际应用中的优劣势，学会如何选择最适合特定场景的排序方法。 搜索的智慧： 从简单的线性搜索，到二分查找的效率提升，再到更复杂的哈希查找、树形查找，我们将剖析不同搜索算法的原理和效率。您将明白如何快速准确地从海量数据中提取所需信息。 图论的魅力： 图，作为一种强大的数据结构，能够优雅地表示对象之间的关系。本书将带您探索图的遍历（如广度优先搜索、深度优先搜索）、最短路径算法（如Dijkstra算法、Floyd-Warshall算法）以及最小生成树算法（如Prim算法、Kruskal算法）。这些算法在网络分析、路径规划、资源分配等领域有着广泛的应用。 动态规划的精妙： 对于一些具有重叠子问题和最优子结构的问题，动态规划提供了一种系统性的解决方案。我们将通过斐波那契数列、背包问题、最长公共子序列等经典例子，逐步掌握动态规划的“记忆化”和“自底向上”的思想，学会如何将复杂问题分解为可管理的小问题，并从中找到最优解。 贪心算法的直觉： 在某些情况下，遵循局部最优策略也能导向全局最优解。本书将介绍贪心算法的原理，并通过活动选择问题、霍夫曼编码等例子，展示其简洁高效的特点。 字符串匹配的技巧： 如何高效地在一段文本中查找另一个字符串？我们将探讨朴素匹配算法，以及更先进的KMP算法和Boyer-Moore算法，理解它们如何通过预处理和巧妙的模式匹配来大幅提升搜索效率。 基本的数论算法： 了解素数、最大公约数、模运算等基础数论概念，以及与之相关的欧几里得算法等，它们在密码学、哈希函数等领域扮演着重要角色。 本书的独特之处： 《算法的奥秘》并非仅仅罗列算法的定义和公式，而是注重： 直观理解： 我们将运用大量图示、类比和生活中的例子，帮助您建立对算法的直观理解，而非死记硬背。 实践导向： 每种算法的讲解都将与实际应用场景相结合，让您看到算法的价值和力量。 思维训练： 本书旨在培养您的逻辑思维能力、抽象思维能力和问题解决能力，让您在面对新问题时，能够运用算法思维找到解决方案。 循序渐进： 内容从易到难，逐步深入，无论您是计算机科学的初学者，还是希望巩固算法基础的开发者，都能从中受益。 您将收获什么？ 阅读《算法的奥秘》后，您将： 深刻理解计算的本质： 掌握解决问题的核心方法和思想。 提升编程能力： 能够写出更高效、更优化的代码。 增强问题解决能力： 面对复杂问题时，能够有条理地分析和寻找解决方案。 为进一步学习打下坚实基础： 为人工智能、机器学习、数据科学等前沿领域的研究奠定根基。 无论您是学生、开发者、数据分析师，还是任何对计算世界充满好奇的人，《算法的奥秘》都将是您不可或缺的学习伴侣。让我们一起揭开算法的神秘面纱，探索其无穷的奥秘！

评分☆☆☆☆☆

初次接触《组合数学》这本书，我便被其独特的叙事风格所吸引。它没有像许多专业书籍那样，一开始就陷入理论的海洋，而是以一种更加亲切和生活化的方式，将我带入组合数学的世界。作者在开篇就通过一些引人入胜的“小故事”或者“谜题”，比如如何从一群人中选出代表，如何设计一个最优的路线图，或者如何计算各种彩票的中奖概率，来引发读者的思考，并自然而然地引出组合数学中的核心概念。我尤其欣赏本书在解释排列和组合时所使用的“情境化”方法。它不仅仅是给出公式，而是通过分析不同情境下的“选择”和“排序”问题，让读者在实际操作中理解这些概念的差异和联系。例如，在讲解排列时，作者会用“安排班级座位”的例子，而讲解组合时，则会用“从班级中选出参加比赛的选手”的例子，这种细致的区分，对于初学者来说，无疑是极有帮助的。书中对图论的介绍也给我留下了深刻的印象，作者没有止步于定义和定理，而是通过分析“社交网络的人际关系”、“物流配送的路径优化”等实际应用，展现了图论在现代社会中的重要价值。我特别喜欢作者在讲解某些复杂证明时所展现出的“耐心和清晰”，它不是简单地罗列逻辑步骤，而是通过分解问题、引导思考，让读者能够理解每一个步骤的必要性和合理性，最终在豁然开朗中掌握证明的精髓。这本书，不仅仅是一本数学书籍，更像是一位智慧的导师，它引导我用一种全新的视角去观察和理解这个充满数学规律的世界。

评分☆☆☆☆☆

《组合数学》这本书，对我来说，是一次意外而惊喜的探索之旅。在阅读它之前，我对组合数学的认知，可能还停留在“排列”和“组合”这两个简单的概念上，总觉得它是一门相对“边缘”的学科。然而，这本书以其宏大的视野和深入的分析，彻底改变了我的看法。作者并没有将组合数学局限于孤立的计算，而是将其置于更广阔的数学体系和实际应用场景之中。我尤其欣赏本书对“计数”这一基本数学思想的深刻阐释，它不仅仅是简单的数量统计，更是对事物结构和排列规律的深刻洞察。作者通过大量的实例，比如如何计算不同排列组合的可能性，如何分析概率事件的发生概率，甚至是如何构建复杂的编码系统，都充分展现了组合数学在这些领域的强大应用力。书中对“图论”的介绍也让我印象深刻，它将抽象的点和线，转化为了对现实世界中各种连接和关系的直观描述，比如人际关系、交通网络、甚至信息传播的路径。我特别喜欢作者在解释复杂数学定理时所使用的“类比”和“比喻”，它能够有效地将抽象的概念转化为易于理解的形象，比如将母函数比作一个“信息打包器”，将容斥原理比作一种“巧妙的排除法”，这些生动的比喻，让我不仅理解了定理本身，更理解了定理背后的思想。这本书，不仅丰富了我的数学知识，更重要的是，它培养了我用数学的眼光去审视和分析问题的能力，让我看到了数学在解决现实问题中的无限可能。

评分☆☆☆☆☆

初次捧读《组合数学》这本书，内心着实有过一丝忐忑，毕竟“数学”二字，总容易让人联想到枯燥的符号和繁琐的推导。然而，这本书却以一种近乎文学的细腻笔触，将数学的严谨与趣味完美融合。作者并没有一开始就抛出复杂的定义和定理，而是从一系列生动有趣的故事和问题入手，比如古老的游戏规则、棋盘上的策略、甚至是生活中关于选择与排列的困惑，巧妙地将读者的注意力引向了组合数学的核心。我惊喜地发现，那些我曾认为遥不可及的数学概念，在作者的笔下变得触手可及，甚至充满了诗意。例如，在讲解二项式定理时，作者没有直接给出公式，而是通过一个关于“如何统计不同颜色小球的组合方式”的场景，层层递进，让读者在不知不觉中理解了公式的由来和意义。书中对于图论的阐述也十分精彩，从简单的网络连接问题，到复杂的路径寻找，作者用形象的比喻和直观的图示，让抽象的图论概念变得生动起来。我特别喜欢作者在讲解某些证明时所采用的“故事化”叙事方式，它不像传统的教科书那样，仅仅给出逻辑推理，而是通过引入一个情境，让读者理解为什么需要这样的证明，以及证明的思路是如何产生的。这种方式不仅降低了阅读门槛，更重要的是，它培养了读者主动思考和探索数学问题的能力。这本书的结构安排也非常合理，循序渐进，难度适中，让我在享受阅读乐趣的同时，也能逐步掌握组合数学的精髓。它不是一本让你“死记硬背”的书，而是一本引导你“理解和思考”的书，每一次阅读，都像是在与一位睿智的长者进行思想的交流，收获良多。

评分☆☆☆☆☆

当我第一次看到《组合数学》这本书的封面时，内心涌起的既有对知识的渴望，也有对数学“冷硬”印象的些许担忧。然而，翻开书页，我才意识到，这种担忧完全是多余的。作者以一种极其生动且富有启发性的方式，将组合数学这个庞大的知识体系呈现在读者面前。本书最让我着迷的地方在于，它将抽象的数学概念与我们生活中的具体事例紧密结合。比如，在讲解排列组合时，作者并没有仅仅给出公式，而是通过“如何安排一场旅行的行程”、“如何分配团队的任务”等场景，让读者在解决这些实际问题的过程中，自然而然地理解了排列与组合的含义和应用。书中对鸽巢原理的阐述更是让我拍案叫绝，作者用极其简单的例子，比如“任意两个具有相同姓氏的人一定存在于这个小组”，就将这个强大的原理解释得淋漓尽致，让我深刻体会到数学在揭示事物本质上的简洁与高效。此外，本书对于图论的介绍也同样精彩，作者通过对网络连接、路径规划等问题的深入分析，展现了图论在解决实际问题中的强大能力。我特别欣赏作者在讲解证明过程时所展现出的“清晰逻辑”和“严谨性”，它并非枯燥乏味的逻辑堆砌，而是循序渐进，层层递进，引导读者一步步走向结论，在这个过程中，我不仅学到了知识，更重要的是，我体验到了数学思维的魅力。这本书就像一位循循善诱的老师，它不强迫你记住知识，而是引导你理解知识，让你在不知不觉中，爱上组合数学的严谨与优美。

评分☆☆☆☆☆

拿到《组合数学》这本书，我最直观的感受就是它的“厚重感”——并非指纸张的厚实，而是内容上的丰富与深刻。然而，这种厚重感并没有带来压迫感，反而是一种沉甸甸的期待。作者并没有像很多数学书籍那样，以一套标准化的理论框架开始，而是选择了一种更加“接地气”的方式，从我们身边最熟悉的现象出发，比如如何安排座位，如何分配任务，如何计算可能的结果等等，这些日常生活中看似简单的问题，却恰恰是组合数学最核心的应用场景。我尤其惊叹于作者对不同数学分支之间联系的梳理，它不仅仅是讲解排列组合，更巧妙地将概率论、图论、甚至离散代数等概念融入其中，构建了一个更加宏大和完整的组合数学知识体系。阅读过程中，我常常被书中提出的那些“意想不到”的解法所折服，比如如何用一个简单的计数方法解决看似复杂的概率问题，或者如何通过图的性质来理解信息的传递。作者在解释复杂概念时，总是能够找到恰当的比喻和类比，让那些抽象的数学语言变得鲜活起来。例如，在介绍母函数时，作者将其比作一个“信息编码器”，能够将序列的信息浓缩其中，这个比喻让我瞬间茅塞顿开，对母函数有了全新的认识。本书的另一大亮点在于其对数学思维的培养，它不仅仅教授“术”，更强调“道”。作者在引导读者解决问题的过程中，反复强调思路的形成、方法的选择以及逻辑的严谨，这种思维训练，对于任何希望在数学领域有所建树的读者来说，都具有至关重要的意义。这本书，更像是一次系统性的思维体操，它挑战你的逻辑，拓展你的视野，最终让你以一种全新的视角去审视和理解这个世界。

评分☆☆☆☆☆

当我拿起《组合数学》这本书时，我预设了一种可能会遇到的阅读体验：大量的公式，抽象的证明，以及对普通读者不太友好的语言。然而，这本书却以一种极其出人意料的方式，打破了我的所有预设。作者的写作风格，与其说是严谨的学术论述，不如说是一场充满智慧的“导览”。他从最基础的计数问题开始，就像是在带领我们一步步走进一个精巧的数学迷宫。每一个概念的引入，都伴随着一个引人入胜的实例，比如如何安排一场聚会的座位，如何计算一个复杂的游戏中获胜的概率，甚至是如何设计一种能够隐藏信息的编码。我尤其惊叹于作者对“递推关系”和“母函数”的讲解。他没有直接抛出复杂的公式，而是通过构建一个“信息生成”的模型，让读者在理解问题本身的同时，自然而然地掌握了这些强大的工具。这种“寓教于乐”的方式，让我在享受阅读乐趣的同时，也能够深刻理解这些数学概念。书中对“图论”的介绍也同样精彩，作者通过对网络连接、最短路径、以及图的着色问题等方面的深入探讨，展现了图论在现实世界中的广泛应用，从交通规划到社交网络的分析，无不闪耀着图论智慧的光芒。我特别喜欢作者在阐述复杂证明时所展现出的“逻辑严谨”和“条理清晰”，他总是能够将问题分解，一步步引导读者得出结论，在这个过程中，我不仅学到了知识，更重要的是，我体验到了数学思维的魅力。这本书，对我而言，不仅仅是一本学习组合数学的工具书，更是一次思维的启迪，让我看到了数学在理解和解决世界问题中的巨大力量。

评分☆☆☆☆☆

《组合数学》这本书，在我看来，与其说是一本教科书，不如说是一本关于“如何思考”的指南。作者以一种极其巧妙的方式，将那些看似晦涩的数学概念，融入到我们日常生活中随处可见的现象之中。从安排一场演唱会的座位顺序，到计算不同投资组合的收益概率，再到理解复杂的数据压缩算法，书中无处不体现着组合数学的智慧。我最喜欢的是作者对于“计数”这个基本数学思想的深入挖掘。他并没有简单地罗列计数公式，而是通过分析各种不同的“选择”和“排列”方式，引导读者去理解为什么会有这些公式，以及公式背后的逻辑是什么。这种“溯本追源”的讲解方式，让我对数学的理解更加深刻。书中对“图论”的介绍也给我留下了深刻的印象。作者没有拘泥于理论的抽象，而是通过大量的实际应用场景，比如社交网络的分析、交通网络的优化、甚至是游戏中的策略设计，让图论的魅力得以充分展现。我尤其欣赏作者在讲解某些复杂概念时所使用的“直观比喻”，比如将母函数比作一个“信息编码器”，将容斥原理比作一个“巧妙的排除法”。这些生动的比喻，极大地降低了阅读门槛，让我在享受阅读乐趣的同时，也能够深刻理解这些数学概念。这本书的阅读体验，是那种“欲罢不能”的感觉，每一次翻开，都能发现新的惊喜，每一次合上，都觉得自己的思维得到了升华。它不仅仅是一本数学工具书，更是一次思维的洗礼，让我看到了数学在理解和解决现实问题中的无穷魅力。

评分☆☆☆☆☆

这本书，名为《组合数学》，当我第一次翻开它时，脑海中闪过的便是那些关于排列、组合、二项式定理以及更深层次的图论、母函数等概念的片段。然而，随着阅读的深入，我惊讶地发现，它并非仅仅是将这些枯燥的数学公式堆砌在一起，而是以一种极其精巧的方式，将看似抽象的数学语言转化为能够触及我们日常生活的精彩故事。作者在开篇就为我们勾勒了一个引人入胜的宏大图景，从古代计数难题到现代信息科学的基石，无不闪耀着组合数学智慧的光芒。书中充斥着大量的实例，从如何安排一场音乐会的曲目顺序，到如何设计高效的网络传输路径，再到如何理解基因序列的排列组合，每一个例子都经过精心挑选，既贴近生活，又充分展示了组合数学的强大应用力。更难得的是，作者并没有止步于简单的应用展示，而是深入剖析了这些数学工具背后的逻辑和思想。阅读的过程，更像是一次智力的探险，每一次解决一个问题，每一次理解一个定理，都伴随着一种豁然开朗的喜悦。书中对证明的阐述也独具匠心，并非简单罗列，而是循序渐进，引导读者一步步走进证明的逻辑世界，培养严谨的数学思维。我尤其欣赏作者对于一些经典组合学问题的讲解，比如鸽巢原理的巧妙运用，如何在看似无关的现象中发现内在的数学规律，这种思维方式的启迪，远比记住几个公式更为宝贵。对于那些对数学怀有好奇，但又曾因其抽象而却步的读者来说，《组合数学》无疑是一扇通往数学殿堂的友善之门，它让你在不知不觉中，爱上数学的严谨与优美，并惊叹于它无处不在的魅力。这本书的阅读体验，可以说是流畅而深刻的，它不炫技，不卖弄，只是用最真诚的笔触，向你展示组合数学这个迷人世界的无限可能。

评分☆☆☆☆☆

《组合数学》这本书，在我看来，与其说是一本数学教材，不如说是一本充满智慧的“解谜指南”。作者以一种非常独特的方式，将那些我们可能只在高中或大学课程中零星接触过的组合学概念，编织成了一张张引人入胜的“数学地图”。从最基础的计数原理，到更高级的生成函数和容斥原理，每一步都如同在探索一个未知的领域，而作者则是一位耐心而智慧的向导。我尤其欣赏本书在引入概念时的“循序渐进”原则，它不会一开始就抛出大量晦涩的术语，而是通过一系列精心设计的“小品式”问题，引导读者自行发现和理解数学规律。例如，在讲解“卡特兰数”时，作者并没有直接给出定义，而是从“不同方式的括号匹配”以及“不同形状的多边形划分”等一系列有趣的问题入手，让读者在解决这些问题的过程中，自然而然地接触到卡特兰数的概念及其性质。书中对于图论的讲解也给我留下了深刻的印象，作者没有拘泥于理论的抽象，而是通过大量的实际应用场景，比如社交网络的分析、交通网络的优化、甚至是游戏中的策略设计，让图论的魅力得以充分展现。我特别喜欢作者在分析问题时所展现出的“多角度思考”能力，它教会我们，面对一个复杂的组合问题，往往有多种不同的解题思路，而理解这些不同的思路，本身就是一种巨大的收获。这本书的阅读体验，是那种“欲罢不能”的感觉，每一次翻开，都能发现新的惊喜，每一次合上，都觉得自己的思维得到了升华。它不仅提升了我的数学能力，更重要的是，它让我看到了数学在解决实际问题中的巨大力量和无穷魅力。

评分☆☆☆☆☆

《组合数学》这本书，对我而言，就像是一扇开启了全新思考方式的窗户。在阅读之前，我对组合数学的印象仅限于教科书中那些冷冰冰的公式和题目，总觉得它与现实生活遥不可及。然而，这本书彻底颠覆了我的认知。作者从一系列我们日常生活中常见的场景出发，比如如何安排一个包含多种选择的活动、如何计算不同奖项的组合概率、甚至是如何设计一个高效的数据存储方案，都巧妙地将组合数学的原理融入其中。我尤其惊叹于作者对“计数”这个基本概念的深入挖掘，它不仅仅是简单的加减乘除，而是通过对各种约束条件和组合方式的细致分析，展现了计数问题的复杂性和趣味性。书中对“容斥原理”的讲解，更是让我眼前一亮，作者通过一个关于“统计同时满足多个条件的学生人数”的例子，将这个看似复杂的原理解释得通俗易懂，让我深刻体会到在排除重复计数时的精妙之处。此外，本书对母函数和生成函数的介绍，也让我耳目一新。作者没有直接给出现成的公式，而是通过构建一个“信息编码”的视角，引导读者理解母函数如何能够简洁地表达和解决复杂的组合问题。这种“由浅入深、由易到难”的讲解方式，极大地降低了阅读门槛，让我能够在享受阅读乐趣的同时，逐步掌握组合数学的精髓。这本书，对我而言，不仅仅是知识的获取，更是一次思维的启迪，让我学会用更加系统和严谨的视角去分析和解决问题。

评分☆☆☆☆☆

这本书很全面，比高教社出版的那本解析几何详细一点。

评分☆☆☆☆☆

书的内容不错，对正在学理论力学的我帮助很大

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很好的一本书数学味道很大

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发货速度很快，当天就收到，包装很好，是正版。

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速度特别快，第一天下单，第二天就到啦！???

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哎又要学组合数学 心疼自己

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武装自己从基础知识开始

评分☆☆☆☆☆

书很好，作为教材使用，送货快，用券更实惠。

评分☆☆☆☆☆

宝贝很好，实惠，价格低，服务周到，好评！