現代數學基礎叢書·典藏版120 流形拓撲學：理論與概念的實質 下載 mobi epub pdf 電子書 2025

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馬天 著

圖書標籤:

• 數學
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• 理論
• 概念
• 典藏版
• 叢書
• 數學基礎

齣版社： 科學齣版社

ISBN：9787030285508

版次：1

商品編碼：11970740

包裝：平裝

叢書名： 現代數學基礎叢書136

開本：16開

齣版時間：2010-10-01

用紙：膠版紙

頁數：529

字數：670000

正文語種：中文

內容簡介

　　《現代數學基礎叢書·典藏版120： 流形拓撲學：理論與概念的實質》是一部關於流形的拓撲學專著，較全麵和係統地介紹瞭拓撲學大多數重要領域中的理論與方法，內容涉及微分拓撲、同調論、同倫論、微分形式與譜序列、不動點理論、Morse理論，以及嚮量從的示性類理論。同時，書中也介紹瞭作者新發展的流形共軛結構理論，主要結果包括共軛對稱性定理，上、下同調群的幾何化定理，*小共軛元球麵定理。在這些定理基礎上，同調論和同倫論中許多重要定理與結果，如Poincare對偶、Lefschetz對偶，KUnneth公式，上、下同調群，以及Hurewicz定理等的實質及直觀意義變得更清楚瞭。

內頁插圖

目錄

前言/序言

　　拓撲學是數學中最富有成果的學科之一，主要包括一般拓撲（點集拓撲）、微分拓撲、代數拓撲、辛拓撲等幾個分支。拓撲學的研究對象是一般拓撲空間，而流形在拓撲空間中具有特殊的重要性。這是因為歐氏空間Rn與復空間Cn上的所有分析理論與方法都可移植到流形上，這就使得流形起到將拓撲、幾何、分析以及理論物理緊密聯係在一起的中心作用。這些學科的日益融閤已成為當今數學發展的主流方嚮之一。本書正是在這種大趨勢的背景下，以流形為主要對象，較為全麵和係統地介紹拓撲學的基本理論與方法，希望能為促進這方麵的進一步發展作齣一些貢獻。
　　本書主要介紹拓撲學中發展得較為普遍並且成熟的理論、概念與方法，除瞭拓撲K理論外，本書涉及微分拓撲和代數拓撲的幾乎所有重要領域，包括微分流形基本理論，上、下同調論，同調群的對偶性，微分形式，deRham與Hodge理論，同倫論，譜序列及其應用，不動點及其指標公式，不動點類理論，I型和II型Morse理論，示性類理論等，此外，本書還引入作者新發展的一套緊流形的共軛結構理論，應用該理論我們能夠很清楚地理解上、下同調群的本質，並且可以推齣如Poincare對偶定理、Lefschetz對偶定理、Kunneth公式、同調群萬有係數定理，以及關於同倫群與同調群之間關係的Hurewicz定理等許多重要結果。它的優點是直觀性強，容易理解這些定理的實質。特彆地，共軛結構理論的對稱性定理對理解緊流形的拓撲結構是非常有幫助的。

現代數學基礎叢書·典藏版121 經典分析：從微積分到泛函分析的深入探索 叢書定位： 本捲作為“現代數學基礎叢書·典藏版”係列中緊隨拓撲學之後的又一重要基石，旨在為讀者構建起一套嚴謹而連貫的分析學知識體係。它不僅是對經典微積分概念的係統性重述與深化，更是為邁嚮現代分析（如泛函分析、概率論、偏微分方程等）奠定不可或缺的數學基礎。本捲的重點在於揭示分析學的核心思想——極限、收斂性、連續性的內在聯係，並以集閤論和拓撲學的前置知識為工具，對分析學的基本概念進行實數係統下的嚴格構建。 第一部分：實數係統與極限理論的重構 (The Rigorous Foundation of Real Analysis) 本部分將超越初等微積分中對極限直觀的理解，采用集閤論的語言和拓撲學的工具（如開集、閉集、緊緻性等），對實數係統 ($mathbb{R}$) 及其完備性進行徹底的重建。 1.1 集閤論基礎迴顧與序數/基數（選講）： 簡要迴顧必要的集閤論工具，為實數構造提供背景。重點在於理解良序原理與選擇公理在分析學中的隱性作用。 1.2 實數的構造與性質： 采用戴德金分割（Dedekind Cuts）或柯西序列（Cauchy Sequences）的方法，精確構造 $mathbb{R}$，並證明其拓撲性質（如稠密性、阿基米德性、區間套定理）。 1.3 序列與級數的收斂性： 深入探討 $mathbb{R}^n$ 上的點集收斂（依範數、依分量），引入柯西序列作為收斂的內在判據，並詳盡討論絕對收斂、條件收斂、以及各種非均勻收斂的經典例子（如級數項的交換順序對和的影響）。 第二部分：函數空間與連續性 (Continuity, Differentiability, and Uniform Convergence) 本部分將分析的核心工具——函數——置於嚴格的分析框架內進行考察，重點關注函數序列和函數列的收斂行為，這是泛函分析的直接前奏。 2.1 連續性的深入探討： 在度量空間（特彆是 $mathbb{R}^n$）的背景下重新定義連續性，引入 $epsilon-delta$ 語言的強化版本。討論均勻連續性、利普希茨連續性，以及連續函數在緊集上的性質（如最大值、最小值定理）。 2.2 微分學的精煉： 探討 $mathbb{R}^n$ 上的導數與全微分。引入中值定理的嚴格證明，並詳細分析 反函數定理 和 隱函數定理 在幾何和代數上的深刻含義。 2.3 函數序列與序列： 區分逐點收斂與一緻收斂 (Uniform Convergence) 的關鍵差異。重點闡述一緻收斂對微積分運算（極限、積分、微分）順序的影響，並嚴格證明 Weierstrass 逼近定理（即多項式在緊區間上對連續函數的逼近能力）。 第三部分：黎曼積分與勒貝格積分的橋梁 (The Transition to Measure Theory) 本部分旨在平穩地引導讀者從傳統的高中/微積分中的黎曼積分，過渡到現代分析中更強大的勒貝格積分理論，為後續的概率論和泛函分析做好準備。 3.1 黎曼積分的局限性與可積性： 對黎曼可積性給齣嚴格定義，分析不連續函數（如狄利剋雷函數）的積分問題，指齣黎曼積分在處理函數極限時的不足。 3.2 測度論的初步引入： 引入長度、麵積、體積等概念的測度論推廣。定義 開集代數、$sigma$-代數、以及 可測集 的概念。這是理解勒貝格積分的物理和幾何基礎。 3.3 勒貝格可積函數與積分： 構造簡單的、單調的、以及緊湊支撐的函數。定義 簡單函數 的積分。隨後，定義勒貝格積分，並論證其與黎曼積分的關係（黎曼可積 $iff$ 勒貝格可積且積分值相等）。 3.4 核心收斂定理： 詳細介紹和應用現代分析的“三大法寶”：單調收斂定理 (MCT)、法圖引理 (Fatou's Lemma) 和 支配收斂定理 (DCT)。這些定理是控製積分號與極限順序交換的關鍵工具。 第四部分：基本空間結構與賦範綫性空間導論 (Metric Spaces and Introduction to Normed Spaces) 本部分將分析的視角從 $mathbb{R}^n$ 提升到抽象的度量空間，並初步接觸到函數空間的概念。 4.1 度量空間的拓撲性質： 在更一般的度量空間 $(X, d)$ 上重新討論開集、閉集、鄰域、稠密性、完備性（柯西序列）。重點分析 巴拿赫不動點定理 (Banach Fixed Point Theorem) 在解微分方程中的應用。 4.2 緊緻性與可分性： 嚴格定義度量空間中的緊緻性（開覆蓋的有限子集），並證明 Heine-Borel 定理在 $mathbb{R}^n$ 上的等價性。引入可分空間的概念。 4.3 賦範嚮量空間初探： 引入範數 $|cdot|$，將度量空間的概念進一步專業化。討論 Banach 空間（完備的賦範嚮量空間）的初步結構。介紹 等度度量 和 等價範數 的概念，為後續的泛函分析課程做好鋪墊。 本書特色與目標讀者： 本書旨在提供一個堅實且全麵的分析學“骨架”。它要求讀者具備紮實的集閤論和初等代數背景。不同於側重於應用和計算的微積分教材，本捲的重點在於證明的嚴謹性和概念的普遍性。通過對實數係統、收斂性、以及積分理論的深刻剖析，讀者將建立起從初等數學到高等數學的清晰邏輯鏈條，為深入學習實分析、泛函分析、傅裏葉分析或微分幾何打下不可動搖的基礎。本書內容適閤作大學數學專業學生在完成基礎微積分後，進行第一次係統性“分析學重構”的學習使用，也可作為研究生階段復習基礎理論的參考手冊。

評分☆☆☆☆☆

這本書的裝幀質量令人驚艷，紙張的觸感溫潤，散發著淡淡的書墨香，翻開書頁，精美的排版設計和清晰的字體躍然紙上，仿佛一本陳年的藝術品。封麵上的設計簡約而不失力量，恰如其分地預示著其內容的深刻與精煉。初翻閱，便能感受到編者在細節上的用心，無論是章節的劃分，還是插圖的編排，都力求將復雜的數學概念以最直觀、最易於理解的方式呈現齣來。這不僅僅是一本書，更像是一場精心策劃的視覺與思想的盛宴，讓人在品味知識的同時，也享受到瞭閱讀的儀式感。作者在文字運用上也顯得頗為考究，斟酌詞句，力求精確錶達，又不過於晦澀，使得那些通常令人望而生畏的數學定理，在文字的引導下，似乎也變得觸手可及，充滿瞭探索的樂趣。拿到手中，就有瞭一種想要深入研讀的衝動，迫不及待地想去領略它所蘊含的數學世界。

評分☆☆☆☆☆

我一直對那些能夠將抽象概念具象化、能夠構建宏大理論框架的著作心懷敬意，而這本書無疑就是其中的佼佼者。它不僅僅是知識的堆砌，更是一種思維方式的啓迪。作者並非簡單地羅列定理和證明，而是通過層層遞進的講解，如同抽絲剝繭般，引領讀者一步步深入到數學的殿堂。那些看似遙遠抽象的數學概念，在作者的筆下，漸漸有瞭清晰的輪廓，甚至能夠感受到它們之間精妙的聯係和邏輯的嚴謹。尤其令人印象深刻的是，作者在講解過程中，常常會穿插一些曆史的溯源和思想的演變，這不僅增加瞭閱讀的趣味性，更讓讀者能夠理解這些數學分支是如何在人類智慧的長河中逐漸孕育和發展起來的，這種宏觀視角，讓學習不再是枯燥的記憶，而是一種對人類理性探索過程的感悟。

評分☆☆☆☆☆

這本書的齣現，對我來說，更像是在迷霧中看到瞭一束光。我一直對數學中的某些“黑箱”感到睏惑，感覺自己隻是停留在錶麵，無法真正理解其背後的深刻含義。而這本書，則為我打開瞭一扇通往更深層次理解的大門。它沒有迴避數學的嚴謹性，但又以一種非常人性化的方式，將那些復雜的概念拆解開來，並用生動形象的語言加以闡釋。我尤其喜歡作者在解釋某些核心概念時所采用的比喻和類比，這些方式非常巧妙地幫助我跨越瞭抽象思維的鴻溝，讓我能夠從一個全新的角度去審視那些我曾經難以理解的數學對象。讀完之後，感覺自己仿佛完成瞭一次精神上的“升級”，對某些數學問題的看法不再停留在錶麵，而是能夠洞察其內在的結構和邏輯，這種感覺非常令人滿足。

評分☆☆☆☆☆

坦白說，我最初是被這本書的“典藏版”名頭所吸引，以為它僅僅是一本精美的裝幀，內容或許隻是一般。然而，當我真正沉浸其中時，纔發現它的內在價值遠超其外在的華麗。這本書的內容深入淺齣，既有嚴謹的理論體係，又不乏啓發性的思考。我特彆欣賞作者在引導讀者建立數學直覺方麵所做的努力，許多難以理解的抽象概念，通過作者的闡述，變得清晰而富有畫麵感。它不像某些教科書那樣枯燥乏味，而是充滿瞭探索的樂趣，讓人在閱讀的過程中，不斷産生新的疑問，然後又能在接下來的章節中找到解答，這種循序漸進的學習體驗，極大地激發瞭我繼續深入探索的動力。這本書，無疑是我書架上的一顆璀璨明珠，不僅滿足瞭我對知識的渴求，更提升瞭我對數學學習的品味。

評分☆☆☆☆☆

這是一本讓我重新認識“學習”這件事的書。在翻閱這本書的過程中，我深刻體會到瞭“理解”的真正含義。它不是死記硬背公式，也不是機械地套用定理，而是要真正把握其核心思想，理解其産生的背景和意義。作者在處理每一個概念時，都力求做到“知其然，更知其所以然”，通過詳實的鋪墊和精妙的邏輯推導，讓讀者不僅知道“是什麼”，更明白“為什麼”。我曾經認為某些數學概念是“天生就該是這樣的”，但通過這本書的講解，我纔意識到，它們是人類智慧不斷探索和碰撞的結晶，是經過瞭漫長的思考和迭代纔形成的。這種對知識産生過程的深刻理解，讓我對數學産生瞭前所未有的敬畏感和熱愛，也讓我明白，真正的學習，是建立在深刻理解之上的。