发表于2024-11-22
《数值分析与算法(第2版)/清华大学计算机系列教材》是针对“数值分析”、“计算方法”、“数值分析与算法”等课程编写的教材,主要面向理工科大学信息科学与技术各专业,以及信息与计算科学专业的本科生。本书内容包括数值计算基础、非线性方程的数值解法、线性方程组的直接解法与迭代解法、矩阵特征值与特征向量的计算、数值逼近与插值、数值积分方法、常微分方程初值问题的解法,以及数值算法与应用的知识。本书涵盖数值分析、矩阵计算领域zui基本、zui常用的一些知识与方法,而且在算法及应用方面增加了一些较新的内容。在叙述上既注重理论的严谨性,又强调方法的应用背景、算法设计,以及不同方法的对比。为了增加实用性与可扩展性,每章配备了应用实例、算法背后的历史、评述等子栏目,书末附有算法、术语索引。在附录中还包括MATLAB软件的简介,便于读者快速掌握并进行编程实验。
本书适合作为高年级本科生或研究生的教材,也可供从事科学与工程计算的科研人员参考。
喻文健,清华大学计算机系副教授。1999年、2003年先后毕业于清华大学计算机系,获得工学学士与博士学位,随后留校任教。2005年9月至2008年1月,多次赴美国加州大学圣迭戈分校(UC San Diego)计算机系担任访问学者。目前为IEEE高级会员、中国计算机学会“计算机辅助设计与图形学”专业委员会委员,担任多个国际、国内学术期刊的编委及论文评审专家。主要从事数值算法与软件、集成电路与系统的计算机辅助设计等方面的教学与科研工作,发表SCI检索的国际期刊论文30多篇。2014年由Springer公司出版专著《Advanced Field-Solver Techniques for RC Extraction of Integrated Circuits》,此外出版译著多本。获2005年“全国优秀博士论文”提名,2010年清华大学科研成果推广应用效益奖,2014年获批国家自然科学基金优秀青年基金项目。
第1章数值计算导论1
1.1概述1
1.1.1数值计算与数值算法1
1.1.2数值计算的问题与策略2
1.1.3数值计算软件4
1.2误差分析基础6
1.2.1数值计算的近似6
1.2.2误差及其分类7
1.2.3问题的敏感性与数据传递误差估算11
1.2.4算法的稳定性13
1.3计算机浮点数系统与舍入误差15
1.3.1计算机浮点数系统15
1.3.2舍入与机器精度18
1.3.3浮点运算的舍入误差19
1.3.4抵消现象21
1.4保证数值计算的准确性22
1.4.1减少舍入误差的几条建议22
1.4.2影响结果准确性的主要因素24
评注25
算法背后的历史: 浮点运算的先驱——威廉·卡亨26
练习题28
上机题29
第2章非线性方程求根30
2.1引言30
2.1.1非线性方程的解30
2.1.2问题的敏感性31
2.2二分法31
2.2.1方法原理31
2.2.2算法稳定性和结果准确度33
2.3不动点迭代法35
2.3.1基本原理35
2.3.2全局收敛的充分条件36
2.3.3局部收敛性38
2.3.4稳定性与收敛阶38
2.4牛顿迭代法40
2.4.1方法原理40
2.4.2重根的情况42
2.4.3判停准则43
2.4.4牛顿法的问题43
2.5割线法与抛物线法44
2.5.1割线法44
2.5.2抛物线法46
2.6实用的方程求根技术46
2.6.1阻尼牛顿法46
2.6.2多项式方程求根47
2.6.3通用求根算法zeroin48
应用实例: 城市水管应埋于地下多深?50
2.7非线性方程组和有关数值软件52
2.7.1非线性方程组52
2.7.2非线性方程求根的相关软件54
评述55
算法背后的历史: 牛顿与牛顿法56
练习题57
上机题58
第3章线性方程组的直接解法59
3.1基本概念与问题的敏感性59
3.1.1线性代数中的有关概念59
3.1.2向量范数与矩阵范数62
3.1.3问题的敏感性与矩阵条件数65
3.2高斯消去法69
3.2.1基本的高斯消去法69
3.2.2高斯�苍嫉毕�去法72
3.3矩阵的LU分解75
3.3.1高斯消去过程的矩阵形式75
3.3.2矩阵的直接LU分解算法79
3.3.3LU分解的用途82
3.4选主元技术与算法稳定性83
3.4.1为什么要选主元83
3.4.2使用部分主元技术的LU分解85
3.4.3其他选主元技术89
3.4.4算法的稳定性90
3.5对称正定矩阵与带状矩阵的解法91
3.5.1对称正定矩阵的Cholesky分解91
3.5.2带状线性方程组的解法95
应用实例: 稳态电路的求解97
3.6有关稀疏线性方程组的实用技术99
3.6.1稀疏矩阵基本概念99
3.6.2MATLAB中的相关功能102
3.7有关数值软件104
评述106
算法背后的历史: 威尔金森与数值分析107
练习题108
上机题110
第4章线性方程组的迭代解法112
4.1迭代解法的基本理论112
4.1.1基本概念112
4.1.21阶定常迭代法的收敛性113
4.1.3收敛阶与收敛速度116
4.2经典迭代法118
4.2.1雅可比迭代法118
4.2.2高斯�踩�德尔迭代法119
4.2.3逐次超松弛迭代法121
4.2.4三种迭代法的收敛条件123
应用实例: 桁架结构的应力分析126
4.3共轭梯度法简介128
4.3.1最速下降法128
4.3.2共轭梯度法131
4.4各种方法的比较135
4.4.1迭代法之间的比较135
4.4.2直接法与迭代法的对比138
4.5有关数值软件139
评述140
算法背后的历史: 雅可比142
练习题143
上机题144
第5章矩阵特征值计算146
5.1基本概念与特征值分布146
5.1.1基本概念与性质146
5.1.2特征值分布范围的估计150
5.2幂法与反幂法152
5.2.1幂法152
5.2.2加速收敛的方法156
5.2.3反幂法158
应用实例: Google的PageRank算法160
5.3矩阵的正交三角化162
5.3.1Householder变换163
5.3.2Givens旋转变换165
5.3.3矩阵的QR分解166
5.4所有特征值的计算与QR算法170
5.4.1收缩技术170
5.4.2基本QR算法171
5.4.3实用QR算法的有关技术173
5.5有关数值软件177
评述178
算法背后的历史: A.Householder与矩阵分解179
练习题180
上机题183
第6章函数逼近与函数插值185
6.1函数逼近的基本概念185
6.1.1函数空间185
6.1.2函数逼近的不同类型188
6.2连续函数的最佳平方逼近190
6.2.1一般的法方程方法190
6.2.2用正交函数族进行逼近194
6.3曲线拟合的最小二乘法197
6.3.1问题的矩阵形式与法方程法198
6.3.2用正交化方法求解最小二乘问题202
应用实例: 原子弹爆炸的能量估计206
6.4函数插值与拉格朗日插值法207
6.4.1插值的基本概念207
6.4.2拉格朗日插值法208
6.4.3多项式插值的误差估计211
6.5牛顿插值法213
6.5.1基本思想213
6.5.2差商与牛顿插值公式214
6.6分段多项式插值219
6.6.1高次多项式插值的病态性质219
6.6.2分段线性插值220
6.6.3分段埃尔米特插值221
6.6.4保形分段插值224
6.7样条插值函数226
6.7.1三次样条插值226
6.7.2三次样条插值函数的构造227
6.7.3B�惭�条函数229
评述232
算法背后的历史: 拉格朗日与插值法233
练习题234
上机题236
第7章数值积分与数值微分238
7.1数值积分概论238
7.1.1基本思想238
7.1.2求积公式的积分余项与代数精度240
7.1.3求积公式的收敛性与稳定性241
7.2牛顿�部绿厮构�式242
7.2.1柯特斯系数与几个低阶公式242
7.2.2牛顿�部绿厮构�式的代数精度244
7.2.3几个低阶公式的余项245
7.3复合求积公式246
7.3.1复合梯形公式246
7.3.2复合辛普森公式247
7.3.3步长折半的复合求积公式计算249
7.4Romberg积分算法250
7.4.1复合梯形公式的余项展开式250
7.4.2理查森外推法251
7.4.3Romberg算法252
7.5自适应积分算法254
7.5.1自适应积分的原理255
7.5.2一个具体的自适应积分算法255
7.6高斯求积公式258
7.6.1一般理论258
7.6.2高斯�怖杖玫禄�分公式及其他261
应用实例: 探月卫星轨道长度计算263
7.7数值微分264
7.7.1基本的有限差分公式265
7.7.2插值型求导公式266
7.7.3数值微分的外推算法268
评述269
算法背后的历史: “数学王子”高斯271
练习题272
上机题273
第8章常微分方程初值问题的解法275
8.1引言275
8.1.1问题分类与可解性275
8.1.2问题的敏感性276
8.2简单的数值解法与有关概念278
8.2.1欧拉法278
8.2.2数值解法的稳定性与准确度280
8.2.3向后欧拉法与梯形法282
8.3龙格�部馑�方法284
8.3.1基本思想284
8.3.2几种显式R�睰公式285
8.3.3显式R�睰公式的稳定性与收敛性289
8.3.4自动变步长的R�睰方法290
8.4多步法292
8.4.1多步法公式的推导292
8.4.2Adams公式295
8.4.3更多讨论298
8.5常微分方程组与实用技术299
8.5.11阶常微分方程组299
8.5.2MATLAB中的实用ODE求解器302
应用实例: 洛伦兹吸引子306
评述308
算法背后的历史: “数学家之英雄”欧拉309
练习题310
上机题312
附录A有关数学记号的说明314
附录BMATLAB简介316
附录C部分习题答案336
算法索引339
术语索引341
参考文献349第1章数值计算导论1
1.1概述1
1.1.1数值计算与数值算法1
1.1.2数值计算的问题与策略2
1.1.3数值计算软件4
1.2误差分析基础6
1.2.1数值计算的近似6
1.2.2误差及其分类7
1.2.3问题的敏感性与数据传递误差估算11
1.2.4算法的稳定性14
1.3计算机浮点数系统与舍入误差15
1.3.1计算机浮点数系统16
1.3.2舍入与机器精度18
1.3.3�掣〉阍怂愕纳崛胛蟛�20
1.3.4抵消现象21
1.4保证数值计算的准确性22
1.4.1减少舍入误差的几条建议22
1.4.2影响结果准确性的主要因素25
评注26
算法背后的历史: 浮点运算的先驱——威廉·卡亨27
练习题28
上机题29
第2章非线性方程求根31
2.1引言31
2.1.1非线性方程的解31
2.1.2问题的敏感性32
2.2二分法32
2.2.1方法原理32
2.2.2算法稳定性和结果准确度34
2.3不动点迭代法36
2.3.1基本原理36
2.3.2全局收敛的充分条件37
2.3.3局部收敛性38
2.3.4稳定性与收敛阶39
2.4牛顿迭代法41
2.4.1方法原理41
2.4.2重根的情况43
数值分析与算法(第2版)目录2.4.3判停准则44
2.4.4牛顿法的问题44
2.5割线法与抛物线法45
2.5.1割线法45
2.5.2�撑孜锵叻�46
2.6实用的方程求根技术47
2.6.1阻尼牛顿法47
2.6.2�扯嘞钍椒匠糖蟾�48
2.6.3�惩ㄓ们蟾�算法zeroin48
应用实例: 城市水管应埋于地下多深?51
2.7非线性方程组和有关数值软件52
2.7.1�撤窍咝苑匠套�52
2.7.2非线性方程求根的相关软件54
评述55
算法背后的历史: 牛顿与牛顿法56
练习题57
上机题58
第3章线性方程组的直接解法60
3.1基本概念与问题的敏感性60
3.1.1线性代数中的有关概念60
3.1.2向量范数与矩阵范数63
3.1.3问题的敏感性与矩阵条件数66
3.2高斯消去法70
3.2.1基本的高斯消去法70
3.2.2�掣咚躬踩舻毕�去法72
3.3矩阵的LU分解76
3.3.1高斯消去过程的矩阵形式76
3.3.2矩阵的直接LU分解算法80
3.3.3LU分解的用途83
3.4选主元技术与算法稳定性84
3.4.1为什么要选主元84
3.4.2使用部分主元技术的LU分解86
3.4.3其他选主元技术90
3.4.4算法的稳定性91
3.5对称正定矩阵与带状矩阵的解法92
3.5.1对称正定矩阵的Cholesky分解92
3.5.2带状线性方程组的解法96
应用实例: 稳态电路的求解98
3.6�秤泄叵∈柘咝苑匠套榈氖涤眉际�99
3.6.1稀疏矩阵基本概念100
3.6.2MATLAB中的相关功能102
3.7有关数值软件105
评述107
算法背后的历史: 威尔金森与数值分析108
练习题109
上机题111
第4章线性方程组的迭代解法113
4.1迭代解法的基本理论113
4.1.1基本概念113
4.1.21阶定常迭代法的收敛性114
4.1.3收敛阶与收敛速度117
4.2经典迭代法119
4.2.1雅可比迭代法119
4.2.2高斯�踩�德尔迭代法120
4.2.3逐次超松弛迭代法122
4.2.4三种迭代法的收敛条件124
应用实例: 桁架结构的应力分析127
4.3共轭梯度法129
4.3.1最速下降法129
4.3.2�彻查钐荻确�132
4.4各种方法的比较135
4.4.1迭代法之间的比较136
4.4.2直接法与迭代法的对比139
4.5有关数值软件140
评述141
算法背后的历史: 雅可比142
练习题143
上机题145
第5章矩阵特征值计算147
5.1基本概念与特征值分布147
5.1.1基本概念与性质147
5.1.2特征值分布范围的估计151
5.2幂法与反幂法153
5.2.1幂法153
5.2.2加速收敛的方法157
5.2.3反幂法159
应用实例: Google的PageRank算法161
5.3矩阵的正交三角化163
5.3.1Householder变换164
5.3.2Givens旋转变换166
5.3.3矩阵的QR分解167
5.4所有特征值的计算与QR算法171
5.4.1收缩技术171
5.4.2基本QR算法172
5.4.3�呈涤肣R算法的有关技术174
5.5有关数值软件178
评述179
算法背后的历史: A.Householder与矩阵分解180
练习题181
上机题184
第6章函数逼近与函数插值186
6.1函数逼近的基本概念186
6.1.1函数空间186
6.1.2函数逼近的不同类型189
6.2连续函数的最佳平方逼近191
6.2.1一般的法方程方法191
6.2.2用正交函数族进行逼近195
6.3曲线拟合的最小二乘法198
6.3.1问题的矩阵形式与法方程法199
6.3.2用正交化方法求解最小二乘问题203
应用实例: 原子弹爆炸的能量估计206
6.4函数插值与拉格朗日插值法208
6.4.1插值的基本概念208
6.4.2拉格朗日插值法209
6.4.3多项式插值的误差估计212
6.5牛顿插值法214
6.5.1基本思想214
6.5.2差商与牛顿插值公式215
6.6分段多项式插值220
6.6.1高次多项式插值的病态性质220
6.6.2分段线性插值221
6.6.3分段埃尔米特插值222
6.6.4保形分段插值225
6.7样条插值函数226
6.7.1三次样条插值227
6.7.2三次样条插值函数的构造228
6.7.3�矪�惭�条函数231
评述232
算法背后的历史: 拉格朗日与插值法234
练习题235
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