现代数学基础丛书·典藏版14：辛几何引论 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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邹异明，J.柯歇尔 著

图书标签:

• 数学
• 辛几何
• 微分几何
• 拓扑学
• 经典教材
• 高等教育
• 数学分析
• 李群
• 李代数
• 典藏版

出版社： 科学出版社

ISBN：9787030061676

版次：1

商品编码：12050975

包装：平装

丛书名： 现代数学基础丛书·典藏版14

开本：16开

出版时间：1986-03-01

用纸：胶版纸

页数：143

字数：120000

正文语种：中文

内容简介

　　辛几何是近十几年发展起来的新的重要数学分支。《现代数学基础丛书·典藏版14：辛几何引论》是辛几何（辛流形）的入门性读物。《现代数学基础丛书·典藏版14：辛几何引论》共分六章，分别是：代数基础，辛流形，余切丛，辛G-空间，Poisson流形，一个分级情形。前三章是重要的基本概念，后三章论述有关的应用。
　　《现代数学基础丛书·典藏版14：辛几何引论》可供大学高年级学生、研究生以及几何、群论、分析、特别是微分方程方面的研究工作者参考。

内页插图

目录

第一章 代数基础
§1．反对称形式
§2．辛向量空间，辛基底
§3．sl（2，k）在辛向量空间上的反对称形式代数中的标准线性表示
§4．辛群
§5．辛复结构

第二章 辛流形
§6．流形上的辛结构
§7．辛流形上的微分形式代数的算子
§8．辛坐标
§9．Hamilton向量场和辛向量场
§10．辛坐标下的Poisson括号
§11．辛流形的子流形

第三章 余切丛
§12．Liouville形式和余切丛上的标准辛结构
§13．余切丛上的辛向量场
§14．余切丛的Lagrange子流形

第四章 辛G-空问
§15．定义和例子
§16．Hamilton g-空间和矩射
§17．矩射的等价不变性

第五章 Poisson流形
§18．Poisson流形的结构
§19．Poisson流形的叶子
§20．Lie代数的对偶上的Poisson结构

第六章 一个分级情形
§21．（0，n）维超流形
§22．（0，n）维辛超流形
参考文献
名词索引
记号

前言/序言

　　1983年春，我应邀在南开大学讲学，本书就是在这次讲学的内容的基础上，由邹异明翻译整理，稍加修改写成的，我们希望通过这样一本入门性质的书向读者介绍辛流形的理论。
　　分析力学的发展为辛结构提供了基本概念，辛结构这一术语在相当大的程度上来源于分析力学，但在本书中，并未深入探讨幸结构理论在力学方面的应用，而且对于这个理论的一些重要的方面，特别是在分析学上的应用，本书亦未论及。关于这些问题，请读者参阅文献【1】，【2】，【7】和【26】。本书着重讨论具有辛结构的流形的微分性质。
　　本书的第一章讨论向量空间的辛结构，第二章讨论辛流形，向读者介绍了基本概念和基本结果，在这一章中，我们尽可能早地证明辛坐标的存在性（Darboux定理），这样做的目的是使读者能够在随后的论述中看出我们所给出的公式的重要性。辛流形上的可微函数和辛结构的无穷小自同构的联系，是辛流形理论的基础，关于这方面的内容，将在§9和§10中加以讨论。这一章以有关辛流形的子流形，特别是Lagrange子流形的一些结果作为结尾。
　　在余切丛上存在标准辛结构这一事实，阐明了大量的与辛结构有关的问题，第三章介绍关于余切丛和余切丛上的辛向量场的结果。
　　第四章讨论辛G空间，即讨论具有在某一Lie群G的作用下不变的辛结构的辛流形。对于这样的辛流形，一种我们称之为矩射的映射向我们提供了一个有效的研究方法。关于辛G空间的讨论，是辛流形理论的一个内容十分丰富的方面，其中还有许多值得进一步研究的问题。

现代数学基础丛书·典藏版15：黎曼几何引论 （注意：本简介描述的是《现代数学基础丛书·典藏版15：黎曼几何引论》，并非您提到的《现代数学基础丛书·典藏版14：辛几何引论》） 丛书背景与定位 “现代数学基础丛书”历经数十年修订与再版，始终致力于为高年级本科生、研究生以及一线研究人员提供深入、严谨且具有启发性的数学前沿导论。典藏版系列旨在保留经典内容体系的同时，融入最新的数学发展视角与现代化的表达方式，确保其作为数学学习和研究的权威参考书的地位。本册《黎曼几何引论》正是该丛书体系中至关重要的一环，它承接了微分几何的基础，为深入研究广义相对论、拓扑学、微分方程、甚至理论物理学中的非线性动力学提供了必备的几何框架。 本书核心内容聚焦：黎曼几何的构建与精髓 本书并非对黎曼几何知识点的简单罗列，而是一部系统梳理其内在逻辑、概念起源与核心工具的专著。它采取了由浅入深、螺旋上升的叙述策略，确保读者能够扎实地掌握从概念定义到高级定理证明的每一个关键步骤。 第一部分：预备知识的重塑与提升 在正式进入黎曼几何的殿堂之前，本书首先对必要的拓扑学、微分流形基础（包括向量场、张量代数、张量场、微分形式的内积与楔积）进行了深入的回顾与提升。作者特别强调了“切空间”与“切丛”的精确理解，认为这是构造黎曼度量的基石。对流形的构造性描述，而非仅仅停留在局部坐标的依赖上，是本书初期奠定的核心思想。 第二部分：黎曼度量的定义与基本结构 本书的核心起点在于黎曼度量（Riemannian Metric）的引入。作者详细阐述了如何在光滑流形上定义一个正定的、光滑变化的内积——即黎曼度量 $g$。随后，重点探讨了度量如何诱导出长度、角度、体积、面积等所有内在几何量。 测地线（Geodesics）的引入： 测地线是黎曼几何中最基本的“直线”概念。本书通过能量泛函的变分原理（欧拉-拉格朗日方程）和 Levi-Civita 联络的构造来定义测地线方程。此处对 Levi-Civita 联络的独特性——即保持度量兼容性和无挠性的要求——给予了详尽的代数与几何证明。 联络与曲率的代数表达： 引入了协变导数（Covariant Derivative），这是衡量向量场在流形上“平行移动”特性的关键工具。基于协变导数，本书系统地导出了 黎曼曲率张量（Riemann Curvature Tensor）。 第三部分：曲率的深度剖析与几何直观 黎曼曲率张量是黎曼几何的灵魂。本书花费了大量的篇幅，从代数形式深入到几何直观的解释。 截面曲率（Sectional Curvature）： 详细解释了截面曲率如何量化特定切平面上的局部高斯曲率，这是连接代数张量与实际空间弯曲程度的桥梁。 里奇曲率（Ricci Curvature）与标量曲率（Scalar Curvature）： 阐述了这些张量如何在更高维度上捕捉平均弯曲度的信息，并明确了它们在爱因斯坦场方程中的关键作用。 等距、等曲率流形： 分析了具有恒定截面曲率的流形（如球面、双曲空间）的分类，这是欧几里得几何、球面几何和双曲几何在统一框架下的体现。 第四部分：拓扑与几何的交织——经典定理 本书的后半部分着重探讨了拓扑性质如何受到黎曼度量和曲率的约束。 指数映射（Exponential Map）： 作为一个强大的局部工具，指数映射被用于构建局部坐标系和证明关于测地线完备性的定理。 测地线完备性（Geodesic Completeness）： 探讨了在何种条件下，流形上的所有测地线可以被无限延长，这是拓扑结构与几何结构的深刻关联点。 高斯-邦内定理（Gauss-Bonnet Theorem）： 本书对此定理的证明进行了经典的、基于微分形式的推导，展示了曲率的积分性质如何与流形的拓扑不变量（如 Euler 特征数）相关联。对于二维流形，这一定理是几何与拓扑的完美交汇点。 第五部分：进阶专题选讲 为满足研究生的需求，本书在最后选取了几个关键的进阶主题进行介绍： 极小曲面（Minimal Surfaces）： 虽然是欧几里得空间中的概念，但在黎曼流形上其概念的推广（Mean Curvature Vector）及其变分原理的讨论，为理解调和映射提供了重要背景。 外微分系统的应用： 再次强化了微分形式在处理曲率方程、联络形式和结构方程中的简洁与强大，展示了 Cartan 移动标架法（Moving Frame Method）的威力。 本书的特色与读者对象 本书的叙述风格严谨而不失清晰，大量使用几何图像和直观解释来辅助抽象的代数推导，避免了纯粹“公式堆砌”的弊端。它不仅要求读者熟悉线性代数和微积分，更鼓励读者用几何的思维去理解张量分析。 本书特别适合： 1. 数学专业高年级本科生及研究生： 作为黎曼几何课程的权威教材。 2. 理论物理（尤其是广义相对论）研究人员： 作为理解时空几何框架的坚实基础。 3. 微分拓扑和几何分析领域的学者： 作为查阅核心公式和经典证明的参考手册。 通过系统学习本书内容，读者将能够熟练运用黎曼几何的工具，为进一步探索如卡拉比-丘流形、辛几何（辛结构与黎曼结构的交集）、或微分几何的更高级分支打下不可动摇的基础。

评分☆☆☆☆☆

这本书，我真的是垂涎已久了。作为一名对数学充满热情，尤其是对那些“看起来高深莫测”的分支充满好奇心的爱好者，我一直在寻找一本能够真正引导我入门辛几何的读物。市面上关于这个主题的书籍不少，但很多要么过于抽象，要么过于技术化，让人望而却步。直到我看到了这本《辛几何引论》的封面，心中便涌起一股莫名的期待。虽然我还没来得及深入研读，但从其“现代数学基础丛书·典藏版”这个系列名，以及“辛几何引论”这个直击要害的书名，我就能感受到它非凡的学术分量和对读者的诚意。我猜测，这本书一定经过了精心的编排，从最基础的概念讲起，逐步深入，层层递进，让初学者也能一步一个脚印地理解辛几何的核心思想。我尤其期待它在图示和例子上的处理，因为我知道，对于像辛几何这样抽象的理论，生动形象的辅助材料是多么重要。希望它能帮助我构建起对辛几何的整体认知框架，理解它在现代数学中的地位和意义，或许还能看到它与其他数学分支的联系，比如李群、微分几何等等。这绝对是一本值得我投入时间和精力去钻研的宝藏。

评分☆☆☆☆☆

作为一名物理学背景的研究生，我一直对辛几何在理论物理中的应用深感兴趣。从经典力学中的相空间到量子力学中的算符代数，辛几何似乎无处不在，却又常常隐藏在更复杂的数学框架之下。这次入手《辛几何引论》，我最大的期望就是能够找到一个清晰、严谨但又不失物理直觉的视角来理解它。我希望这本书不仅能介绍纯粹的数学概念，还能巧妙地将它们与物理世界的现象联系起来。例如，我非常想知道辛结构是如何与哈密顿力学中的守恒律、正则变换联系在一起的，泊松括号在物理学中有怎样的具体体现，以及辛流形在描述保守系统动力学时扮演的角色。我也期待书中能够探讨一些辛几何在更前沿物理领域，如规范场论、弦理论等中的应用，哪怕只是简要的介绍，也能给我提供一个很好的研究方向。总之，我希望这本书能成为连接我数学知识和物理理解的桥梁，让我对辛几何有一个更加深刻和实用的认识。

评分☆☆☆☆☆

这次收到《辛几何引论》，我心里其实是带着一点小小的忐忑的。毕竟，辛几何这个词听起来就带着一股“高冷”的气质，我担心自己现有的数学基础可能还不足以完全驾驭。但翻开书的第一页，我的顾虑就消散了大半。排版非常舒服，字体大小适中，页边留白也恰到好处，读起来不费眼。更让我惊喜的是，书中开篇并没有直接抛出复杂的公式和定义，而是用一种非常温和的方式，先勾勒出了辛几何的发展脉络和研究对象，仿佛一位慈祥的长者在娓娓道来。这让我感觉自己不是在面对一本教科书，而是在进行一次引人入胜的数学对话。我特别留意了目录，发现它似乎是从最基本的可积系统、泊松括号这些概念入手，这正是我想了解的。我希望这本书能用一种清晰易懂的语言，解释清楚辛流形、辛形式等核心概念，并且给出一些经典的例子，让我能够直观地感受到辛几何的魅力。我非常期待能通过这本书，打开一扇通往更广阔数学世界的大门。

评分☆☆☆☆☆

读了差不多一个星期，《辛几何引论》带给我的惊喜是持续不断的。这本书的叙述风格非常独特，它不是那种教科书式的“告诉你是什么”，而是更倾向于“引导你发现是什么”。作者似乎非常善于提炼概念的本质，然后用一种非常优美且富有逻辑性的方式呈现出来。我尤其喜欢书中在介绍一些关键定理或性质时，会先给出一些直观的几何解释，然后再引入严谨的数学证明。这种“先意会，后言传”的处理方式，对于我这种更偏向几何思维的读者来说，简直是福音。而且，我注意到书中对一些历史背景和思想演变的介绍也相当充分，这让我能够更好地理解辛几何是如何一步步发展到今天的，以及它解决了哪些数学难题。这本书让我感觉到，学习数学不仅仅是掌握公式和定理，更重要的是理解其背后的思想和逻辑。我强烈推荐给所有对数学有追求，渴望深入理解学科精髓的读者。

评分☆☆☆☆☆

坦白说，我之前对辛几何的了解可以说是知之甚少，甚至一度觉得它是一个遥不可及的高深领域。然而，《辛几何引论》的出现，彻底改变了我的看法。这本书的语言风格非常鲜明，它不像一些学术著作那样枯燥乏味，而是充满了作者个人的思考和见解，读起来有一种与智者对话的感觉。作者在阐述概念时，总是能够抓住事物的核心，然后用一种非常巧妙的比喻或者类比来帮助读者理解，这让我避免了很多“望文生义”的误区。我非常欣赏书中对细节的把握，每一个定义、每一个命题都经过了精心推敲，力求清晰准确。同时，它又不会让人觉得过于拘泥于细节而迷失了方向，始终能够保持对整体的把握。这本书让我感受到，即使是再抽象的数学理论，只要用对了方法，一样能够变得生动有趣，而且极具启发性。我非常庆幸能遇到这样一本优秀的入门书籍，它让我对辛几何燃起了浓厚的兴趣，并期待着在后续的学习中，能够更加深入地探索这个迷人的数学世界。